【解析】2023-2024學年初中數(shù)學八年級上冊 25.1 比例線段 同步分層訓練基礎(chǔ)卷(冀教版)

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一、選擇題

1．（2023九上·杭州期末）若點Р是線段的黃金分割點，，則的長為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】黃金分割

【解析】【解答】解：由于P為線段的黃金分割點，且是較長線段；

則，

故答案為：A.

【分析】根據(jù)黃金分割的特點可得AP=AB進行計算.

2．（2023九上·禮泉期末）下列給出長度的四條線段中，是成比例線段的是（）

A．1，2，3，4B．2，3，4，5C．1，2，3，6D．1，3，4，7

【答案】C

【知識點】比例線段

【解析】【解答】解：A、∵1×4≠2×3，故A不符合題意；

B、∵2×5≠3×4，故B不符合題意；

C、1×6=2×3，故C符合題意；

D、1×7≠3×4，故D不符合題意；

故答案為：C

【分析】利用成比例線段的特征，最長的線段和最短的線段之積等于另兩條線段的積，再對各選項逐一判斷.

3．（2023九上·余姚期末）已知線段a=3，b=12，則a，b的比例中項線段等于（）

A．2B．4C．6D．9

【答案】C

【知識點】比例線段

【解析】【解答】解：設(shè)a、b的比例中項為c（c＞0），則c2=ab，

∵a=3，b=12，

∴c2=36，

∴c=6.

故答案為：C.

【分析】設(shè)a、b的比例中項為c（c＞0），則c2=ab，進而代值計算即可.

4．（2023九上·杭州期末）若，則的值為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】比例的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵，

∴設(shè)a=4k，b=7k，

∴.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)設(shè)a=4k，b=7k，進而代入所求式子，分母合并同類項后再約分即可.

5．（2023九上·金牛期末）若（），則下列比例式成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】比例的性質(zhì)

【解析】【解答】解：A、∵，∴4x=3y，故此選項正確，符合題意；

B、∵，∴3x=4y，故此選項錯誤，不符合題意；

C、∵，∴3x=4y，故此選項錯誤，不符合題意；

D、∵，∴xy=12，故此選項錯誤，不符合題意.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，將各個選項中的比例式，變形為等積式，與題干給的等積式進行比較即可判斷得出答案.

6．（2023九上·嵊州期末）在學習畫線段的黃金分割點時，小明過點B作的垂線，取的中點M，以點B為圓心，為半徑畫弧交射線于點D，連接，再以點D為圓心，為半徑畫弧，前后所畫的兩弧分別與交于E，F(xiàn)兩點，最后，以A為圓心，“■■”的長度為半徑畫弧交于點H，點H即為的其中一個黃金分割點，這里的“■■”指的是線段（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】黃金分割

【解析】【解答】解：根據(jù)作圖可知，，，

設(shè)，則，

∴根據(jù)勾股定理可得：，

∴，

∴，

∴以A為圓心，“”的長度為半徑畫弧交于點H，點H即為的其中一個黃金分割點，故A正確.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)作圖可知∠ABD=90°，DB=DF=BM=AB，設(shè)DB=EF=a，則AB=2a，AD=a，AF=AD-DF=a-a，則，據(jù)此解答.

7．（2022九上·晉中期末）神奇的自然界處處隱含著數(shù)學美！生物學家在向日葵圓盤中發(fā)現(xiàn)：向日葵籽粒成螺線狀排列，螺線的發(fā)散角是．我們知道圓盤一周為，，．這體現(xiàn)了（）

A．軸對稱B．旋轉(zhuǎn)C．平移D．黃金分割

【答案】D

【知識點】黃金分割

【解析】【解答】解：，黃金分割數(shù)的近似值為0.618，

體現(xiàn)了“黃金分割”．

故答案為：D．

【分析】利用“黃金分割”的定義求解即可。

8．（2023九上·鄞州期末）已知，則下列說法錯誤的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】比例的性質(zhì)

【解析】【解答】解：設(shè)，則，

A、，說法正確，不符合題意；

B、，說法正確，不符合題意；

C、，，即，說法錯誤，符合題意；

D、，，即，說法正確，不符合題意.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，設(shè)a=2x，b=3x，將a=2x與b=3x代入A選項的左邊，合并并約分后即可判斷A選項；將a=2x與b=3x代入B選項的右邊，分子、分母分別提取公因式分解因式約分后即可判斷B選項；將a=2x與b=3x代入C選項的左邊與右邊，分別計算后即可判斷C選項；將a=2x與b=3x代入D選項的左邊與右邊，分別約分后即可判斷D選項.

