線性代數(shù)考題集錦

試卷（33%）填空題（E表示單位矩陣）:1.設a=(1,2),卩二(1,—1)，則邙T= ； (a叩)999= 2.設矩陣A=031,B=056，則行列式AB-1130 0073.1,a3.1,a=,a=k23—1若向量組a1，則當參數(shù)k時，a1，a2，a3線性是其相應于特征值12的特征向量，?是其相應于特征值12的特征向量，?3二一001一是其相應于特征值—1的特征向量。相關；4.2X2矩陣A=ad的伴隨矩陣A*= TOC\o"1-5"\h\z設矩陣A及A+E均可逆，G=E-（A+E）-1，則G-1= ；_AE-分塊矩陣険O\的逆矩陣為 ；設A是6x5矩陣。若齊次線性方程組Ax=0的解空間是2維的，則齊次線性方程組Atx=0的解空間是 維的；與向量a=（1,0,1）t，p=（1,1,1）T均正交的一個單位向量為 ；124已知矩陣M=（3&J，A=MMt，則當數(shù)k滿足條件 時，A是正定的；若實對稱矩陣A有兩個不同的特征值，且A2—3A+2E=O則當參數(shù)k滿足條件 時，矩陣E+kA是正定的。二（12%）求矩陣方程XA=2X+B的解，其中,311101010\\,B=32—1003A三（12%）設3階方陣A有特征值1（二重）和—1,匕二四（12%）設線性方程組x+xx+x+12x+3x+S1 2一x+23x+2x+12x+ x5x+ 5xpx3一 2x4x3+(p+3)x34一11．問：當參數(shù)p,q1．2．當方程組有無窮多解時，求出其通解（寫成向量形式）。1111五(12%)矩陣a二3一12 01—30—2求一4x2矩陣〃，使得=O,且秩（B）=2;問：是否存在秩大于2的矩陣C使得AC=0?為什么？六（12%）設實對稱矩陣k10n \4 _A=130與B= 2 相似.004」 [4求參數(shù)k的值；求一正交矩陣Q使得QTAQ=B七（7%）證明題：設九，九是矩陣A的兩個互異的特征值，T）m是A的屬于九的線性無關的特12121征向量，n是A的屬于九的特征向量。證明：n,nm線性無關。3 2 1 2 3已知n階方陣A相似于對角陣，并且，矩陣A的特征向量均是矩陣B的特征向量（注：A,B的特征值未必相同）。證明AB=BA.2.假設向量組A：a=(-1、1丿丿,p=(1、t丿丿,2.假設向量組A：a=(-1、1丿丿,p=(1、t丿丿,Y=(t、1丿丿Vt丿丄V-1丿，則當參數(shù)t滿足條件.時，向量組A3．的秩為1；—時A的秩為2；(1]耳=1、b丿(a時A的秩為3。若向量是矩陣A=(1a-12.124．設矩陣A=1、0丿丿0丿丿1、的特征向量，則(a,b)=()。，且(A+B)(A-B)=A2-B2，則參數(shù)a,b滿足5．6．條件 。(3 0 4、3-1<10(1a、3c丿若矩陣A=與對角陣A相似，則x滿足條件.x0丿是正交矩陣，則a,b,c滿足條件.(1九0、(、1.假設矩陣A=010丿丿，則An=(002丿丿V丿7．若對滿足條件A2+3A-4E=O的實對稱矩陣A，aE+A7．數(shù)a必定滿足條件.二．8%)求矩陣A二．8%)求矩陣A=(11x、的行列式det(A)的值。Vxx11Vxx11丿(111、(3、三.(15%)已知矩陣A=-1p2，向量1」里b=3V1 2p丿丿Vq丿1.若是線性方程組Ax=b的解，試求p,q的值,并求這時Ax=b的通解;2.若Ax=b有無窮多組解，但H不是Ax=b的解,求p,q的值。四.(3(15%)解矩陣方程四.(3(15%)解矩陣方程XA=2X+B。其中A=0-1、2丿，B=3丿丿02、10丿丿五．(五．(15%)設二次型f(x,x,x)=x2+2x2+x2+2xx1 2 3 1 2 3 131.