內(nèi)生增長(zhǎng)理論

#第2章長(zhǎng)期增長(zhǎng)11：內(nèi)生增長(zhǎng)理論正如我們?cè)诘?章中所指出的，在索洛于1956年發(fā)表的經(jīng)典文章之后，增長(zhǎng)經(jīng)濟(jì)學(xué)經(jīng)歷了將近20年的繁榮，但卻在上世紀(jì)60年代末寂靜下來(lái)。究其原因，大概可以說(shuō)是索洛模型的中心結(jié)論是讓人失望的：在缺乏連續(xù)技術(shù)進(jìn)步的情況下，人均增長(zhǎng)將最終停止。但是，從實(shí)踐的角度來(lái)看，這并不是一個(gè)多世紀(jì)以來(lái)人們所觀察到的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)。因此，增長(zhǎng)經(jīng)濟(jì)學(xué)需要注入新的理論活力才能有后續(xù)的發(fā)展。自上世紀(jì)80年代中期以來(lái)，關(guān)于經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的研究進(jìn)入了又一次的繁榮。在Romer(1986)發(fā)表20年后的今天，無(wú)論是經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的理論研究還是經(jīng)驗(yàn)研究都顯著地改善了其在整個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的地位?，F(xiàn)在，經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)既是整個(gè)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的研究重點(diǎn)，也是現(xiàn)代宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)教材中不可或缺的組成部分。這和60年代末到80年代中期的狀況形成了鮮明的比照，那時(shí)候，經(jīng)濟(jì)學(xué)家們的研究興趣主要集中于短期的經(jīng)濟(jì)波動(dòng)，無(wú)論是在發(fā)表于各種學(xué)術(shù)期刊的文章中，還是在各種級(jí)別的經(jīng)濟(jì)學(xué)教材中，關(guān)于經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的內(nèi)容扮演的都只是次要的角色。Romer(1986)和Lucas(1988)是今天我們稱之為內(nèi)生增長(zhǎng)理論或新增長(zhǎng)理論這一領(lǐng)域的兩篇經(jīng)典文章，盡管他們強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)有所不同，分別是知識(shí)資本和人力資本。在他們的模型中，資本這一生產(chǎn)要素被賦予了新的解釋，從而克服掉了資本邊際報(bào)酬遞減這一導(dǎo)致了索洛模型的中心結(jié)論的關(guān)鍵性假定，進(jìn)而長(zhǎng)期的人均經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)可以內(nèi)生地實(shí)現(xiàn)。但是，這一類型的內(nèi)生增長(zhǎng)模型并不需要真正的內(nèi)生技術(shù)進(jìn)步，經(jīng)濟(jì)的長(zhǎng)期正增長(zhǎng)來(lái)源于知識(shí)在生產(chǎn)者之間的擴(kuò)散或者人力資本所帶來(lái)的外部效應(yīng)或替代效應(yīng)。眾所周知，知識(shí)的一個(gè)重要特征是非競(jìng)爭(zhēng)性。因此，要想實(shí)現(xiàn)知識(shí)的連續(xù)進(jìn)步的話，就必須賦予知識(shí)的發(fā)明者一定的壟斷權(quán)利作為激勵(lì)，即其在知識(shí)的使用方面應(yīng)當(dāng)具有一定的排他性，這就要求研究增長(zhǎng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)家們突破傳統(tǒng)的完全競(jìng)爭(zhēng)框架來(lái)為知識(shí)或技術(shù)進(jìn)步在生產(chǎn)中的作用建模，真正地將知識(shí)的這種特征引入增長(zhǎng)理論的研究始于Romer(1987,1990)以及AghionandHowitt(1992)，這就是今天我們所說(shuō)的內(nèi)生技術(shù)進(jìn)步模型。他們?cè)诟髯缘脑鲩L(zhǎng)模型中都不約而同地引入了不完全競(jìng)爭(zhēng)框架，從而有壟斷利潤(rùn)作為R&D活動(dòng)的激勵(lì)，這就為技術(shù)進(jìn)步的內(nèi)生化提供了一個(gè)合理的解釋。此外，內(nèi)生增長(zhǎng)理論還包括試圖將索洛模型中的另一外生變量——人口增長(zhǎng)率——內(nèi)生化的研究工作，其中關(guān)鍵的想法是將生育選擇分析整合進(jìn)增長(zhǎng)理論的框架，或者構(gòu)造一些涉及到遷移或勞動(dòng)/閑暇選擇的模型，這方面的開(kāi)創(chuàng)性文獻(xiàn)包括Braun(1993)以及Becker和Barro(1988,1989)等。第一節(jié)生產(chǎn)性要素的非遞減報(bào)酬我們已經(jīng)知道，索洛模型中的條件收斂性質(zhì)或者正的長(zhǎng)期人均增長(zhǎng)依賴于連續(xù)的外生技術(shù)進(jìn)步的性質(zhì)都是源自資本的邊際報(bào)酬遞減的假定。構(gòu)造內(nèi)生增長(zhǎng)理論的途徑之一正是設(shè)法消除掉這一可積累要素所經(jīng)歷的報(bào)酬遞減的長(zhǎng)期趨勢(shì)。關(guān)于報(bào)酬遞減或遞增的討論由來(lái)已久。例如，埃德蒙?惠特克〔EdmundWhittake〕r在《經(jīng)濟(jì)思想流派》一書(shū)中寫(xiě)到〔第177頁(yè)〕，“...農(nóng)業(yè)會(huì)隨著生產(chǎn)規(guī)模的擴(kuò)張而報(bào)酬遞減，而工業(yè)制品則在報(bào)酬遞增的條件下擴(kuò)張，是十九世紀(jì)絕大部分時(shí)期英國(guó)正統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)家的特色，既使在二十世紀(jì)也并未完全消失”；在同一著作中，埃德蒙?惠特克還寫(xiě)到〔同上書(shū)，第179頁(yè)〕，“李嘉圖在他的論述中承認(rèn)，農(nóng)業(yè)和制造業(yè)都受到兩種互相矛盾的力量的影響：〔1〕由于自然原料，尤其是食物費(fèi)用的增加而出現(xiàn)的報(bào)酬遞減趨勢(shì)，以及〔2〕由于生產(chǎn)方法改進(jìn)而出現(xiàn)的報(bào)酬遞增趨勢(shì)。”這就是說(shuō)，報(bào)酬遞減或遞增取決于我們?nèi)绾稳ダ斫馍a(chǎn)過(guò)程中所使用的基本要素。如果我們只是在傳統(tǒng)的意義上去理解生產(chǎn)要素的話，則實(shí)物資本、勞動(dòng)以及土地所經(jīng)歷的報(bào)酬遞減可以說(shuō)是合理的。但是，技術(shù)進(jìn)步或知識(shí)這一類要素對(duì)于生產(chǎn)的奉獻(xiàn)則很難說(shuō)是報(bào)酬遞減的。這是因?yàn)椋R(shí)并不同于一般的消費(fèi)品，它的使用在一定的意義上是非競(jìng)爭(zhēng)性的。