數(shù)學(xué)人教A版選修2-3學(xué)案第三章3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)、難點(diǎn)．2．會(huì)利用散點(diǎn)圖分析兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系．會(huì)用殘差及R2來(lái)刻畫(huà)線(xiàn)性回歸模型的擬合效果．3．能記住建立回歸模型的方法和步驟；能知道如何利用線(xiàn)性回歸模型求非線(xiàn)性回歸模型.重點(diǎn)：建立變量之間的線(xiàn)性回歸方程，能根據(jù)散點(diǎn)圖初步判斷兩個(gè)變量之間是否具有線(xiàn)性關(guān)系．．2．掌握建立回歸模型的步驟，會(huì)選擇回歸模型，特別是非線(xiàn)性回歸模型.1．線(xiàn)性回歸模型(1)函數(shù)關(guān)系是一種______關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種________關(guān)系．(2)回歸分析是對(duì)具有____關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法．(3)對(duì)于一組具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為_(kāi)_________________．其中(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))稱(chēng)為_(kāi)_______．(4)線(xiàn)性回歸模型y＝bx＋a＋e，其中e稱(chēng)為_(kāi)_______，a和b是模型的未知參數(shù)，自變量x稱(chēng)為_(kāi)_______，因變量y稱(chēng)為_(kāi)_______．預(yù)習(xí)交流1如果記錄了x，y的幾組數(shù)據(jù)分別為(0,1)，(1,4)，(2,7)，(3,10)，則y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸直線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)()．A．(2,2)B．(,2) C．(1,2) D．(,)2．殘差的概念對(duì)于樣本點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)而言，它們的隨機(jī)誤差為ei＝____，i＝1,2，…，n，其估計(jì)值為eq\o(e,\s\up6(^))i＝__________＝__________，i＝1,2，…，n，eq\o(e,\s\up6(^))i稱(chēng)為相應(yīng)于點(diǎn)(xi，yi)的殘差．3．回歸模型擬合效果的刻畫(huà)類(lèi)別殘差圖法殘差平方和法R2法特點(diǎn)殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說(shuō)明選用的模型比較適合，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高殘差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的擬合效果越好R2＝__________表示________對(duì)于________變化的貢獻(xiàn)率，R2越接近于__，表示回歸的效果越好預(yù)習(xí)交流2怎么理解散點(diǎn)圖和相關(guān)指數(shù)的關(guān)系？4．建立回歸模型的基本步驟為：(1)確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量．(2)畫(huà)出解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線(xiàn)性關(guān)系等)．(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類(lèi)型(如觀察到數(shù)據(jù)呈線(xiàn)性關(guān)系，則選用線(xiàn)性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)))．(4)按一定規(guī)則(如最小二乘法)估計(jì)回歸方程中的參數(shù)．(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(如個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等)．若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．預(yù)習(xí)交流3用回歸方程求預(yù)報(bào)值應(yīng)注意哪些問(wèn)題？答案：1．(1)確定性非確定性(2)相關(guān)(3)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)樣本點(diǎn)的中心(4)隨機(jī)誤差解釋變量預(yù)報(bào)變量預(yù)習(xí)交流1：提示：D2．yi－bxi－ayi－eq\o(y,\s\up6(^))iyi－eq\o(b,\s\up6(^))xi－eq\o(a,\s\up6(^))3．1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)解釋變量預(yù)報(bào)變量1預(yù)習(xí)交流2：提示：散點(diǎn)圖可以說(shuō)明變量間有無(wú)線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，只能粗略地說(shuō)明兩個(gè)變量之間關(guān)系的密切程度，而相關(guān)指數(shù)R2能精確地描述兩個(gè)變量之間的密切程度．預(yù)習(xí)交流3：提示：(1)回歸方程只適用于所研究的樣本的總體．(2)所建立的回歸方程一般都有時(shí)間性．(3)樣本的取值范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍．(4)不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值．事實(shí)上，它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的平均值．在預(yù)習(xí)中，還有哪些問(wèn)題需要你在聽(tīng)課時(shí)加以關(guān)注？請(qǐng)?jiān)谙铝斜砀裰凶鰝€(gè)備忘吧！我的學(xué)困點(diǎn)我的學(xué)疑點(diǎn)一、求線(xiàn)性回歸方程某工廠1～8月份某種產(chǎn)品的產(chǎn)量與成本的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表：月份12345678產(chǎn)量(噸)成本(萬(wàn)元)130136143149157172183188以產(chǎn)量為x，成本為y.(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖；(2)y與x是否具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系？若有，求出其回歸方程．思路分析：畫(huà)出散點(diǎn)圖，觀察圖形的形狀得x與y是否具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系．把數(shù)值代入回歸系數(shù)公式求回歸方程．某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)是30元/臺(tái)的小商品，在市場(chǎng)試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷(xiāo)售單價(jià)x(x取整數(shù))元與日銷(xiāo)售量y臺(tái)之間有如下關(guān)系：x35404550y56412811(1)y與x是否具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系？