寫出二次型f的矩陣;2.求正交變換X=QY將f化成標準形，并寫出相應的標準形。六.(12%)設3階矩陣A的特征值是2(二重)和4，且?=(101)T,六.0=(010)t是A的相應于特征值2的特征向量，丫=(10-1)t是A的相應于特征值是4的特征向量。求矩陣A及(A-2E)n。七.(5%)已知矩陣七.(5%)已知矩陣A二'12、勺1、，B=(2 x>(1 y丿。問：當參數(shù)x,y滿足什么條件時，矩陣方程AX=B有解，但BY=A無解?八.(6%)證明題：已知向量組卩，卩，卩可以由a,a線性表示。若向量組卩，卩，卩的秩為2,證1 2 3 1 2 1 2 3明：a,a線性無關。12(ab)2.設2階方陣A二「，且a+d二2，ad—be=1。若b,c不全為零，證明:(cd丿A不與任何對角陣相似。試卷三試卷三27%）填空題1．若矩陣A=，且AB=BA,則1．若矩陣A=，且AB=BA,則a,b的值分別為_；2．(a]'a+2b+3c'b，AX=、4a+5b+6c丿<c,，則矩陣A=設對任意列向量X3．設3階方陣a=(aa12B=(3a2—a a—aa—a)。若A的行列式31312|A|=3，則矩陣B的行列式|B4．設4．設A為n階可逆方陣，2n階矩陣b=的逆矩陣為.5．齊次線性方程組3x+2x+3x=05．1 2 36．若二次型f(x,x,x)=2x2+x2+x2+2xx+txx是正定的，則參數(shù)t6．1 2 3 1 2 3 12 237．圍是 ;7．圍是 ;/a b、、ca+2丿是正交矩陣，則參數(shù)a,b,c的值分別為8．假設3階矩陣A的特征值為2,1,—1。則行列式|A+A—J8．9．若實二次型f9．若實二次型f,g的矩陣分別為A=/101、'2、0a0、B=bh01‘I 2>，則f,g的正慣性指數(shù)相同，負慣性指數(shù)也相同的充分必要條件是參數(shù)a,b滿足(14%)假設n階矩陣A滿足A2+2A—3E=O。1.證明矩陣A及A+E均可逆，并分別求A-1及（A+E）-1；r1 1九r1 1九「r1]三（14%）假設矩陣A=1九1，b=1111丿<-2丿2.證明：若A豐E，矩陣A+3E肯定不可逆。。已知線性方程組Ax=b有無窮多組解。試求參數(shù)九的值，并求方程組的通解（要求用Ax=b的一特解及相應的齊次線性方程組的基礎解系表示）。

‘0 3 4、四（15%）已知矩陣A=0-10相似于對角陣。、1a3丿求參數(shù)a的值，并求A的特征值及相應的特征向量；求一可逆矩陣P，使得P-1AP為對角陣，并寫出相應的對角陣;3.問：是否存在正交矩陣Q,使得Q-1AQ為對角陣？試說明你的理由。‘3.問：是否存在正交矩陣Q,使得Q-1AQ為對角陣？試說明你的理由。‘0五（12%）已知矩陣A=010-2-101、0,矩陣B=1J‘1<2-111、0丿‘2<00、3丿求矩陣X，使得DXA二2DX+B。六（12%）六（12%）假設3維向量a=1‘1、‘0、‘1、‘-1、‘1、0,a=1;卩=2,卩=1,卩=12<b丿1<1丿2<2丿3<a丿<c丿。已知向量組a,a與向量組P,P,P等價。并求參數(shù)a并求參數(shù)a,b,c的值;1-求卩1'卩2,卩3的秩及其一個最大線性無關組'2.令矩陣A=(a,a),B=(p,p,p)，求滿足AX=B的矩陣X。1 2 1 2 3七（6%）假設n階矩陣A滿足A2二2A。1.證明：關于矩陣的秩有等式R（2E-A）+R（A）=n，并且A相似于對角陣;2.若R（A）=r，試求行列式|A+E的值。試卷四一．（30%）填空題TOC\o"1-5"\h\z1?