江西省九江市2022-2023學(xué)年高二第二次階段模擬（期末）數(shù)學(xué)試題

2022－2023學(xué)年度下學(xué)期第二次階段性模擬試卷高二數(shù)學(xué)一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題意．）1.下列各對(duì)函數(shù)中，圖像完全相同的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】B【解析】【分析】分別分析各個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可選出正確答案.【詳解】A：定義域?yàn)?，定義域?yàn)椋瑢?duì)應(yīng)關(guān)系不同，故A不正確；B：，，定義域均為，B正確.C：定義域?yàn)椋x域?yàn)?，故C不正確；D：定義域?yàn)?，?duì)于，令，則定義域?yàn)?，故D不正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)定義域的求解，考查了函數(shù)相等的判定，屬于基礎(chǔ)題.2.不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，可直接得出結(jié)果.【詳解】由得，解得或，即原不等式的解集為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次不等式，屬于基礎(chǔ)題型.3.已知集合，，則（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用集合的交、補(bǔ)運(yùn)算求即可.【詳解】由題設(shè)，或，∴.故選：D4.命題“”，命題“”，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)命題求出的范圍，再根據(jù)充分性和必要性的定義得答案.【詳解】對(duì)于命題，，得，可以推出，但是不能推出，p是q的充分不必要條件.故選：A.5.若，則的最小值為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由基本不等式可得，即可求解，得到答案.【詳解】因?yàn)?，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求最值問(wèn)題，其中解答中熟記基本不等式的使用條件“一正、二定、三相等”，合理準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.數(shù)列中的前n項(xiàng)和，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則＝（）A.190 B.192 C.180 D.182【答案】B【解析】【分析】利用求的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式，應(yīng)用分組求和求即可.【詳解】當(dāng)n＝1時(shí)，，當(dāng)n≥2時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)不滿(mǎn)足上式，所以，設(shè)，則，所以.故選：B.7.已知函數(shù)，則不等式解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)，分或兩種情況，分別根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，由得，兩邊取以e為底的對(duì)數(shù)得：，當(dāng)時(shí)，由得，解得，綜上或.故選：A.8.若存在，使不等式成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】，令，構(gòu)造函數(shù)，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在，使得成立.求導(dǎo)判斷單調(diào)性求得當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而得到且，即可求解.【詳解】令，即，因?yàn)椋?，?則原問(wèn)題等價(jià)于存在，使得成立.令，即解得，令，即解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又因?yàn)槎?，?dāng)時(shí)，.若存在，使得成立.只需且，解得且，所以.故的取值范圍為.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀(guān)察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題意．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A.上單調(diào)遞減 B.在上單調(diào)遞增C.在上單調(diào)遞減 D.在上單調(diào)遞增【答案】AC【解析】【分析】由題可得，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)?，所以在和上單調(diào)遞減，則A，C正確，B，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.下列結(jié)論錯(cuò)誤的有（）A.若，則B.函數(shù)最小值為2C.D.，，則的取值范圍是【答案】AB【解析】【分析】由可判斷A，由雙勾函數(shù)的知識(shí)可判斷B，，然后可判斷C，由可判斷D.【詳解】對(duì)于A(yíng)，當(dāng)時(shí)不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，因?yàn)?，所以，即C正確；對(duì)于D，設(shè)，可得解得，因?yàn)椋?，故D正確故選：AB11.已知定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，若，則（）A.4為的一個(gè)周期 B.的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)AB進(jìn)行驗(yàn)證，根據(jù)函數(shù)周期結(jié)合函數(shù)奇偶性對(duì)選項(xiàng)CD進(jìn)行驗(yàn)證，即可得出答案.【詳解】對(duì)于A(yíng)：函數(shù)為奇函數(shù)，則，則，則的一個(gè)周期為4，故A正確；對(duì)于B：，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于C：的一個(gè)周期為4，，令中的，則，函數(shù)為定義在上奇函數(shù)，，，故C正確；對(duì)于D：的一個(gè)周期為4，，函數(shù)為奇函數(shù)，，，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.12.已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的有（）A.n為偶數(shù)時(shí)， B.C. D.的最大值為20【答案】AC【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)A，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，即可求得通項(xiàng)；對(duì)選項(xiàng)B，檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，所給表達(dá)式不滿(mǎn)足；對(duì)選項(xiàng)C，按照n為奇數(shù)和偶數(shù)分別討論，根據(jù)，可直接求得；對(duì)選項(xiàng)D，的最大值為【詳解】根據(jù)遞推關(guān)系可知，n為奇數(shù)時(shí)，n為偶數(shù)時(shí)，，故A對(duì)；根據(jù)奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列可得：而又：則有：，故B錯(cuò)誤；，故C對(duì)；根據(jù)中的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，而偶數(shù)項(xiàng)之和不是1就是0，因此根據(jù)特點(diǎn)可知：的最大值在奇數(shù)項(xiàng)之和取得最大值的附近，，，，，，，的最大值為，故D錯(cuò)故選：AC三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中相應(yīng)的橫線(xiàn)上．）