例如，一張關(guān)于某個(gè)在建工廠的藍(lán)圖也可以同時(shí)用于其他10個(gè)工廠的建設(shè)，卻并不帶來(lái)設(shè)計(jì)成本的增加；又如，在現(xiàn)代增長(zhǎng)經(jīng)濟(jì)學(xué)的學(xué)習(xí)中我們經(jīng)常要用到的龐特里雅金〔Pontryagin〕最大值原理，一位研究者使用的同時(shí)并不防礙其他研究者的使用；再比方，微軟公司設(shè)計(jì)發(fā)行的Windows操作系統(tǒng)，眾多電腦的同時(shí)使用并不會(huì)降低這一軟件本身的性能?？紤]到知識(shí)的這一特殊性質(zhì)，傳統(tǒng)的規(guī)模報(bào)酬不變的生產(chǎn)函數(shù)就會(huì)遇到技術(shù)上的困難。因?yàn)橛蓺W拉定理可知，競(jìng)爭(zhēng)性要素投入所要求的回報(bào)將會(huì)把最終產(chǎn)品分配凈盡，從而非競(jìng)爭(zhēng)性要素投入將無(wú)法獲得補(bǔ)償。因此，如果要在生產(chǎn)函數(shù)中引入非競(jìng)爭(zhēng)性的生產(chǎn)要素話，原有的規(guī)模報(bào)酬不變的性質(zhì)就會(huì)被破壞，這就是最初的內(nèi)生增長(zhǎng)理論假定規(guī)模報(bào)酬遞增的主要原因。接下來(lái)的問(wèn)題是，具有非競(jìng)爭(zhēng)性的知識(shí)是如何產(chǎn)生，又是由誰(shuí)來(lái)提供的呢？一種簡(jiǎn)單的方法是將知識(shí)處理為公共物品，例如第1章中介紹的索洛模型以及本節(jié)要介紹的內(nèi)生增長(zhǎng)模型都是采取的這一方法。但是，這兩類模型在關(guān)于知識(shí)的假定上又有重要的區(qū)別，索洛模型直接假定知識(shí)是外生給定的，并同時(shí)具有公共物品的性質(zhì)，而本節(jié)的模型則是通過(guò)假定資本的投資具有一定的正外部性，即知識(shí)是在投資的過(guò)程中逐漸獲得的，并且一經(jīng)獲得就具有了公共物品的性質(zhì)。另一種方法則是在保證知識(shí)使用的非競(jìng)爭(zhēng)性的同時(shí)，賦予知識(shí)的使用以一定的排他性，從而知識(shí)的發(fā)明者可以通過(guò)他所享有的這種對(duì)于知識(shí)的壟斷權(quán)而獲得一定的壟斷利潤(rùn)，以此作為對(duì)于知識(shí)的創(chuàng)造者的激勵(lì)。這就意味著，如果要想將知識(shí)資本引入增長(zhǎng)模型，就必須突破傳統(tǒng)的完全競(jìng)爭(zhēng)框架，這在一定程度上增加了理論的難度，這是下一節(jié)中要介紹的內(nèi)生技術(shù)進(jìn)步模型的主要思想。Romer(1986)和1底@$(1988)模型是內(nèi)生增長(zhǎng)理論的開(kāi)端標(biāo)志。Romer(1986)模型秉承的是Young(1928)中的報(bào)酬遞增和Arrow(1962)中的將知識(shí)處理為公共物品的思想，通過(guò)假設(shè)知識(shí)的創(chuàng)造是投資的一個(gè)副產(chǎn)品來(lái)消除掉報(bào)酬遞減的趨勢(shì)。因此，這一模型仍然容許完全競(jìng)爭(zhēng)的框架，并沒(méi)有真正地刻畫(huà)出知識(shí)本身的特征，而只是通過(guò)經(jīng)濟(jì)的外部性來(lái)間接地捕捉知識(shí)資本的效應(yīng)，當(dāng)然其最終的結(jié)果將不再是帕累托最優(yōu)的。1聯(lián)@式1988)模型也是將知識(shí)處理為公共物品，但是和Romer(1986)模型不同的是，盧卡斯模型秉承的是Uzawa〔1965〕中的思想，強(qiáng)調(diào)的是人力資本，并且假定人力資本的積累具有外部性。下面我們將要具體討論這兩種類型的增長(zhǎng)模型，而在此之前，首先介紹一個(gè)最簡(jiǎn)單的內(nèi)生增長(zhǎng)模型—-AK模型。一、最簡(jiǎn)單的內(nèi)生增長(zhǎng)模型：AK模型在所有試圖消除資本報(bào)酬遞減趨勢(shì)的內(nèi)生增長(zhǎng)模型中，AK模型是最早的也是最簡(jiǎn)單的一個(gè)。在索洛模型中，假定生產(chǎn)函數(shù)具有如下的AK形式：Y=AK其中A是大于零的常數(shù)，這意味著資本的報(bào)酬并不隨著自身的積累而遞減，而是保持為一個(gè)恒定的水平A。我們繼續(xù)沿用索洛模型中關(guān)于各種參數(shù)的假定，于是，人均資本存量的增長(zhǎng)率為：y=sA_(n+8)k由于y=Ak以及°=Q-sb,從而此模型中的所有人均變量一一y、k、°——都以速度yJ曾長(zhǎng)。假設(shè)必>(n+8)，則7k>0，從而經(jīng)濟(jì)的長(zhǎng)期人均正增長(zhǎng)得以實(shí)現(xiàn)，并且更重要的是，這一正增長(zhǎng)率是依賴于模型中的各種行為參數(shù)的，這將為各種經(jīng)濟(jì)政策的使用提供一個(gè)理論基礎(chǔ)。AK模型的一個(gè)重要缺陷是缺乏收斂的性質(zhì)，即在AK模型中，增長(zhǎng)率不依賴于模型的狀態(tài)變量k,具有不同初始水平的經(jīng)濟(jì)都將以相同的速度增長(zhǎng)，這是和大量關(guān)于經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的經(jīng)驗(yàn)研究的文獻(xiàn)所支持的條件收斂結(jié)論相悖的。為得到具有轉(zhuǎn)移動(dòng)態(tài)的內(nèi)生增長(zhǎng)模型，JonesandManuelli(1990)提出了如下修正形式的AK型生產(chǎn)函數(shù)：Y=AK+BKaL-這是一個(gè)AK型生產(chǎn)函數(shù)和一個(gè)新古典型生產(chǎn)函數(shù)的組合。在這樣的生產(chǎn)函數(shù)假定下，資本的報(bào)酬率在漸近的意義上是非遞減的，從而此模型可以在實(shí)現(xiàn)內(nèi)生增長(zhǎng)的同時(shí)又預(yù)測(cè)出條收斂的性質(zhì)。客觀地說(shuō)，AK模型及其變種〔有時(shí)亦將這一類模型稱為凸性增長(zhǎng)模型〕通過(guò)假定的方式來(lái)消除掉資本的報(bào)酬遞減趨勢(shì)的這一方式過(guò)于簡(jiǎn)單，至今為止，對(duì)此種假定的唯一流行的解釋是：K表示的是廣義的資本概念，從而可以防止積累過(guò)程中的長(zhǎng)期遞減趨勢(shì)。但是，無(wú)論是從經(jīng)驗(yàn)研究的角度來(lái)看，還是從理論建模的觀點(diǎn)出發(fā)，這種假定都失于簡(jiǎn)單。我們不妨自問(wèn)一下，AK模型中的這種報(bào)酬非減的資本概念到底應(yīng)該和現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)過(guò)程中的哪些具體資本形式聯(lián)系在一起呢？或者說(shuō)，我們到底應(yīng)該組合現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)中多少形式的資本后才能認(rèn)為這種復(fù)合資本的報(bào)酬率是非減的呢？這在經(jīng)驗(yàn)上是一個(gè)難以答復(fù)的問(wèn)題。