設 100,則（A2E）i ;A1 1 0011若矩陣A滿足A20,則EA的逆矩陣（EA）1 ;若向量組］1t1,2 11t,3t11,的秩為2,則參數(shù)t滿足條件 ；假設3階矩陣A的特征值為1,2,3矩陣BE2A*，其中，A*是A的伴隨矩陣，則B的行列式冋 ；5.A1 1相似于對角陣的充要條件是x滿足條件.0x6.若A10002x2與B 3 相似，則x,y312 yTOC\o"1-5"\h\z7.設（1,1,0）,（1,0,1萬是3階實對稱矩陣A的相應于某個非零二重特征值的特征向量。若A不可逆，則A的另一個特征值為 ，相應的一個特征向量為 ；&3元非齊次線性方程組Axb的系數(shù)矩陣的秩為2,已知J2，3是它的3個解向量，其中（1,1,1） （2,4,6）t,則該方程組的通解 ；1 2 39.若4階矩陣A,B的秩都等于1，則矩陣AB的行列式|AB| 。111+x1二．（10%）計算下述行列式D1111+x的值。1x11111x11x3xx0123三．（15%）設線性方程組3x1x12x23x31。問當參數(shù),取何值時,線性方4x2x3程組有唯一解？當參數(shù),取何值時，線性方程組有無窮多組解？當線性方程組有無窮多組解時，求出其通解（用向量形式表示）。111四.（12%）假設矩陣A1 1 1，矩陣B滿足A*BAi2B，其中A四.（12%）假設矩陣A111的伴隨矩陣，求B。（10%）已知向量組a,a,a線性無關，問：參數(shù)a,b,c滿足什么條件時，向量組123aa+a,ba+a,ca+a線性相關？122331（15%）已知二次型f（x,x,x）=x2+2x2+3x2一4xx一4xx，1 2 3 1 2 3 12 23寫出二次型f的矩陣；求一正交變換x=Qy,將f變成其標準形；求當xTx=1時f（x,x,x）的最大值。123（8%）證明題：設向量組a,a,a,a中，a,a,a線性相關，a,a,a線性無關，證明：a1 2 3 4 1 2 3 2 3 4 1能由a,a,a線性表示。234設A是n階正定矩陣，證明：矩陣A+A-1-2E也是正定矩陣。試卷五(30%)填空題設3階矩陣A=(a,a,a),B=(a-2a,a-a,a+a)。若A的行列式TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 2 3 1 3 1 2|A|=2，則B的行列式|B= ；與向量a=(1,0,1)及B=(0,1,0)都正交的單位向量為 ；(12)矩陣A=3 4的伴隨矩陣A*= ；24丿假設a=(1,—1),卩=(2,3)，則aTP= ；a0t= ；若A為方陣，則方陣B=(—E A]的逆矩陣B-1= ；(O 2E丿(a11)6.已知矩陣A=20a，若A不可逆，則參數(shù)a滿足條件 ，這I-122丿丿時，A的秩為7.假設n階方陣A滿足A2-3A+2E=O，則A+E是可逆的，且(A+E)-1=?1-11]8.假設矩陣A=x4y相似于對角陣，并且2是A的一個二重特征值,則-3-35丿參數(shù)X,y的值分別等于 TOC\o"1-5"\h\z(X1 1 1](12%)已知矩陣A=1九1 1。=1 1 X1<1 1 1九丿求A的行列式的值；根據(jù)X的不同的值，求A的秩及列向量組的極大線性無關組。

