專題1.1 空間向量及其線性運(yùn)算【八大題型】（舉一反三）（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）（解析版）

專題1.1空間向量及其線性運(yùn)算【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1空間向量概念的理解】 2【題型2空間向量的加減運(yùn)算】 4【題型3空間向量的線性運(yùn)算】 6【題型4由空間向量的線性運(yùn)算求參數(shù)】 8【題型5向量共線的判定及應(yīng)用】 11【題型6由空間向量共線求參數(shù)】 14【題型7向量共面的判定及應(yīng)用】 16【題型8由空間向量共面求參數(shù)】 18【知識(shí)點(diǎn)1空間向量的概念】1．空間向量的概念(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長(zhǎng)度或模：向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對(duì)于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量【注】(1)空間中點(diǎn)的一個(gè)平移就是一個(gè)向量；(2)數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量.【題型1空間向量概念的理解】【例1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）下列命題中是假命題的是（

）A．任意向量與它的相反向量不相等B．和平面向量類似，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小C．如果a=0，則D．兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同【解題思路】由零向量的定義可判斷AC，由向量的性質(zhì)可判斷BD.【解答過(guò)程】對(duì)于A，零向量0的相反向量是它本身，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，空間向量是有向線段，不能比較大小，B正確；對(duì)于C，如果a=0，則a=0對(duì)于D，兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同，D正確.故選：A.【變式1-1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．任一空間向量與它的相反向量都不相等B．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等C．同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小D．將空間向量所有的單位向量平移到同一起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓【解題思路】取零向量可判斷A選項(xiàng)；利用任意一個(gè)非零向量與其相反向量可判斷B選項(xiàng)；利用向量不能比大小可判斷C選項(xiàng)；利用單位向量的概念可判斷D選項(xiàng).【解答過(guò)程】對(duì)于A選項(xiàng)，零向量與它的相反向量相等，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，任意一個(gè)非零向量與其相反向量不相等，但它們的模相等，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，將空間向量所有的單位向量平移到同一起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球，D錯(cuò).故選：C.【變式1-2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）給出下列命題：①若將空間中所有的單位向量的起點(diǎn)移到同一個(gè)點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓；②若空間向量a，b滿足|a|=|b|，則a=b；③若空間向量m，n，p滿足m=n，n其中假命題的個(gè)數(shù)是（

）.A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)單位向量的模長(zhǎng)為1可判斷①的真假；根據(jù)空間向量的相等的定義，可判斷②③；由單位向量的定義可判斷④的真假；根據(jù)零向量的規(guī)定可判斷⑤的真假，即可得出結(jié)論.【解答過(guò)程】①假命題.若將空間中所有的單位向量的起點(diǎn)移到同一個(gè)點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)將構(gòu)成一個(gè)球面，而不是一個(gè)圓.②假命題.根據(jù)向量相等的定義，要保證兩向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但②中向量a與b的方向不一定相同.③真命題.向量的相等具有傳遞性.④假命題.空間中任意兩個(gè)單位向量的模長(zhǎng)均為1，但方向不一定相同，以不一定相等.⑤假命題.零向量的方向是任意的.故選：D.【變式1-3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）給出下列命題：①零向量沒(méi)有方向；②若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；③若空間向量a,b滿足a=④若空間向量m,n,p滿足⑤空間中任意兩個(gè)單位向量必相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3C．2 D．1【解題思路】根據(jù)空間向量的有關(guān)定義判斷可得答案.【解答過(guò)程】零向量的方向是任意的，但并不是沒(méi)有方向，故①錯(cuò)誤；當(dāng)兩個(gè)空間向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等．但兩個(gè)向量相等，起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相同，故②錯(cuò)誤；根據(jù)相等向量的定義，要保證兩個(gè)向量相等，不僅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a與b的方向不一定相同，故③錯(cuò)誤；命題④顯然正確；對(duì)于命題⑤，空間中任意兩個(gè)單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯(cuò)誤．故選：D.【知識(shí)點(diǎn)2空間向量的線性運(yùn)算】1．空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當(dāng)λ>0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ<0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.