另一方面，從理論上講，如果我們已經(jīng)將增長(zhǎng)模型中的唯一可積累要素的報(bào)酬假設(shè)為非遞減的，那么此模型最終表現(xiàn)出穩(wěn)態(tài)的內(nèi)生增長(zhǎng)就不應(yīng)該是太讓人驚訝的結(jié)論，畢竟我們一般來(lái)說(shuō)是以模型的假設(shè)前提與最終結(jié)論之間的距離遠(yuǎn)近來(lái)評(píng)價(jià)一個(gè)模型的理論價(jià)值大小的。二、邊干邊學(xué)〔LearningbyDoing〕模型AK模型中產(chǎn)生內(nèi)生增長(zhǎng)的關(guān)鍵在于不存在可積累要素的遞減報(bào)酬。在八十年代重新激活了增長(zhǎng)理論領(lǐng)域的經(jīng)典文章中，Romer(1986)借用了Arrow(1962)的框架，通過(guò)假設(shè)知識(shí)的創(chuàng)造是投資的一個(gè)副產(chǎn)品來(lái)消除掉報(bào)酬遞減的趨勢(shì)。也就是說(shuō)，一個(gè)增加了其物資資本的企業(yè)同時(shí)也學(xué)會(huì)了如何更有效地生產(chǎn)。經(jīng)驗(yàn)對(duì)于生產(chǎn)率的這一正向影響被稱為邊干邊學(xué)或干中學(xué)。在j介紹Romer(1986)中的模型之前，我們利用一種簡(jiǎn)單的方式來(lái)闡明邊干邊學(xué)的思想。1假定代表性企業(yè)i的生產(chǎn)函數(shù)為：Y=F(K,K-L)i ii其中Y、K、L分別表示企業(yè)的產(chǎn)出、資本投入、勞動(dòng)投入。K表示經(jīng)濟(jì)iii的總資本存量：K=￡K。注意，這里的新古典生產(chǎn)函數(shù)F和我們?cè)谇皟蒳i章討論過(guò)的新古典生產(chǎn)函數(shù)的一個(gè)重要區(qū)別在于，之前的生產(chǎn)函數(shù)中代表技術(shù)水平的參數(shù)現(xiàn)在由經(jīng)濟(jì)的總資本存量來(lái)表示。這就意味著，在每一個(gè)廠商增加自己的資本投入的同時(shí)，也增加了自己的生產(chǎn)效率。但是，我們要假定，對(duì)于單個(gè)企業(yè)來(lái)說(shuō)，它是意識(shí)不到投資的這種正外部經(jīng)濟(jì)的，在其進(jìn)行決策時(shí)，唯一關(guān)注的仍是要素投入的私人邊際產(chǎn)品。當(dāng)然，這里的另外一個(gè)隱含假定是，每個(gè)企業(yè)的知識(shí)都是公共品，任何其他企業(yè)都可以無(wú)成本地獲得。因此，知識(shí)一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，就立刻外溢到整個(gè)經(jīng)濟(jì)范圍內(nèi)。2企業(yè)的利潤(rùn)最大化問(wèn)題是：1BarroandSala-i-Martin(1995)EconomicGrowth,McGrawhill.2在最初的討論邊干邊學(xué)的模型中，這種關(guān)于知識(shí)外溢效應(yīng)的假定是不可或缺的。max兀=FK,KL）-（r+B）K一wLi ii ii其中兀表示企業(yè)的利潤(rùn)，r和3分別表示資本的利息率和折舊率，w表示工i資率。上述問(wèn)題的一階條件是：dY/dK=r+3,dY/d.L=wTOC\o"1-5"\h\zii ii從人均資本存量的角度來(lái)看，我們可將上述條件改寫(xiě)為：dyy/dk=f(k,K)=r+3i i 1idY/d.L=fQ,K)-kfQ,K)=wi i i i1i其中f(k,K)表示資本的私人邊際產(chǎn)品，這里并未考慮k通過(guò)經(jīng)濟(jì)的總資本1i i存量K〔即生產(chǎn)率參數(shù)〕對(duì)于產(chǎn)出所作出的正向奉獻(xiàn)。由于經(jīng)濟(jì)中的所有企業(yè)都是對(duì)稱的，從而在經(jīng)濟(jì)均衡時(shí)每個(gè)企業(yè)都將選擇相同的資本投入，這意味著代表性企業(yè)的人均資本存量勺等于整個(gè)經(jīng)濟(jì)的人均資本存量k。于是，資本的平均產(chǎn)品為：f(k,K)/k=fG,K/k)=~(L)ii i而資本的私人邊際產(chǎn)品為：f(k,K)=~(L)-L-~t(L)1i需要注意的是，這里我們所得到的資本的平均產(chǎn)品和邊際產(chǎn)品的表達(dá)式都不依賴于資本存量本身，換句話說(shuō)，在前一章中所遇到的資本的報(bào)酬隨著資本存量的增加而遞減的趨勢(shì)不存在了。如果我們假定經(jīng)濟(jì)的總?cè)丝谑遣蛔兊?，則資本的平均產(chǎn)品和邊際產(chǎn)品就都是不變的量，這和我們?cè)谏弦还?jié)中介紹的AK模型是一致的。在這樣的生產(chǎn)函數(shù)的假定之下，如果我們繼續(xù)沿用上一章中介紹拉姆齊模型時(shí)的記號(hào)，易知人均消費(fèi)增長(zhǎng)率的表達(dá)式為：丫=-uft，f(l)-l-~f(L)-3-p]cu匕),c與AK模型一樣，上述增長(zhǎng)率是不變的。在一定的參數(shù)假定之下，我們可以得

到正的人均增長(zhǎng)率。31986年，保羅?羅默在著名的“政治經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志”上發(fā)表的文章“遞增報(bào)酬與長(zhǎng)期增長(zhǎng)”重新激活了關(guān)于增長(zhǎng)經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究。在這篇文章中，羅默假定知識(shí)是一種具有遞增邊際產(chǎn)品的資本品，并且當(dāng)其他的投入要素給定時(shí)，消費(fèi)品的生產(chǎn)是知識(shí)存量的函數(shù)。確切地說(shuō)，如果某一企業(yè)犧牲/數(shù)量的當(dāng)前消費(fèi)而投入于研究部門(mén)，并且該企業(yè)的當(dāng)前知識(shí)資本存量為k的話，則該企業(yè)的知識(shí)資本的積累規(guī)律為：k=G(I,k)函數(shù)G被假定為是一次齊次且凹的。因此，k/k=g(I/k)其中g(shù)(I/k)三G。/kj)。進(jìn)一步假定函數(shù)g是上有界的，并且g(0)=0。消費(fèi)品的生產(chǎn)函數(shù)假定為：y=F(k,K,X)其中k表示代表性廠商所特有的知識(shí)資本，kC)表示總的知識(shí)資本存量，而X表示除去知識(shí)資本之外的物資資本、勞動(dòng)等生產(chǎn)要素。關(guān)于函數(shù)F的假定主要有兩個(gè)：一、對(duì)于K的任意給定值，F(xiàn)關(guān)于k和X是凹且一次齊次的；二、對(duì)于X的任意給定值，如果K=Nk〔這里N表示經(jīng)濟(jì)中企業(yè)的數(shù)目〕的話，則F關(guān)于k是凸的。第一個(gè)假定捕捉的是私人知識(shí)資本的競(jìng)爭(zhēng)性特征，第二個(gè)假定強(qiáng)調(diào)的是從整個(gè)社會(huì)的角度來(lái)看，知識(shí)的邊際生產(chǎn)力是遞增的，即生產(chǎn)函數(shù)F表現(xiàn)出規(guī)模報(bào)酬遞增的性質(zhì)。這一特征同時(shí)也是Romer(1986)中的生產(chǎn)函數(shù)和Arrow(1962)中的生產(chǎn)函數(shù)的不同之處。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假定只有知識(shí)資本存量是可以增加的，而以X表示的其他生產(chǎn)要素的供應(yīng)則是固定不變的，于是可以將生產(chǎn)函數(shù)簡(jiǎn)記為f(k,K)。