(112、(1、四（14%）假設矩陣A=1九1，b=2311丿J+九丿(\三(12%)假設A=(\三(12%)假設A=100、00(2,B=13-111、0丿。求矩陣方程2X=B+XA的解。問：當參數(shù)九取什么值時，線性方程組Ax=b有唯一解、有無窮多組解、無解?當線性方程組Ax=b有無窮多組解時，求出其通解。(000、(1、五（14%）已知三階方陣A=2x2與矩陣B=4相似，求參數(shù)x,y的值,<313>< y丿并求一可逆矩陣P，使得P-1AP=B。六（12%）設二次型f（x,x,x）=x2+2x2+x2+2kxx1 2 3 1 2 3 13求一可逆線性變換將f變成其標準形；根據(jù)參數(shù)k的不同取值，討論f的秩及正、負慣性指數(shù)；問：當參數(shù)k取什么值時，f是正定二次型？七（6%）假設A是n階正交陣。若A是實對稱矩陣，證明：A的特征值只能是1和-1,并且，若A豐E，則-1肯定是A的特征值。試卷六一、填空題TOC\o"1-5"\h\z設3階方陣A滿足At=-A(其中At表示A的轉置)，則行列式IAI= ._1 2_矩陣o,的伴隨矩陣= .343.01603.01601,2-50向量組的秩為.,它的一個最大線性無關組是4.設A為可逆矩陣，則矩陣方程2XA+3B=C的解X= ,5.設矩陣A=-1x+2是正交矩陣，則x,y的值分別為 y16.二次型f(x1,x2,x3)=2 +弋-3x2+4X]X2-6x2x3的矩陣是 .二、選擇題設A是4階方陣，則下列條件中[D]與“秩⑷=3”等價.A的列向量組線性無關,行列式IAI=0,A的3階子式都不為零，齊次線性方程組Ax=0的基礎解系中僅含有1個解向量.設A,B都是2x3的矩陣，它們的轉置分別記為At和Bt,則下列等式中恒成立的是[B].(ATB)T=ABT,行列式IAtBI=0,秩(A+B)=秩(A)+秩(B),(A)1 10 1，(B),(C)-(A)1 10 1，(B),(C)-1-1,(D)0101—AO]「BT0-ABt0_(D)1—OBTL0A0ABt3.下列矩陣中不能相似對角化的是[A].4.下列陳述中正確的是[B].若兩個矩陣等價,則它們的行列式相等,若兩個矩陣等價,則它們的秩相等,若兩個矩陣相似,則它們有相同的特征向量,若兩個矩陣合同,則它們有相同的特征值.三、計算題110-132-251.計算行列式aa3 —a的值.3b2b1-2b5b-1

12.12.求矩陣A= 32-2 3-510的逆矩陣.-4 7x+x+x=31 2 33.對于方程組｛X+2x+3x=0來說，123x+x+ax=b1 2 3當參數(shù)a與b滿足什么條件時無解？當參數(shù)a與b滿足什么條件時有唯一解？丁丁4.設a=0,卩=110當參數(shù)a與b滿足什么條件時有無窮多解?并在此條件下求出其通解.,用Schimidt正交化方法求一個與向量組a,B等價的正交向量組和J并用釘,J把卩線性表示出來.「11「5.設矩陣A=120,102求A的特征多項式和特征值.求正交矩陣P使P-1AP為對角矩陣.矩陣A的正慣性指數(shù)是多少？矩陣A是否為正定矩陣?四、證明題設n階方陣A滿足A2=A,E為n階單位矩陣.證明:A+E和A-2E都可逆，A的特征值只能為0或1,A相似于一個對角矩陣.2006-2007學年第3學期(上)《線性代數(shù)》試卷(18%)填空題(E表示單位矩陣).TOC\o"1-5"\h\z假設a=(1,3),卩=(1,-1),貝U(aT0)ioo= .(12\矩陣A=34的逆矩陣A-1= .k34丿若3x3矩陣A=(a,卩,Y)的行列式等于2,矩陣B=(卩,Y，a),則矩陣A+B的行列式|A+B|= .齊次線性方程組3x+2y-5z=0的一個基礎解系是5.向量組円=(1,2,3,4)t,a2=(2,-1,1,0)T,a3=(1,-3,-2,-4)t,a4=(3,1,4,1)t的一個極大線性無關組 .6.若矩陣f1:],f0 合同,則參數(shù)a, b滿足條件k2b丿 k0-1丿二.(12%)選擇題.1.2.假設A,B是同階方陣，數(shù)k豐0,則正確的命題是().(A)|A+B|二.(12%)選擇題.1.2.假設A,B是同階方陣，數(shù)k豐0,則正確的命題是().(A)|A+B|=|A|+|B|. (B)|kA|=k|A|.(C)r(A+B)=r(A)+r(B). (D)r(kA)=r(A).3、丿2丿丿假設矩陣A=ff1