13.若“”是“”的充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】由充分條件定義直接求解即可.【詳解】“”是“”的充分條件，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14.已知公比大于的等比數(shù)列滿(mǎn)足，，則的公比______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得出關(guān)于的方程，結(jié)合可求得的值.【詳解】由題意可得，則，上述兩個(gè)等式作商可得，即，因?yàn)椋獾?故答案為：.15.若函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)基本不等式求出時(shí)的取值范圍，然后根據(jù)的范圍得出在上的單調(diào)性，求出值域．根據(jù)題意，即可得出答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù).當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.當(dāng)，即時(shí)，有，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，有，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，有.要使的值域是，則應(yīng)有，所以.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的值域是.故答案為：.16.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最大值是______．【答案】【解析】【分析】作出的函數(shù)圖象，得出，，將化簡(jiǎn)為，構(gòu)造函數(shù)，，由得出單調(diào)遞增，求出的最大值，即可求得答案．【詳解】解：作出的函數(shù)圖象如圖所示：∵存在實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，，，由圖可知，，，設(shè)，其中，，顯然在單調(diào)遞增，，，，在單調(diào)遞增，在的最大值為，的最大值為，故答案為：．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.化簡(jiǎn)與求值.（1）化簡(jiǎn)：；（2）已知，其中，的值.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可得出.（2）先利用平方差公式化簡(jiǎn)，再利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可得出.【詳解】（1）原式；（2）由可知，原式.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪的化簡(jiǎn)，要對(duì)分式進(jìn)行正確運(yùn)算得到最簡(jiǎn)結(jié)果.18.習(xí)近平總書(shū)記提出：“綠水青山就是金山銀山”的重要理念，說(shuō)明呵護(hù)地球，人人有責(zé).某省為響應(yīng)該理念，計(jì)劃每年都增長(zhǎng)相同百分比的綠化面積，且年時(shí)間綠化面積增長(zhǎng)，（參考數(shù)據(jù)：，，，）試求：（1）求每年綠化面積的增長(zhǎng)率；（2）按此增長(zhǎng)率，若年年初時(shí)，該省的綠地面積是提出該理念時(shí)的倍，請(qǐng)問(wèn)習(xí)近平總書(shū)記最遲是哪一年首次提出該理論.【答案】（1）約為；（2）年.【解析】【分析】（1）設(shè)每年綠化面積的增長(zhǎng)率為，可得出，求出的值即可；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)年后該省的綠地面積是提出該理念時(shí)的倍，可得出，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算求出的值，即可得解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)每年綠化面積的增長(zhǎng)率為，則，則，故每年綠化面積的增長(zhǎng)率約為.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)經(jīng)過(guò)年后該省的綠地面積是提出該理念時(shí)的倍，則，則，而，因此，習(xí)近平總書(shū)記最遲在年首次提出該理論.19.已知函數(shù)f(x)＝x3(a＞0，且a≠1)．（1）討論f(x)的奇偶性；（2）求a的取值范圍，使f(x)＞0在定義域上恒成立．【答案】（1）函數(shù)f(x)是偶函數(shù)（2）∈(1，＋∞)【解析】【分析】（1）先求函數(shù)f(x)的定義域，再判斷f(－x)與f(x)是否相等即可得到結(jié)果；（2）由f(x)是偶函數(shù)可知只需討論x＞0時(shí)的情況，則有x3＞0，從而求得結(jié)果.【詳解】（1）由于ax－1≠0，則ax≠1，得x≠0，∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}．對(duì)于定義域內(nèi)任意x，有f(－x)＝(－x)3＝(－x)3＝(－x)3＝x3＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．（2）由（1）知f(x)為偶函數(shù)，∴只需討論x＞0時(shí)的情況，當(dāng)x＞0時(shí)，要使f(x)＞0，則x3＞0，即＋＞0，即＞0，則ax＞1.又∵x＞0，∴a＞1.∴當(dāng)a∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)＞0.【點(diǎn)睛】本題考查判斷函數(shù)奇偶性的方法和恒成立問(wèn)題，判斷函數(shù)的奇偶性先求定義域，再判斷f(－x)與f(x)是否相等或者互為相反數(shù)，相等即為偶函數(shù)，互為相反數(shù)則為奇函數(shù)，屬中檔題.20.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，已知，公差為，為其前n項(xiàng)和，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量的計(jì)算以及等比中項(xiàng)，列方程即可求解，進(jìn)而可求通項(xiàng)，（2）根據(jù)裂項(xiàng)求和可得的前n項(xiàng)和，進(jìn)而可求.【小問(wèn)1詳解】在等差數(shù)列中，，公差，為其前n項(xiàng)和，∴，，，又，，成等比數(shù)列，∴，即，由于,解得，∴小問(wèn)2詳解】證明：由（Ⅰ）知，∴，則，∵，∴，，∴21.已知函數(shù)．（1）求在上的極值；（2）若，求的最小值．【答案】（1）為極小值，無(wú)極大值.（2）【解析】【分析】(1)求導(dǎo)后，借助導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，借助單調(diào)性分析極值的情況；(2)令,令，設(shè)，再借助導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，分析原函數(shù)的單調(diào)性確定極值，再反推的單調(diào)性，判斷極大值情況.【小問(wèn)1詳解】，令，得，在為負(fù)，單調(diào)遞減，在為正，單調(diào)遞增，故為極小值，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】由題知,令，令，則，設(shè)則，，為正，在單調(diào)遞增，，為負(fù)，在單調(diào)遞減，故極大值，若，即，此時(shí)，則在單調(diào)遞減，又，所以時(shí)，在單調(diào)遞增，時(shí)，，在單調(diào)遞減，故為極大值，所以，則當(dāng)時(shí)，符合條件；，即此時(shí)，存在，在上；，則在單調(diào)遞增，又，則在區(qū)間上所以在區(qū)間上，單調(diào)遞減，則，不滿(mǎn)足條件.綜上所述的最小值為.22.已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間