在上述這些假定條件下，羅默構(gòu)造出下述形式的無(wú)限期界增長(zhǎng)模型：max「max「u(c()e-Ptdt,k() /f(k(t)K(t))-c(t))S'加二”kt)Jk(0)給定3比方，我們可取CIES的效用函數(shù)，并假定： ]~(L)-L-~,(L)>P+6>G-9)f(L)-L~,(L)-6-p79+6需要注意的是，上述模型忽略掉了人口增長(zhǎng)、折舊以及其他的生產(chǎn)要素，而只專注于由遞增報(bào)酬導(dǎo)致的長(zhǎng)期增長(zhǎng)。利用庫(kù)恩-塔克定理，羅默證明了在一定條件下，上述優(yōu)化問(wèn)題存在一個(gè)具有外部性的競(jìng)爭(zhēng)均衡，在這樣的均衡狀態(tài)下，人均消費(fèi)和人均知識(shí)資存量可以無(wú)限地增長(zhǎng)。特別地，由于羅默構(gòu)造的是一個(gè)單部門(mén)的增長(zhǎng)模型，并且模型中只有一個(gè)狀態(tài)變量和一個(gè)控制變量，因而可以利用標(biāo)準(zhǔn)的二元微分系統(tǒng)的相圖分析來(lái)得到經(jīng)濟(jì)從初始狀態(tài)向穩(wěn)態(tài)過(guò)渡的直觀表示。在Romer(1986)中，他首先選取了Cobb-Douglas形式的生產(chǎn)函數(shù)，然后針對(duì)兩種特殊的效用函數(shù)分析了經(jīng)濟(jì)的轉(zhuǎn)移動(dòng)態(tài)行為。4三、人力資本模型在模型中引入人力資本是產(chǎn)生內(nèi)生經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的另一條途徑。但是，人力資本概念引致的內(nèi)生增長(zhǎng)機(jī)制與上一小節(jié)中介紹的邊干邊學(xué)思想不盡相同。從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，人力資本概念更像是我們將在下一節(jié)中介紹的技術(shù)進(jìn)步的一種替代。為更好地闡述具有人力資本的增長(zhǎng)理論，我們首先介紹一個(gè)單部門(mén)的人力資本模型，然后再簡(jiǎn)要介紹盧卡斯在1988年發(fā)表的著名模型。假定生產(chǎn)函數(shù)是。066-口0咤匕$型的：Y=AKaH1-a,0<a<1其中H表示生產(chǎn)中的人力資本投入。經(jīng)濟(jì)的產(chǎn)出有三種用途：消費(fèi)C、物資資本的投資I，以及人力資本的投資I。于是，經(jīng)濟(jì)所面臨的資源約束KH為：Y=AKaH1-a=C+I+IKH我們假定物資資本和人力資本以相同的速度3>0折舊。于是，這兩種資本的積累規(guī)律為：■■K=I-8K，H=I-5HKH假定家庭具有通常的跨期可分形式的效用函數(shù)，在中央集權(quán)經(jīng)濟(jì)制度的規(guī)定下，最優(yōu)化問(wèn)題的Hamilton函數(shù)為：L=u(c)e-pt+X(I-8K)+n(I-8H)+^^A.KaHi-a-C-1-1)K H KH利用最大值原理，我們得到優(yōu)化問(wèn)題的一階必要條件：4具體內(nèi)容可參閱Romer(1986)。al/dc=0,al/di=0,al/ai=0. .K H1K=I-8K,H=I-8H.KH九=-al/ak,口=-al/ah這些必要條件再加上對(duì)應(yīng)于不同邊界條件的橫截性條件，我們就可以確定出最優(yōu)的消費(fèi)路徑、物資資本積累路徑和人力資本積累路徑。同時(shí)，我們也可以利用這些必要條件計(jì)算出模型的穩(wěn)態(tài)增長(zhǎng)率。為了得到具體形式的解，我們?nèi)⌒в煤瘮?shù)為CIES的形式：uC)=Ci-e-M-6)，0>0則由上述一階條件可得：y=1Aa(K/H)4-a)-8-p」C0Aa(K/H)<?)-8=AG-a)K/H\-8于是K/H=a/G-a)因此，r*=Aaa(1-a)-a-8這意味著物質(zhì)資本和人力資本的凈報(bào)酬率在K/H)保持不變時(shí)是一個(gè)常數(shù),也就是說(shuō)當(dāng)K和H以相同的速度增長(zhǎng)時(shí)，遞減報(bào)酬不再使用。于是，我們得到了穩(wěn)態(tài)的增長(zhǎng)率：y*=1AaaG-J-a)-8, 0在上述表達(dá)式中，如果各種參數(shù)選擇適當(dāng)，就可以得到一個(gè)正的增長(zhǎng)率。關(guān)于原始的,@式1988)模型，我們可簡(jiǎn)單介紹如下：max口e-pt—CQ)-o-1N(t)dt0 1-0s.t.NCl(t)+K(t)=AK(t>U(t>(t)N(t)l-BhC)a而)=hGgG-u(t))其中y>0，即生產(chǎn)函數(shù)呈現(xiàn)出報(bào)酬遞增的性質(zhì)，而且人力資本通過(guò)教育部門(mén)的生產(chǎn)是密集于人力資本的。利用最大值原理，盧卡斯得出了此模型豐富的動(dòng)態(tài)特征，并證明了在一定條件下可得到內(nèi)生增長(zhǎng)。5其中的關(guān)鍵性結(jié)論是，物質(zhì)資本和人力資本之間的不平衡對(duì)于增長(zhǎng)率的影響是不對(duì)稱的：如果人力資本相對(duì)豐富，則產(chǎn)出和消費(fèi)的增長(zhǎng)率會(huì)隨著人力和物質(zhì)資本之間的不平衡程度的加大而上升；如果人力資本相對(duì)稀缺，則它們就會(huì)隨著不平衡程度的加大而下降。這一結(jié)論和具有物質(zhì)和人力資本的單部門(mén)內(nèi)生增長(zhǎng)模型的結(jié)論是不同的，在那里，物質(zhì)和人力資本的不平衡對(duì)于增長(zhǎng)率的影響是對(duì)稱的。產(chǎn)生上述性質(zhì)的原因是關(guān)于人力資本生產(chǎn)技術(shù)的特殊假定，即人力資本的生產(chǎn)是密集于人力資本的。例如，當(dāng)人力資本相對(duì)稀缺時(shí)，則在物資資本的生產(chǎn)過(guò)程中，人力資本的邊際產(chǎn)品就要相對(duì)地高，因而可以預(yù)期經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的發(fā)生主要是由于人力資本的高增長(zhǎng)率；但是，宇澤-盧卡斯模型中的人力資本相對(duì)稀缺也意味著一個(gè)較高的工資率水平，這就使得人力資本生產(chǎn)部門(mén)的經(jīng)營(yíng)成本較高，這一較高的成本刺激人們把人力資本更多投入于物資資本的生產(chǎn)，而不是原本就相對(duì)稀缺的人力資本的生產(chǎn)，這種效應(yīng)最終會(huì)延緩經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)率。需要指出的是，區(qū)即?琪986)模型和1聯(lián)@式1988)模型產(chǎn)生內(nèi)生增長(zhǎng)的機(jī)制是不一樣的。在羅默模型中，由于知識(shí)的積累存在外溢效應(yīng)，這使得知識(shí)資本的平均產(chǎn)品不再遞減，從而克服了資本的報(bào)酬遞減趨勢(shì)，長(zhǎng)期的人均正增長(zhǎng)得以實(shí)現(xiàn)；而宇澤-盧卡斯模型是一般的具有人力資本的內(nèi)生增長(zhǎng)模型的一種特殊形式，一般來(lái)說(shuō)，在具有人力資本的模型中產(chǎn)生內(nèi)生增長(zhǎng)的主要原因是，資本的報(bào)酬率依賴于物資資本存量和人力資本存量的比例，而當(dāng)這兩種資本以相同的速度增長(zhǎng)時(shí)，遞減報(bào)酬就不再適用，從而穩(wěn)態(tài)的正增長(zhǎng)得以實(shí)現(xiàn)。