fk0,則不與A相似的矩陣為( ).3.10、丿.32丿丿.ff10、丿fk02丿丿假設A,B都是非零矩陣且AB=O,(A)A的行向量組線性相關.(C)A,B的行向量組都線性相關.x+x+kx=4

1 2 3-x=k21 2 3x—x+2x=—4

1 2 3(A)(B)三.(16%)設線性方程組x+kx/20k31丿則正確的命題是((B)B的行向量組線性相關.(D)A,B的列向量組都線性相關.(C)(D)).參數(shù)k取何值時，線性方程組有唯一解？k取何值時，方程組沒有解？當k取何值時,方程組有無窮多組解?當方程組有無窮多組解時,求其通解.f100、f100、四.(16%)設P=ff010丿丿,A=ff010丿丿fk212丿丿fk00-1丿丿并且AP=PA,求A及A2008.苴(14%)已知向量耳=f1、ff1丿丿f是矩陣A=fffk-1丿丿k35-1-1ab求參數(shù)a,b的值，并求A的相應于特征向量耳的特征值;問:矩陣A是否相似于對角陣？說明你的理由.2、3丿的一個特征向量.(111)六.(14%)已知矩陣A=111,求一正交矩陣Q使得QtAQ為對角陣.〔111丿七(10%)假設n維實行向量a=(a1,a2, a”),卩=(b1,b2, b)矩陣A-aTP，1?證明:A是對稱矩陣當且僅當a,卩線性相關；2.當a,0線性相關時，求實數(shù)k的取值范圍，使得kE+A是正定矩陣.解析幾何題填空題TOC\o"1-5"\h\z四點A(1,1,1),B(1,1,x),C(2,1,1),D(2,y,3)共面的充要條件為 ；設實二次型f(x,x,x)二x2+kx2+x2+2xx,則當k滿足條件 時，1 2 3 1 2 3 23f(x,x,x)二1是橢球面；當k滿足條件 時，f(x,x,x)二1是柱12 3 12 3面。空間四點A(1,1,1),B(2,3,4),C(1,2,k),D(—1,4,9)共面的充要條件是k=_；4?點P(2,-1,1)到直線l:耳=斗=Z的距離為 ；2 —2 1若向量a=i+aJ—k,0=bi+J+k,=k共面，則參數(shù)a,b滿足 .過點P(1,2,1)且包含x軸的平面方程為 .以A(1,1,2),B(—2,—1,1),C(一1，1，-1)為頂點的三角形的面積為 ；直角坐標系中向量Q=(1,1,2)與0=(1,0,1)的向量積為 ；過點P(1,0,1)且與直線蘭=匸！=A垂直的平面的方程為 ；211若x2+2y2+z2+2kxz=1表示一單葉雙曲面，則k滿足條件 ；計算題z二y2—3記S為由曲線｛ 繞z—軸旋轉所產(chǎn)生的旋轉曲面，兀為以兀與平面1 x二0 2 1“：x+y+z=1的交線為準線，母線平行于z-軸的柱面。試給出曲面3兀及兀的方程，并畫出兀被兀所截有界部分在x—y平面上的投影區(qū)域的草圖1213(應標明區(qū)域邊界與坐標軸的交點)。TOC\o"1-5"\h\z[x+ 2y—z= 2求經(jīng)過直線彳 小 1且與x-y平面垂直的平面方程.—x+y— 2z= 1x 2 y 1 z| 1求直線i:—廠=〒=〒在平面兀:x+y―2z+1=0上的垂直投影直線方程.用正交變換化簡二次曲面方程x2+x2—4xx—2xx—2xx=11 2 12 13 23求出正交變換和標準形)并指出曲面類型.設D為由yoz平面中的直線z=0，直線z=y,(y>0)及拋物線y+z2=2圍成的平面區(qū)域.將D繞y軸旋轉一周得旋轉