【注】(1)空間向量的運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的延展，空間向量的加法運(yùn)算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則，而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運(yùn)算，可以將向量合并.(2)向量的減法運(yùn)算是向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，滿足三角形法則.(3)空間向量加法的運(yùn)算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過(guò)平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量.【題型2空間向量的加減運(yùn)算】【例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在四面體OABC中，OA+AB-A．OA B．AB C．OC D．AC【解題思路】利用空間向量線性運(yùn)算法則化簡(jiǎn).【解答過(guò)程】OA+故選：C.【變式2-1】（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）正方體ABCD-A1B1A．C1B B．BC1 C．【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解即可.【解答過(guò)程】AB+故選：C.【變式2-2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在空間四邊形ABCD中，連接AC，BD，若△BCD是正三角形，且E為其重心，則AB+1A．AB B．2BD C．0 D．【解題思路】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則即可求解.【解答過(guò)程】取BC的中點(diǎn)為F,則12又因?yàn)镋為△BCD的重心，即DF上靠近F32則AB+故選:C.【變式2-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）空間四邊形ABCD中，若E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊上的中點(diǎn)，則下列各式中成立的是A．EB+BF+EH+GH=0→ B．EB+C．EF+FG+EH+GH=0→ D．EF–【解題思路】根據(jù)空間向量的加減法運(yùn)算法則即可求解.【解答過(guò)程】畫(huà)出圖形，如圖所示，∵E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊上的中點(diǎn)，∴FC=BF，對(duì)于A，EB+BF+EH+GH=EF+EH+GH=HG+EH+GH=EH；對(duì)于B，EB+FC+EH–EG=EB+BF+（EH–EG）=對(duì)于C，EF+FG+EH+GH=EF+FG+GH+EH=EH+EH=2EH；對(duì)于D，EF–FB+CG+GH=EF+BF+CG+GH=EF+FC+故選B．【題型3空間向量的線性運(yùn)算】【例3】（2023春·高二單元測(cè)試）若A,B,A．ABB．2C．ABD．AB【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.【解答過(guò)程】對(duì)于A，AB+2對(duì)于B，2AB對(duì)于C，AB+對(duì)于D，AB-故選：A.【變式3-1】（2023秋·新疆昌吉·高二?？计谀┮阎襟wABCD-A'B'C'D'，點(diǎn)E是A'CA．AA'+C．12AA【解題思路】作圖分析，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得AF=13AE，AE=AA'+A'【解答過(guò)程】如圖所示，由于AF=12EF，故AF=A'C'=A∴AF=1故選：D．【變式3-2】（2023秋·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）在平行六面體ABCD-A1B1C1A．3B1E=B1C1 B【解題思路】利用向量的線性運(yùn)算全部轉(zhuǎn)化為用B1作為起點(diǎn)的向量來(lái)表示，然后整理即可【解答過(guò)程】由AE=-13整理得3B故選：A.【變式3-3】（2023秋·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F分別是BC、CC1A．-13ABC．-23AB【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)乘及加、減運(yùn)算求解即可.【解答過(guò)程】解：由題意可得：GF====-=-1故選：A.【題型4由空間向量的線性運(yùn)算求參數(shù)】【例4】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖所示，空間四邊形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，點(diǎn)M在OA上，且A．12,-2C．-23,【解題思路】利用空間向量的線性運(yùn)算求解即可.【解答過(guò)程】MN=所以x=-故選：C.【變式4-1】（2023秋·湖南婁底·高二校聯(lián)考期末）在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是CA．α=12C．α=1,???β【解題思路】根據(jù)向量加法的多邊形法則可得，DF=DC+CB+BF【解答過(guò)程】根據(jù)向量加法的多邊形法則以及已知可得，DF=DC∴α=12，β=﹣1故選A．【變式4-2】（2023秋·山東泰安·高二?？计谀┤鐖D所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1A．x=-12C．x=-12【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【解答過(guò)程】根據(jù)題意，得；BE==又∴故選：A.【變式4-3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在AA．34 B．1 C．54 D【解題思路】根據(jù)空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算即可求解.【解答過(guò)程】如圖，AP=3所以x=所以x+故選:C.【知識(shí)點(diǎn)3共線向量與共面向量】1．共線向量(1)空間兩個(gè)向量共線的充要條件對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(2)直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量a，都有0//a.(3)共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；②證明三點(diǎn)共線.【注】：證明平行時(shí)，先從兩直線上取有向線段表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問(wèn)題的一種重要方法；證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn).2．