在宇澤-盧卡斯模型中，物資資本和人力資本由不同的技術(shù)所生產(chǎn)，并且人力資本的生產(chǎn)是密集于人力資本的，對(duì)于生產(chǎn)結(jié)構(gòu)的這一修正會(huì)使得此模型表現(xiàn)出比一般的人力資本模型更豐富的動(dòng)態(tài)特征，具體來(lái)說(shuō)，物資資本和人力資本的不平衡在宇澤-盧卡斯模型中對(duì)于增長(zhǎng)率的影響是不對(duì)稱的。第二節(jié)內(nèi)生技術(shù)進(jìn)步我們已經(jīng)看到，既使在缺乏技術(shù)進(jìn)步的情況下，只要能夠消除掉模型中的資本報(bào)酬遞減趨勢(shì)，就可以得到內(nèi)生的正增長(zhǎng)。因此，上一節(jié)中的內(nèi)生增長(zhǎng)是由外部經(jīng)濟(jì)或物質(zhì)資本存量和人力資本存量之間比例的變化產(chǎn)生的，并不需要真正地將技術(shù)進(jìn)步引入增長(zhǎng)模型，盡管這些模型也常常被稱為是實(shí)現(xiàn)了技術(shù)進(jìn)步的內(nèi)生化。真正地將內(nèi)生技術(shù)進(jìn)步引入增長(zhǎng)模型的奠基性工作是Romer(1987,1990),AghionandHowitt(1992)以及GrossmanandHelpman(1991),5模型的具體推導(dǎo)可參閱Lucas(1988).在他們的模型中，技術(shù)進(jìn)步是有目的的科學(xué)研究活動(dòng)的結(jié)果，并且由于賦予了知識(shí)這種物品既不同于普通物品也不同于公共物品的特殊特征，其報(bào)酬將不符合完全競(jìng)爭(zhēng)經(jīng)濟(jì)中作為價(jià)格接受者的廠商的行為假定，而是具有了一定的壟斷權(quán)力，由此獲得的壟斷利潤(rùn)可以作為對(duì)科研活動(dòng)的激勵(lì)。Romer(1990)主要討論的是產(chǎn)品種類的增加對(duì)于增長(zhǎng)的影響。在他的模型中，新產(chǎn)品的開(kāi)發(fā)類似于基礎(chǔ)創(chuàng)新的活動(dòng)，其中所需的知識(shí)是一類特殊的物品，既不同于普通的物品，也不同于公共物品。一般來(lái)說(shuō)，普通物品是競(jìng)爭(zhēng)性的〔Rivalry〕，并且也是排他性的〔Excludability〕；公共物品一般是非競(jìng)爭(zhēng)性的，并且也是非排他性的。而Romer(1990)認(rèn)為，對(duì)于經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)最有意義的情形，也是最能表達(dá)技術(shù)進(jìn)步特征的知識(shí)物品卻一般是非競(jìng)爭(zhēng)性，并同時(shí)具有一定排他性的。如果我們將羅默模型所描述的產(chǎn)品種類增加型的技術(shù)進(jìn)步稱為水平方向的創(chuàng)新〔HorizontalInnovation〕的話，則人且卜詁入掘亞過(guò)模型所定義的技術(shù)進(jìn)步類型則可稱為垂直方向的創(chuàng)新(VerticalInnovation)，這種類型的技術(shù)進(jìn)步描述的不是新產(chǎn)品的開(kāi)發(fā)，而是已有產(chǎn)品的質(zhì)量的不斷改進(jìn)。基于熊彼特提出的“破壞性創(chuàng)新”的思想，AghionandHowitt(1992)構(gòu)造了一個(gè)內(nèi)生增長(zhǎng)模型，其中的增長(zhǎng)源泉正是垂直方向的創(chuàng)新，而這種創(chuàng)新是由競(jìng)爭(zhēng)性的研究部門(mén)提供的。在任一時(shí)期當(dāng)中，研究活動(dòng)的數(shù)量取決于下一時(shí)期當(dāng)中研究活動(dòng)的期望數(shù)量，這是因?yàn)橄乱淮蝿?chuàng)新會(huì)導(dǎo)致當(dāng)前壟斷利潤(rùn)的完全喪失，而下一次創(chuàng)新的成功概率的大小取決于研究活動(dòng)的多少，因此，期望的將來(lái)的研究活動(dòng)越多，從事當(dāng)前的研究活動(dòng)的積極性就越低。在Aghion-Howitt模型中，經(jīng)濟(jì)的產(chǎn)出取決于整個(gè)經(jīng)濟(jì)范圍內(nèi)研究活動(dòng)的數(shù)量，具體的說(shuō)，GNP服從一具有漂移項(xiàng)的隨機(jī)游走。而作為一隨機(jī)變量的增長(zhǎng)率本身，其均值和方差都是關(guān)于創(chuàng)新規(guī)模、技術(shù)型勞動(dòng)的規(guī)模以及研究活動(dòng)的生產(chǎn)率的遞增函數(shù)；都是關(guān)于代表性個(gè)體的時(shí)間偏好率的遞減函數(shù)。、產(chǎn)品種類增加型的技術(shù)進(jìn)步〔1〕一個(gè)簡(jiǎn)單形式6假定人口的數(shù)量L固定，每一個(gè)體都是無(wú)限生存的，并且擁有一單位的可用于制造業(yè)的勞動(dòng)。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們假定沒(méi)有對(duì)于閑暇的需求，從而每一個(gè)人都無(wú)彈性地提供她所擁有的一單位勞動(dòng)〔無(wú)論工資率如何〕。個(gè)體每一期的效用只依賴于消費(fèi)，效用函數(shù)取等彈性的形式：u(c)=(i-e-1)/(1-6)6本節(jié)內(nèi)容主要參考AghionandHowitt(2009).EconomicsofGrowth.MITPress.個(gè)體使用不變的時(shí)間偏好率P來(lái)貼現(xiàn)效用。正如我們?cè)诘?章中看到的，這意味著穩(wěn)態(tài)的增長(zhǎng)率和利息率遵循如下歐拉方程：g二1(r-p)go產(chǎn)最終產(chǎn)品的生產(chǎn)環(huán)境是完全競(jìng)爭(zhēng)的，使用勞動(dòng)以及一系列指標(biāo)為iG[0,Mt]的中間品投入，其中叫是產(chǎn)品種類的度量。在每一時(shí)刻t，最終產(chǎn)品的生產(chǎn)函數(shù)為：Y=L1-aJMtxadit 0i其中Y表示產(chǎn)出，x表示中間品i投入的數(shù)量。勞動(dòng)投入始終是不變的數(shù)量tiL。系數(shù)a位于0和1之間。每一種中間產(chǎn)品都需要最終產(chǎn)品作為投入且一比一地生產(chǎn)出來(lái)。也就是說(shuō)，生產(chǎn)一單位的中間產(chǎn)品i需要一單位的最終產(chǎn)品作為投入。產(chǎn)品的種類數(shù)可以提高經(jīng)濟(jì)整體的生產(chǎn)率。為了說(shuō)明這一機(jī)制，記用于中間品生產(chǎn)的最終產(chǎn)品的數(shù)量為Xt。按照前面提到的一比一的技術(shù)，Xt必定等于所有的中間品數(shù)量：X=JMtxdit0i現(xiàn)在假定每一種中間品都生產(chǎn)相同的數(shù)量x〔稍后將看到，在均衡時(shí)確實(shí)如此〕，則x=Xt/Mt。將這一表達(dá)式代入生產(chǎn)函數(shù)可得：Y=L1-aJMt(X/M)adi=M1-aL1-aXat 0tt t t在給定L和Xt的條件下，上式關(guān)于Mt是遞增的：dY/d,M=(1-aY/M>0t t tt最終產(chǎn)品可用于消費(fèi)和投資〔生產(chǎn)各種設(shè)計(jì)〕。