如果具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線(xiàn)方程．(方程的斜率保留一個(gè)有效數(shù)字)(2)設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷(xiāo)售利潤(rùn)為P元，根據(jù)(1)寫(xiě)出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并預(yù)測(cè)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)x為多少元時(shí)，才能獲得最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)．(1)散點(diǎn)圖是定義在具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量基礎(chǔ)上的，對(duì)于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點(diǎn)圖，在圖上看它們有無(wú)關(guān)系，關(guān)系的密切程度，然后再進(jìn)行相關(guān)回歸分析．(2)求回歸直線(xiàn)方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點(diǎn)圖大致呈線(xiàn)性時(shí)，求出的回歸直線(xiàn)方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線(xiàn)方程毫無(wú)意義．二、線(xiàn)性回歸分析某運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)與運(yùn)動(dòng)成績(jī)之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如下：次數(shù)(x)3033353739444650成績(jī)(y)3034373942464851(1)作出散點(diǎn)圖；(2)求出線(xiàn)性回歸方程；(3)作出殘差圖，并說(shuō)明模型的擬合效果；(4)計(jì)算R2，并說(shuō)明其含義．思路分析：先畫(huà)出散點(diǎn)圖，確定是否具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，求出回歸方程，再求出殘差，確定模型的擬合的效果和R2的含義．1．(2011山東高考，文8)某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷(xiāo)售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x/萬(wàn)元4235銷(xiāo)售額y/萬(wàn)元49263954根據(jù)上表可得回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷(xiāo)售額為()．A．B． C． D．2．在一段時(shí)間內(nèi)，某種商品的價(jià)格x元和需求量y件之間的一組數(shù)據(jù)為：x(元)1416182022y(件)1210753且知x與y具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，求出y對(duì)x的回歸直線(xiàn)方程，并說(shuō)明擬合效果的好壞．“相關(guān)指數(shù)R2、殘差圖”在回歸分析中的作用：(1)相關(guān)指數(shù)R2是用來(lái)刻畫(huà)回歸效果的，由R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)可知R2越大，意味著殘差平方和越小，也就是說(shuō)模型的擬合效果就越好．(2)殘差圖也是用來(lái)刻畫(huà)回歸效果的，判斷依據(jù)是：殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中，帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，回歸方程預(yù)報(bào)精度越高．三、非線(xiàn)性回歸分析下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：x21232527293235y711212466115325(1)作出x與y的散點(diǎn)圖，并猜測(cè)x與y之間的關(guān)系；(2)建立x與y的關(guān)系，預(yù)報(bào)回歸模型并計(jì)算殘差；(3)利用所得模型，預(yù)報(bào)x＝40時(shí)y的值．思路分析：先由數(shù)值表作出散點(diǎn)圖，然后根據(jù)散點(diǎn)的形狀模擬出近似函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性函數(shù)，由數(shù)值表求出回歸函數(shù)．在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)值如下表：x124y1612521試建立y與x之間的回歸方程．非線(xiàn)性回歸問(wèn)題有時(shí)并不給出經(jīng)驗(yàn)公式，這時(shí)我們可以畫(huà)出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，把它與學(xué)過(guò)的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等)圖象作比較，挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞恐脫Q，把問(wèn)題化為線(xiàn)性回歸分析問(wèn)題，使之得到解決．答案：活動(dòng)與探究1：解：(1)由表畫(huà)出散點(diǎn)圖，如圖所示．(2)從圖上可看出，這些點(diǎn)基本上散布在一條直線(xiàn)附近，可以認(rèn)為x和y線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系顯著，下面求其回歸方程，首先列出下表.序號(hào)xiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi1130169002136184963143204494149222015157246491617229584171833348918188353441∑12582011128eq\x\to(x)＝6.85，eq\x\to(y)＝157.25.∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,x)iyi－8\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,8,x)\o\al(2,i)－8\x\to(x)2)＝eq\f(8－8××,－8×2)≈，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝－×≈，故線(xiàn)性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋5.39.遷移與應(yīng)用：解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示，從圖中可以看出這些點(diǎn)大致分布在一條直線(xiàn)附近，因此兩個(gè)變量線(xiàn)性相關(guān)．