二、填空題

9．（2023九上·鎮(zhèn)海區(qū)期末）已知線段，，則a，b的比例中項線段長等于.

【答案】

【知識點】比例線段

【解析】【解答】解：∵，，

∴，的比例中項線段長等于，

故答案為.

【分析】根據(jù)比例中項的概念可得：a、b的比例中項為，據(jù)此計算.

10．（2023九上·溫州期末）已知線段a=2，b=8，則a，b的比例中項線段長是．

【答案】4

【知識點】比例線段

【解析】【解答】解：設(shè)a，b的比例中項線段長c，

則c2=ab=2×8，即c2=16，

∴c=4（負根已舍）.

即a，b的比例中項線段長為4.

故答案為：4.

【分析】設(shè)a，b的比例中項線段長c，根據(jù)比例的性質(zhì)可得c2=ab，進而代值求解即可.

11．（2023九上·鄞州期末）若，則.

【答案】

【知識點】分式的化簡求值；比例的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴.

故答案為：.

【分析】根據(jù)等比的性質(zhì)用含b的式子表示出a，含d的式子表示出c，含f的式子表示出e，再分別代入待求式子，分子提取公因式后約分化簡即可得出答案.

12．（2023九上·成都期末）黃金分割總能給人以美的享受，從人體審美學的角度看，若一個人上半身長與下半身長之比滿足黃金比的話，則此人符合和諧完美的身體比例．一芭蕾舞演員的身高為160cm，但其上半身長與下半身長之比大于黃金比，當其表演時掂起腳尖，身高就可以增加10cm，這時上半身長與下半身長之比就恰好滿足黃金比，那么該演員的上半身長為cm．（結(jié)果保留根號）

【答案】

【知識點】黃金分割

【解析】【解答】解：設(shè)該演員的上半身長為xm，根據(jù)題意得

解之：，

經(jīng)檢驗是方程的根，

故答案為：

【分析】利用當其表演時掂起腳尖，身高就可以增加10cm，可得到此時的身高，設(shè)該演員的上半身長為xm，根據(jù)上半身長：下半身長，可得到關(guān)于x的方程，解方程求出x的值.

13．（2022九上·即墨期末）黃金分割在生活中的應(yīng)用十分廣泛，例如大多數(shù)窗戶的寬和長的比是黃金比，已知某扇窗戶的長為1.8米，則寬約為米．（結(jié)果精確到0.1）

【答案】1.1

【知識點】黃金分割

【解析】【解答】解：將拋物線先向左平移3個單位得，再向上平移5個單位得；

故答案為：D．

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式平移的特征：左加右減，上加下減求解即可。

三、計算題

14．（20232九上·義烏期末）已知，求的值.

【答案】解：∵，

∴設(shè)a=k，則b=4k，

∴=.

【知識點】比例的性質(zhì)

【解析】【分析】由題意可設(shè)a=k，b=4k，把a、b的值代入所求代數(shù)式計算即可求解.

四、解答題

15．（2022九上·余杭月考）已知.

判斷是否成立，并說明理由.

【答案】解：比例式成立.理由如下：

∵，∴，

∴1－＝1－，

即

【知識點】比例的性質(zhì)

【解析】【分析】利用比例的性質(zhì)可得到，可得到，再將等式的兩邊通分即可證得結(jié)論.

16．（2022九上·懷寧月考）a，b，c為的三邊長，且，，求的面積．

【答案】解：設(shè)，

∴，

∵，

∴，

解得：，

∴

∴

∴是直角三角形

∴

【知識點】三角形的面積；勾股定理的逆定理；比例的性質(zhì)

【解析】【分析】先求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判斷△ABC是直角三角形，然后利用三角形的面積公式計算即可.