除此之外，其唯一的用途就是生產(chǎn)中間品。因此，經(jīng)濟(jì)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值〔GDP〕就是最終產(chǎn)品Yt減去其用于生產(chǎn)中間品的數(shù)量：GDP=Y-Xtt每一種中間產(chǎn)品都由其發(fā)明者壟斷地進(jìn)行生產(chǎn)。在每一期中，此壟斷者最大化以最終產(chǎn)品度量的如下利潤(rùn)流：口=px-xiiii其中pi是以最終產(chǎn)品為單位的價(jià)格。也就是說(shuō)，在給定一比一技術(shù)的條件下，壟斷者的收益就是價(jià)格乘以數(shù)量，而成本就等于產(chǎn)出。在完全競(jìng)爭(zhēng)的經(jīng)濟(jì)中，一單位投入的價(jià)格等于其邊際產(chǎn)品的價(jià)值，于是我們有：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"p=SY/dx=aLi-axa-iiti i因此，壟斷者的利潤(rùn)依賴于其產(chǎn)出：n=aLl-aXa—xi ii壟斷者選擇Xi來(lái)最大化上述表達(dá)式，其一階條件為:\o"CurrentDocument"Sn/dX=a2Ll-axa-1-1=0ii i由此得到，每一部門(mén)i的均衡數(shù)量都是一樣的：x—Lai-a進(jìn)而每一部門(mén)的均衡利潤(rùn)流也是一樣的：1-a建 Lai-aa將Xt=Mtx代入生產(chǎn)函數(shù)，然后再由GDP的定義式可知，最終產(chǎn)品的產(chǎn)出以及經(jīng)濟(jì)的GDP都是和產(chǎn)品種類數(shù)成比例的：Y—ML1-axaGDP=MQ-axa-x)tt于是，GDP的增長(zhǎng)率和如下產(chǎn)品種類數(shù)的增長(zhǎng)率也是成比例的:1dM JMdt產(chǎn)品種類數(shù)的增長(zhǎng)率依賴于投入到科研中的最終產(chǎn)品數(shù)量。也就是說(shuō)，科研活動(dòng)的每一時(shí)刻的產(chǎn)出就是新設(shè)計(jì)的數(shù)量，而每一個(gè)新的設(shè)計(jì)都可以開(kāi)發(fā)出一種新產(chǎn)品。因此，我們有：dM/dt=九Rtt其中人是表示研究部門(mén)生產(chǎn)率的一個(gè)〔正的〕參數(shù)。假定經(jīng)濟(jì)的研究部門(mén)是完全競(jìng)爭(zhēng)的，允許自由進(jìn)入，則研究部門(mén)的利潤(rùn)流必定等于零。對(duì)于發(fā)明者而言，每一新設(shè)計(jì)的價(jià)值為n/r,即利潤(rùn)流n在市場(chǎng)利率為r時(shí)的貼現(xiàn)值。于是，從事科研的利潤(rùn)流為：(n/r尢R-Rtt即收益流〔產(chǎn)出入4乘以價(jià)格n/r〕減去成本。為使得這一利潤(rùn)流為零，利率必須滿足如下的“科研套利”方程：r=Xn也就是說(shuō)，利率必須等于企業(yè)家每一單位的科研投入所獲得的利潤(rùn)流。將科研套利方程代入增長(zhǎng)率的表達(dá)式，我們得到：Xn-pg」『-用表達(dá)式〔〕替換上式中的n,我們就可將均衡增長(zhǎng)率表示成模型的基本參數(shù)的函數(shù)：,1—a 2X La1-a—pag= 9 由此可知，經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率隨著參數(shù)人表示的科研生產(chǎn)率的增加而增加，隨著勞動(dòng)供應(yīng)L表示的經(jīng)濟(jì)規(guī)模的增加而增加，隨著時(shí)間偏好率P的增加而下降。g關(guān)于L遞增的這一預(yù)測(cè)曾經(jīng)被認(rèn)為是上述模型的優(yōu)點(diǎn)，它說(shuō)明，規(guī)模越大的國(guó)家或自由貿(mào)易區(qū)，增長(zhǎng)得越快。但是，C.Jones(1995b)指出，這一預(yù)測(cè)是不符合事實(shí)的,因?yàn)樽?950年以來(lái),美國(guó)的研究人員數(shù)量顯著地增加了,而這一時(shí)期的增長(zhǎng)率卻保持在2%左右?！?〕 Romer(1990)的模型*假定經(jīng)濟(jì)中具有四種基本的要素投入：物資資本、勞動(dòng)、人力資本和表示當(dāng)前技術(shù)水平的一種指標(biāo)〔我們可稱之為技術(shù)方案集〕；經(jīng)濟(jì)由三個(gè)部門(mén)組成：研究部門(mén)、中間產(chǎn)品的生產(chǎn)部門(mén)和最終產(chǎn)品的生產(chǎn)部門(mén)。研究部門(mén)利用人力資本以及現(xiàn)有的知識(shí)水平來(lái)生產(chǎn)〔發(fā)明〕出新的知識(shí)〔技術(shù)方案〕；中間產(chǎn)品的生產(chǎn)部門(mén)利用研究部門(mén)發(fā)明的技術(shù)方案以及最終的產(chǎn)出作為投入,以生產(chǎn)出更多的中間物品；最終產(chǎn)品的生產(chǎn)部門(mén)則利用勞動(dòng)、人力資本以及相應(yīng)的中間物品來(lái)生產(chǎn)出最終的產(chǎn)品。假定最終的產(chǎn)品既可以消費(fèi)掉,也可以作為資本來(lái)積累。首先，羅默假定。而6-00咤匕5型的生產(chǎn)函數(shù)：YH,L,x)=HaLpRrG-a-PdiY Y0其中HY,L,x分別表示生產(chǎn)過(guò)程中所需的人力資本，勞動(dòng)以及資本品〔中間產(chǎn)品〕；A是可以使用的中間產(chǎn)品的種類，用來(lái)表示當(dāng)前的技術(shù)水平。注意，這里關(guān)于資本品的假定和我們前面使用過(guò)的略有不同。如果我們使用總資本K來(lái)表示資本投入的話，則意味著所有不同類型的資本品之間是完全替代的;而上述關(guān)于資本投入的加性可分形式則意味著某一資本品的邊際產(chǎn)品是獨(dú)立于其他資本品的使用量的,因而一種新型資本品的引入既不是對(duì)舊品種的直接替代，也不是直接互補(bǔ)。由生產(chǎn)函數(shù)關(guān)于要素投入的一次齊次性可知，我們?nèi)匀豢梢栽谕耆?jìng)爭(zhēng)的框架內(nèi)來(lái)討論最終產(chǎn)品的生產(chǎn)者的行為，也就是說(shuō)，我們?nèi)匀豢梢詫⒄麄€(gè)最終產(chǎn)品的生產(chǎn)行業(yè)想象為一個(gè)代表性的作為價(jià)格接受者的廠商。這一特點(diǎn)是和中間產(chǎn)品的生產(chǎn)廠商的行為很不一樣的，由于不同的中間產(chǎn)品是由不同的廠商來(lái)承擔(dān)的，因此不存在一個(gè)可以代表整個(gè)行業(yè)的中間產(chǎn)品的生產(chǎn)者。對(duì)于擁有了新的中間產(chǎn)品的設(shè)計(jì)方案的企業(yè)來(lái)說(shuō)，假定需要投入“單位的最終產(chǎn)品才能生產(chǎn)出一個(gè)單位的中間產(chǎn)品；而對(duì)于設(shè)計(jì)方案的發(fā)明者來(lái)說(shuō)，假定其擁有對(duì)發(fā)明的永久專利。因此，當(dāng)設(shè)計(jì)方案的發(fā)明者同時(shí)也是相應(yīng)的中間產(chǎn)品的生產(chǎn)者的話〔對(duì)于發(fā)明者和生產(chǎn)者之間的關(guān)系也存在一些其他的制度安排，但是不影響此模型的均衡的存在性〕，則對(duì)于已經(jīng)投入了發(fā)明成本的發(fā)明者來(lái)說(shuō)，它所獲得的補(bǔ)償就是租售中間產(chǎn)品所獲得的凈收益流的貼現(xiàn)值。