設(shè)回歸直線(xiàn)為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，由題知eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝34，則求得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,4,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(－370,125)≈－3.eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝34－(－3)×＝161.5.∴eq\o(y,\s\up6(^))＝－3x＋161.5.(2)依題意有P＝(－3x＋)(x－30)＝－3x2＋x－4845＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(,6)))2＋eq\f(2,12)－4845.∴當(dāng)x＝eq\f(,6)≈42時(shí)，P有最大值，約為426.即預(yù)測(cè)銷(xiāo)售單價(jià)為42元時(shí)，能獲得最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)．活動(dòng)與探究2：解：(1)作出該運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)(x)與成績(jī)(y)之間的散點(diǎn)圖，如圖所示，由散點(diǎn)圖可知，它們之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系．(2)eq\x\to(x)＝39.25，eq\x\to(y)＝40.875，eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)＝12656，eq\i\su(i＝1,8,y)eq\o\al(2,i)＝13731，eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝13180，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,8,x)iyi－8\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,8,x)\o\al(2,i)－8\o\al(2,x))≈5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝－875，∴線(xiàn)性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝5x－875.(3)作殘差圖如圖所示，由圖可知，殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適．(4)計(jì)算得相關(guān)指數(shù)R2＝5，說(shuō)明了該運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)的差異有98.55%是由訓(xùn)練次數(shù)引起的．遷移與應(yīng)用：解析：∵eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝eq\f(49＋26＋39＋54,4)－×eq\f(4＋2＋3＋5,4)＝，∴回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋9.1.令x＝6，得eq\o(y,\s\up6(^))＝×6＋＝(萬(wàn)元)．2．解：eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)＝122＋102＋72＋52＋32＝327，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(620－5×18×,1660－5×182)＝eq\f(－46,40)＝－1.15.∴eq\o(a,\s\up6(^))＝＋×18＝，∴回歸直線(xiàn)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－x＋28.1.列出殘差表為：yi－eq\o(y,\s\up6(^))i0yi－eq\x\to(y)∴eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝，eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\x\to(y))2＝，R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,5,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,5,)yi－\x\to(y)2)≈0.994.故R2≈．活動(dòng)與探究3：解：(1)作出散點(diǎn)圖如圖，從散點(diǎn)圖可以看出x與y不具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)已有知識(shí)可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線(xiàn)y＝c1ec2x的周?chē)?，其中c1，c2為待定的參數(shù)．(2)對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€(xiàn)性關(guān)系，令z＝lny，則有變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)分布在直線(xiàn)z＝bx＋a，a＝lnc1，b＝c2的周?chē)?，這樣就可以利用線(xiàn)性回歸模型來(lái)建立y與x之間的非線(xiàn)性回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為：x21232527293235z求得回歸直線(xiàn)方程為eq\o(z,\s\up6(^))＝x－，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝ex.殘差yi711212466115325eq\o(y,\s\up6(^))ieq\o(e,\s\up6(^))i(3)當(dāng)x＝40時(shí)，y＝ex≈1131.遷移與應(yīng)用：解：畫(huà)出散點(diǎn)圖如圖所示．根據(jù)散點(diǎn)圖可知y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)y＝eq\f(k,x)，令t＝eq\f(1,x)，則y＝kt，原數(shù)據(jù)變?yōu)椋簍421y1612521由置換后的數(shù)值表作散點(diǎn)圖如下：由散點(diǎn)圖可以看出y與t呈近似的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系．列表如下：序號(hào)tiyitiyiteq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)14166416256221224414431551254214511∑365430所以eq\x\to(t)＝，eq\x\to(y)＝7.2.所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\x\to(t)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,t)\o\al(2,i)－5\x\to(t2))≈4，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)≈0.8.所以eq\o(y,\s\up6(^))＝4t＋0.8.所以y與x的回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(4,x)＋0.8.1．(2011江西高考，文8)為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對(duì)父子的身高數(shù)據(jù)如下：父親身高x(cm)174176176176178兒子身高y(cm)175175176177177則y對(duì)x的線(xiàn)性回歸方程為()．A．y＝x－1B．y＝x＋1 C．