五、綜合題

17．（2022九上·長興月考）已知(ab≠0)，求下列算式的值：

（1）

（2）

【答案】（1）解：設(shè)=k，則a=3k，b=2k，

（2）解：

【知識點】分式的約分；比例的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）設(shè)=k，可表示出a，b的值，然后代入化簡求值.

（2）將a，b的值代入分式，然后化簡求值即可.

18．（2022九上·蚌山期中）

（1）已知，且，求a值．

（2）已知線段cm，線段cm，線段c是線段a，b的比例中項，求線段c的長．

【答案】（1）解：設(shè)

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴的值為12；

（2）解：∵線段是線段，的比例中項，

∴，

∵，，，

∴，

故線段的長為6cm．

【知識點】比例的性質(zhì)；比例線段

【解析】【分析】（1）設(shè)，則，，，將a、b、c的值代入求出，再求出a的值即可；

（2）利用比例線段的性質(zhì)可得，再將數(shù)據(jù)代入求出c的值即可。

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一、選擇題

1．（2023九上·杭州期末）若點Р是線段的黃金分割點，，則的長為（）

A．B．C．D．

2．（2023九上·禮泉期末）下列給出長度的四條線段中，是成比例線段的是（）

A．1，2，3，4B．2，3，4，5C．1，2，3，6D．1，3，4，7

3．（2023九上·余姚期末）已知線段a=3，b=12，則a，b的比例中項線段等于（）

A．2B．4C．6D．9

4．（2023九上·杭州期末）若，則的值為（）

A．B．C．D．

5．（2023九上·金牛期末）若（），則下列比例式成立的是（）

A．B．C．D．

6．（2023九上·嵊州期末）在學習畫線段的黃金分割點時，小明過點B作的垂線，取的中點M，以點B為圓心，為半徑畫弧交射線于點D，連接，再以點D為圓心，為半徑畫弧，前后所畫的兩弧分別與交于E，F(xiàn)兩點，最后，以A為圓心，“■■”的長度為半徑畫弧交于點H，點H即為的其中一個黃金分割點，這里的“■■”指的是線段（）

A．B．C．D．

7．（2022九上·晉中期末）神奇的自然界處處隱含著數(shù)學美！生物學家在向日葵圓盤中發(fā)現(xiàn)：向日葵籽粒成螺線狀排列，螺線的發(fā)散角是．我們知道圓盤一周為，，．這體現(xiàn)了（）

A．軸對稱B．旋轉(zhuǎn)C．平移D．黃金分割

8．（2023九上·鄞州期末）已知，則下列說法錯誤的是（）

A．B．C．D．

二、填空題

9．（2023九上·鎮(zhèn)海區(qū)期末）已知線段，，則a，b的比例中項線段長等于.

10．（2023九上·溫州期末）已知線段a=2，b=8，則a，b的比例中項線段長是．

11．（2023九上·鄞州期末）若，則.

12．（2023九上·成都期末）黃金分割總能給人以美的享受，從人體審美學的角度看，若一個人上半身長與下半身長之比滿足黃金比的話，則此人符合和諧完美的身體比例．一芭蕾舞演員的身高為160cm，但其上半身長與下半身長之比大于黃金比，當其表演時掂起腳尖，身高就可以增加10cm，這時上半身長與下半身長之比就恰好滿足黃金比，那么該演員的上半身長為cm．（結(jié)果保留根號）

13．（2022九上·即墨期末）黃金分割在生活中的應(yīng)用十分廣泛，例如大多數(shù)窗戶的寬和長的比是黃金比，已知某扇窗戶的長為1.8米，則寬約為米．（結(jié)果精確到0.1）

三、計算題

14．（20232九上·義烏期末）已知，求的值.

四、解答題

15．（2022九上·余杭月考）已知.

判斷是否成立，并說明理由.

16．（2022九上·懷寧月考）a，b，c為的三邊長，且，，求的面積．

五、綜合題

17．（2022九上·長興月考）已知(ab≠0)，求下列算式的值：

（1）

（2）

18．（2022九上·蚌山期中）

（1）已知，且，求a值．

（2）已知線段cm，線段cm，線段c是線段a，b的比例中項，求線段c的長．

答案解析部分

1．【答案】A

【知識點】黃金分割

【解析】【解答】解：由于P為線段的黃金分割點，且是較長線段；

則，

故答案為：A.