按照通常的單部門(mén)模型以及國(guó)民收入核算的傳統(tǒng)，總資本K的積累滿足:K(t)=Y(t)-C(t)其中C(t)表示總消費(fèi)。我們已經(jīng)假定為獲得一單位任何類型的中間產(chǎn)品，必須放棄“單位的當(dāng)前消費(fèi)，從而K="JAXG-a邛di=^Ax0其中X表示某一公共使用水平，這是因?yàn)槊恳恢虚g產(chǎn)品都是對(duì)稱進(jìn)入生產(chǎn)過(guò)程的，從而對(duì)于每一中間產(chǎn)品的可獲得量來(lái)說(shuō)，應(yīng)該是相等的。于是，生產(chǎn)函數(shù)可改寫(xiě)成：Y(H,L,x)=Ha+B-iAa+BHaLPKi-a-BYY此外，假定知識(shí)的積累〔技術(shù)進(jìn)步〕具有如下形式：其中3>0。上式說(shuō)明，人力資本的投入H越高，則研究與發(fā)展活動(dòng)的成A功時(shí)機(jī)也就越大，并且這里的假定和宇澤-盧卡斯模型中假定類似，即知識(shí)的生產(chǎn)是人力資本密集的；同時(shí)，由于知識(shí)的非競(jìng)爭(zhēng)性，每一個(gè)研究者都可以利用當(dāng)前的知識(shí)水平，從而當(dāng)前的知識(shí)水平A越高，技術(shù)進(jìn)步的成功率也就越大。需要指出的是，至此模型所刻畫(huà)的知識(shí)類型恰好符合了前面所要求的部分排他性，即知識(shí)在研究部門(mén)當(dāng)中是一種公共品，而在中間產(chǎn)品的生產(chǎn)部門(mén)當(dāng)中則是一種壟斷品。最后，假定人力資本的供應(yīng)H是固定的，滿足:下面我們考慮中間產(chǎn)品的生產(chǎn)者的壟斷定價(jià)行為。對(duì)于最終產(chǎn)品的生產(chǎn)者來(lái)說(shuō)，其面臨的優(yōu)化問(wèn)題如下： ]max「HaLPxC)-a-P-p()x(iHix0Y其中pG)表示中間產(chǎn)品i的價(jià)格。由此可得如下的逆需求函數(shù)：pC)=G-a-pHalPxC>a-PY這就是中間產(chǎn)品的壟斷供應(yīng)廠商所必須面臨的市場(chǎng)需求。在這樣的需求函數(shù)下，中間產(chǎn)品的供應(yīng)者面臨的優(yōu)化問(wèn)題是：maxp(xb-rqxx=maxG-a-p)HaLpxi-a-p-rqxYx這里r表示的是利息率。由此可得中間產(chǎn)品的壟斷價(jià)格:p=rq/G-a-p)相應(yīng)的壟斷利潤(rùn)流為：兀=Q+0扇其中x滿足：P=G-a-pHaLPx-a-PY假定新設(shè)計(jì)方案的價(jià)格為P，則由中間產(chǎn)品的壟斷競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的自由進(jìn)A入條件可知：J"兀Q)e-1r(s說(shuō)dT=pt A如果「人是常數(shù)的話,則有:式）-r（t）卜兀（）e」；r（（2T=0t于是，

C)=r(t)p上式說(shuō)明，中間產(chǎn)品的壟斷廠商的超額利潤(rùn)將正好彌補(bǔ)發(fā)明成本的利息損失。利用PA的表達(dá)式:Pa=兀/rC)=r(t)p上式說(shuō)明，中間產(chǎn)品的壟斷廠商的超額利潤(rùn)將正好彌補(bǔ)發(fā)明成本的利息損失。利用PA的表達(dá)式:Pa=兀/r=Q+0)px/r=Q+P)1—a-P)HaLPxi-?-P/rY以及人力資本應(yīng)該在研究部門(mén)和最終產(chǎn)品的生產(chǎn)部門(mén)當(dāng)中獲得相同的工資率這一性質(zhì)，即下式：w=pBA=aHaL0Axi-a-pHA Y我們得到：1 aHy=B'G-a-P)Q+p)r考慮到Y(jié)=HaLPAx1-a-p，

YK=Axn，以及K/Kk/Y)我們得到：g=C/C=Y/Y=K/K=A/A=BH=BH-AaG-a-P)Q+p)'如果在此模型中加入代表性消費(fèi)者的優(yōu)化行為:maxf8C1-91-9e-ptdt則對(duì)于給定的利率水平r，我們也可得到人均消費(fèi)的增長(zhǎng)率為:C/c=(r-p)/o最后我們得到市場(chǎng)均衡的增長(zhǎng)率表達(dá)式：g=(5h-Ap)/Ga+1)其中A=a/K1-a-p)Q+p)[可以說(shuō)，羅默模型的重要結(jié)論基本上都包含在增長(zhǎng)率的表達(dá)式中。具體說(shuō)來(lái)有以下幾點(diǎn)：1〕利息率越高，則增長(zhǎng)率越低，這是因?yàn)檩^高的利息率會(huì)導(dǎo)致作為研究部門(mén)的補(bǔ)償?shù)膬羰找娴馁N現(xiàn)值降低；2〕人力資本具有加速增長(zhǎng)的規(guī)模效應(yīng)；3〕如果初始的人力資本太低的話，有可能導(dǎo)致增長(zhǎng)行為從未發(fā)生；4〕更低的P和o的值，即更大的儲(chǔ)蓄意愿，導(dǎo)致更快的增長(zhǎng)；5〕研究部門(mén)的效率越高〔3的值越大〕，則增長(zhǎng)越快。二、產(chǎn)品質(zhì)量改進(jìn)型的技術(shù)進(jìn)步〔1〕一個(gè)簡(jiǎn)單形式7假設(shè)時(shí)間是離散的，在每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的個(gè)體數(shù)量為L(zhǎng)，并且每一個(gè)個(gè)體都無(wú)彈性地供應(yīng)一個(gè)單位的技術(shù)型勞動(dòng)。假定每一個(gè)體只生存一個(gè)時(shí)期，因此，個(gè)體的目標(biāo)是最大化其在期末的消費(fèi)。在每一時(shí)期中，一個(gè)單位的最終產(chǎn)品由如下的科布-道格拉斯技術(shù)生產(chǎn)出來(lái)：y=Axa其中x表示中間產(chǎn)品的投入數(shù)量，A是生產(chǎn)率參數(shù)，說(shuō)明中間產(chǎn)品的當(dāng)前質(zhì)量。中間產(chǎn)品的生產(chǎn)完全依賴于勞動(dòng)，一個(gè)單位的勞動(dòng)投入就可以生產(chǎn)出一個(gè)單位的中間產(chǎn)品。因此，x同時(shí)也表示了當(dāng)前用于制造業(yè)的勞動(dòng)數(shù)量。當(dāng)然，除此之外，勞動(dòng)也可以用于技術(shù)創(chuàng)新。每一次的技術(shù)創(chuàng)新都將中間產(chǎn)品的質(zhì)量由A提高到y(tǒng)A，這里Y>1表示創(chuàng)新的規(guī)模。創(chuàng)新的成功來(lái)源于研究的投入，我們假定，如果用于研究與開(kāi)發(fā)的勞動(dòng)投入為z單位，則創(chuàng)新成功的概率為入z。作為給與創(chuàng)新者的補(bǔ)償，他將享有生產(chǎn)中間產(chǎn)品的壟斷權(quán)力，但是這里的壟斷權(quán)力并不排除其他的生產(chǎn)者可以X>1單位的勞動(dòng)生產(chǎn)出一單位同樣的中間產(chǎn)品。因此，如果X<1/a，則這樣的潛在競(jìng)爭(zhēng)者的存在對(duì)于創(chuàng)新者是有約束力的，這也意味著創(chuàng)新者能夠確定的最高價(jià)位為X狡。此時(shí)，創(chuàng)新t者的利潤(rùn)為：兀=（X-1）wxt tt7本節(jié)內(nèi)容參考AghionandDurlauf(2006),Handbookofeconomicgrowth.ElsevierNoeth-Holland.