共面向量(1)共面向量如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要條件如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)共面向量定理的用途：①證明四點(diǎn)共面；②證明線面平行.【題型5向量共線的判定及應(yīng)用】【例5】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形且不共面，M?N分別是AC?BF的中點(diǎn)，判斷CE與MN是否共線？【解題思路】利用空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合空間向量的共線定理，即可判斷.【解答過(guò)程】因?yàn)镸?N分別是AC?BF的中點(diǎn)，而四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形，所以MN=又MN=所以12所以CE=即CE=2MN，即CE與MN【變式5-1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且（1）用a,b,（2）求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.【解題思路】（1）由已知得EB=（2）由已知得FB=35【解答過(guò)程】解：（1）因?yàn)锳1E=2E所以EB=所以EB=（2）AFB===3又EB與FB相交于B，所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.【變式5-2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，已知空間四邊形ABCD，點(diǎn)E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是CB，CD上的點(diǎn)，且CF=23CB，CG=【解題思路】根據(jù)題意得出EH∥BD【解答過(guò)程】證明：連接BD.∵點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，且CF=23∴EH=∴EH∥FG且又F不在EH上，∴四邊形EFGH是梯形.【變式5-3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知O,A,B,C,D,E,F,G,求證：（1）AC//（2）OG=【解題思路】（1）由題意，EG=EH+mEF（2）由題意，OG=OE+【解答過(guò)程】證明：（1）EG==∴AC//（2）OG=【題型6由空間向量共線求參數(shù)】【例6】（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）設(shè)向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)A，C，D三點(diǎn)共線，可得AC//CD，則存在唯一實(shí)數(shù)μ，使得AC【解答過(guò)程】由AB=e1得AC=因?yàn)锳，C，D三點(diǎn)共線，所以AC//則存在唯一實(shí)數(shù)μ，使得AC=則2=4μ1+λ故選：C.【變式6-1】（2022秋·新疆阿勒泰·高二校聯(lián)考期末）如果空間向量a,b不共線，且a-ybA．x=-1,y=3C．x=1,y=-3【解題思路】根據(jù)向量的相等,可得方程，即可求得答案.【解答過(guò)程】由題意可知空間向量a,b不共線，且a-則x-1=0,-(y故選：C.【變式6-2】（2023春·江蘇南京·高二?？茧A段練習(xí)）已知{a,b,c}是空間的一個(gè)基底，若m=a+2A．-3 B．-13 C．3【解題思路】由m∥n，可得存在實(shí)數(shù)λ，使n=【解答過(guò)程】m=a+2因?yàn)閙∥n，所以存在實(shí)數(shù)λ，使所以(x所以x+3=所以x-y=2(x+3)所以xy故選：C.【變式6-3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知非零向量a=3m-2n-4p，b=(x+1)m+8n+2A．-B．-C．8D．13【解題思路】先由向量平行，得到b=λa，利用系數(shù)對(duì)應(yīng)相等構(gòu)建關(guān)系，即求得x，【解答過(guò)程】∵a//b且a≠0，∴又m、n、p不共面，∴x+1=3λ8=-2λ2y=-4故選：B.【題型7向量共面的判定及應(yīng)用】【例7】（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）已知A,B,M三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面ABM外的任意一點(diǎn)O，判斷在下列各條件下的點(diǎn)(1)OB+(2)OP=4【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的共面定理及推論，即可求解；（2）根據(jù)空間向量的共面定理及推論，即可求解；【解答過(guò)程】（1）解：因?yàn)锳,B,M三點(diǎn)對(duì)于平面ABM外的任意一點(diǎn)O，若OB+即OP=又因?yàn)?3+13+1（2）解：因?yàn)锳,B,M三點(diǎn)對(duì)于平面ABM外的任意一點(diǎn)O，若OP=4OA-根據(jù)空間向量的共面定理，可得點(diǎn)P與A,B【變式7-1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知i,j,k是不【解題思路】由空間向量基本定理可得答案.【解答過(guò)程】由i,j,k是不共面向量，得a設(shè)a=xb所以1=-x-3y-所以這三個(gè)向量共面.【變式7-2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)BD∥平面EFGH.【解題思路】（1）要證E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，只需證明向量EG，EF，EH共面，結(jié)合向量的線性運(yùn)算及共面向量定理證明即可；（2）由向量共線結(jié)合線面平行的判定定理證明．【解答過(guò)程】（1）如圖，連接EG，BG．因?yàn)镋G＝EB＋BG＝EB＋12(BC＋BD)＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH由向量共面的充要條件可知，向量EG，EF，EH共面，又EG，EF，EH過(guò)同一點(diǎn)E，從而E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．（2）因?yàn)镋H＝AH－AE＝12AD－12AB＝12(AD－又E，H，B，D四點(diǎn)不共線，所以EH∥BD，又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH．【變式7-3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點(diǎn)O引向量OE=kOA，OF=k(1)求證：E，(2)平面AC∥平面EG【解題思路】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得EG=EF+EH,由空間向量,可判斷向量共面,進(jìn)而可得點(diǎn)共面.（2）根據(jù)向量共線可得直線與直線平行,進(jìn)而可證明線【解答過(guò)程】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