【分析】根據(jù)黃金分割的特點可得AP=AB進行計算.

2．【答案】C

【知識點】比例線段

【解析】【解答】解：A、∵1×4≠2×3，故A不符合題意；

B、∵2×5≠3×4，故B不符合題意；

C、1×6=2×3，故C符合題意；

D、1×7≠3×4，故D不符合題意；

故答案為：C

【分析】利用成比例線段的特征，最長的線段和最短的線段之積等于另兩條線段的積，再對各選項逐一判斷.

3．【答案】C

【知識點】比例線段

【解析】【解答】解：設(shè)a、b的比例中項為c（c＞0），則c2=ab，

∵a=3，b=12，

∴c2=36，

∴c=6.

故答案為：C.

【分析】設(shè)a、b的比例中項為c（c＞0），則c2=ab，進而代值計算即可.

4．【答案】A

【知識點】比例的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵，

∴設(shè)a=4k，b=7k，

∴.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)設(shè)a=4k，b=7k，進而代入所求式子，分母合并同類項后再約分即可.

5．【答案】A

【知識點】比例的性質(zhì)

【解析】【解答】解：A、∵，∴4x=3y，故此選項正確，符合題意；

B、∵，∴3x=4y，故此選項錯誤，不符合題意；

C、∵，∴3x=4y，故此選項錯誤，不符合題意；

D、∵，∴xy=12，故此選項錯誤，不符合題意.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，將各個選項中的比例式，變形為等積式，與題干給的等積式進行比較即可判斷得出答案.

6．【答案】A

【知識點】黃金分割

【解析】【解答】解：根據(jù)作圖可知，，，

設(shè)，則，

∴根據(jù)勾股定理可得：，

∴，

∴，

∴以A為圓心，“”的長度為半徑畫弧交于點H，點H即為的其中一個黃金分割點，故A正確.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)作圖可知∠ABD=90°，DB=DF=BM=AB，設(shè)DB=EF=a，則AB=2a，AD=a，AF=AD-DF=a-a，則，據(jù)此解答.

7．【答案】D

【知識點】黃金分割

【解析】【解答】解：，黃金分割數(shù)的近似值為0.618，

體現(xiàn)了“黃金分割”．

故答案為：D．

【分析】利用“黃金分割”的定義求解即可。

8．【答案】C

【知識點】比例的性質(zhì)

【解析】【解答】解：設(shè)，則，

A、，說法正確，不符合題意；

B、，說法正確，不符合題意；

C、，，即，說法錯誤，符合題意；

D、，，即，說法正確，不符合題意.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，設(shè)a=2x，b=3x，將a=2x與b=3x代入A選項的左邊，合并并約分后即可判斷A選項；將a=2x與b=3x代入B選項的右邊，分子、分母分別提取公因式分解因式約分后即可判斷B選項；將a=2x與b=3x代入C選項的左邊與右邊，分別計算后即可判斷C選項；將a=2x與b=3x代入D選項的左邊與右邊，分別約分后即可判斷D選項.

9．【答案】

【知識點】比例線段

【解析】【解答】解：∵，，

∴，的比例中項線段長等于，

故答案為.

【分析】根據(jù)比例中項的概念可得：a、b的比例中項為，據(jù)此計算.

10．【答案】4

【知識點】比例線段

【解析】【解答】解：設(shè)a，b的比例中項線段長c，

則c2=ab=2×8，即c2=16，

∴c=4（負根已舍）.

即a，b的比例中項線段長為4.

故答案為：4.

【分析】設(shè)a，b的比例中項線段長c，根據(jù)比例的性質(zhì)可得c2=ab，進而代值求解即可.

11．【答案】

【知識點】分式的化簡求值；比例的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴.

故答案為：.

【分析】根據(jù)等比的性質(zhì)用含b的式子表示出a，含d的式子表示出c，含f的式子表示出e，再分別代入待求式子，分子提取公因式后約分化簡即可得出答案.

12．【答案】

【知識點】黃金分割

【解析】【解答】解：設(shè)該演員的上半身長為xm，根據(jù)題意得

解之：，

經(jīng)檢驗是方程的根，

故答案為：

【分析】利用當其表演時掂起腳尖，身高就可以增加10c