這里的段X表示工資。對(duì)于這一壟斷租金，我們假定只能夠存在一個(gè)時(shí)期，tt在那之后，其他的模仿者就可以同樣生產(chǎn)出這一質(zhì)量的中間產(chǎn)品。下面我們給出模型的兩個(gè)關(guān)鍵的方程：.勞動(dòng)力市場(chǎng)出清方程：L=X+n，其中X和n分別表示用于制tt tt造業(yè)和研究部門(mén)的勞動(dòng)投入數(shù)量。.科研市場(chǎng)的套利方程：段二九/。這一方程說(shuō)明，在任一時(shí)刻，tt均衡的科研投入數(shù)量必定使得一單位科研型勞動(dòng)的邊際收益等于邊際成本。如果我們關(guān)心的是增長(zhǎng)的穩(wěn)態(tài)情形，則可以暫時(shí)忽略上述方程中的時(shí)間下標(biāo)，利用上述兩個(gè)方程以及壟斷利潤(rùn)的表達(dá)式可得：1=^y(X-1)(L-n)這意味著用于研究與開(kāi)發(fā)的勞動(dòng)投入的穩(wěn)態(tài)數(shù)量為：加(X-1)于是，在穩(wěn)態(tài)中，生產(chǎn)率的期望增長(zhǎng)率的均衡值為：g=g=入nG-1)這是一個(gè)依賴于各種經(jīng)濟(jì)參數(shù)的增長(zhǎng)率的表達(dá)式，我們可以進(jìn)一步分析各種經(jīng)濟(jì)參數(shù)對(duì)于增長(zhǎng)率的影響。但是，重要的是，這里通過(guò)一種最簡(jiǎn)單的引入質(zhì)量階梯的方式得到了一個(gè)可能為正的增長(zhǎng)率的表達(dá)式，這正是內(nèi)生增長(zhǎng)理論的重要特征?！?〕AghionandHowitt(1992)的模型*假定經(jīng)濟(jì)中存在三種可交易的物品：勞動(dòng)、消費(fèi)品和中間產(chǎn)品；其次，勞動(dòng)投入可分為三種類型：只能用于生產(chǎn)消費(fèi)品的原始勞動(dòng)(UnskilledLabor)、既可用于生產(chǎn)中間產(chǎn)品，也可用來(lái)從事研究活動(dòng)的技術(shù)型勞動(dòng)(SkilledLabor)、以及只能用來(lái)從事研究活動(dòng)的專門(mén)化勞動(dòng)(SpecializedLabor)。我們分別用M,N,R來(lái)表示經(jīng)濟(jì)中上述三種類型的勞動(dòng)的數(shù)量。假定消費(fèi)品的生產(chǎn)需要投入中間產(chǎn)品以及固定數(shù)量的原始勞動(dòng)，從而生產(chǎn)函數(shù)可寫(xiě)為：y=AF(x)這里F'>0,F"<0,y表示消費(fèi)品，x表示投入于消費(fèi)品生產(chǎn)的中間品數(shù)量，而A表示中間投入的生產(chǎn)率參數(shù)。注意，由于原始勞動(dòng)的使用量并不取決于消費(fèi)品生產(chǎn)的多少，從而不顯式地出現(xiàn)在生產(chǎn)函數(shù)中。假定中間產(chǎn)品的生產(chǎn)只需投入技術(shù)型勞動(dòng)，并且生產(chǎn)技術(shù)是線性的，即x=L其中L表示中間產(chǎn)品部門(mén)的技術(shù)型勞動(dòng)的使用量。研究活動(dòng)的投入可以產(chǎn)生一隨機(jī)的創(chuàng)新發(fā)生序列，假定在任一時(shí)刻創(chuàng)新的發(fā)生服從Poisson過(guò)程，此過(guò)程的到達(dá)率(ArriveRate)，即單位時(shí)間內(nèi)創(chuàng)新發(fā)生的概率，為曲Q,R)，其中n是用于研究活動(dòng)的技術(shù)型勞動(dòng)的數(shù)量，入是一給定常數(shù)，G是一規(guī)模報(bào)酬不變且凹的生產(chǎn)函數(shù)，并滿足:松R)=0，這意味著如果沒(méi)有技術(shù)型勞動(dòng)投入的話，創(chuàng)新的發(fā)生概率為零。我們知道，關(guān)于創(chuàng)新發(fā)生的這種Poisson過(guò)程假定意味著，在每一次創(chuàng)新發(fā)生前所需等待的時(shí)間間隔服從參數(shù)為曲Q,R)的指數(shù)分布，即每一次創(chuàng)新所帶來(lái)的壟斷利潤(rùn)的持續(xù)時(shí)間是一指數(shù)型隨機(jī)變量。每一次創(chuàng)新都會(huì)帶來(lái)一種新的中間產(chǎn)品，而這種中間產(chǎn)品的投入可以使得消費(fèi)品的生產(chǎn)更有效率。我們簡(jiǎn)單地假定，新的中間產(chǎn)品的投入通過(guò)一常數(shù)因子Y>1來(lái)提高生產(chǎn)率參數(shù)A，貝U：A=Aytt0其中A是給定的初始生產(chǎn)率水平，下標(biāo)t表示從第t次創(chuàng)新開(kāi)始，至第t十1次0創(chuàng)新發(fā)生之前的時(shí)間間隔。一個(gè)成功的創(chuàng)新者可以通過(guò)申請(qǐng)專利來(lái)壟斷中間產(chǎn)品的生產(chǎn)，當(dāng)然，這種壟斷地位只能持續(xù)到下一次創(chuàng)新發(fā)生之前。對(duì)于中間產(chǎn)品的壟斷廠商而言，他的目標(biāo)就是最大化壟斷時(shí)期利潤(rùn)的期望現(xiàn)值，這里唯一的不確定性因素是壟斷的持續(xù)時(shí)間。首先，考慮消費(fèi)品的生產(chǎn)商，其最優(yōu)地選擇要素投入來(lái)最大化利潤(rùn)。具體地說(shuō)，第t期的廠商選擇產(chǎn)量x來(lái)最大化利潤(rùn)流：t[AFr(x)-枚kt t tt

其中段是技術(shù)型勞動(dòng)的工資率。注意，按照邊際收益等于邊際成本的定價(jià)法t則，t期的中間產(chǎn)品的價(jià)格滿足：p=AFf(x)。這一優(yōu)化問(wèn)題的一階條件t t t是：3=65（x）tt其中3三枚/A，3(x)三Ff(x)+xFn(x)。由此可得最優(yōu)產(chǎn)量:t tt其中5三3-1。相應(yīng)的壟斷利潤(rùn)為:二A元（6）tt這里元(3)三-(x(3?F"(x(3))。其次，假定對(duì)研究活動(dòng)而言，不存在當(dāng)期的溢出效應(yīng)，則壟斷廠商的目標(biāo)就是選擇適當(dāng)?shù)募夹g(shù)型勞動(dòng)投入z和專門(mén)化勞動(dòng)投入S來(lái)最大化如下的期望利潤(rùn)流：TOC\o"1-5"\h\zM(z,sV-Wz-WsSt+1 t t這里V表示第t+1次創(chuàng)新的價(jià)值，WS表示專門(mén)化勞動(dòng)的工資率。利用t+1 tKuhn-Tucker條件，并考慮到均衡時(shí)專門(mén)化勞動(dòng)的使用數(shù)量必定等于R，則上述優(yōu)化問(wèn)題的一階條件為：t+1tw>^f(n九V，n>0t+1tt t t+1 t其中①(n)=^(n,R)。tt對(duì)于第t對(duì)于第t期時(shí)在位的壟斷者來(lái)說(shuō)，其從事研究活動(dòng)的收益為V-V；t+1 t而對(duì)于外來(lái)者，其從事研究活動(dòng)的收益是下一期創(chuàng)新的價(jià)值，即V。因此，t+1創(chuàng)新總是由外來(lái)者做出的。而對(duì)于一個(gè)外來(lái)者來(lái)說(shuō)，創(chuàng)新的價(jià)值V即壟斷t+1利潤(rùn)流的貼現(xiàn)值：

Vt+1Vt+1r+方+(n~)t+1其中廠>0是代表性經(jīng)濟(jì)個(gè)體的時(shí)間偏好率。在任何時(shí)點(diǎn)上，對(duì)于整個(gè)社會(huì)來(lái)說(shuō)的決策問(wèn)題是，如何在制造業(yè)和研究活動(dòng)之間配置技術(shù)型勞動(dòng)。利用上面我們推導(dǎo)的一些表達(dá)式以及關(guān)于技術(shù)型勞動(dòng)的均衡條件N=n+x，整理可得:ttc5(Nc5(N-n)述缶(N弁(n)>-n))r+功(n")t+1(~)(N-n(~)(N-n)-t丫尤缶(N-n )))r+aq(n")t+1上述條件決定了第t上述條件決定了第t期的研究活動(dòng)數(shù)量，數(shù)：它是第t+1期的研究活動(dòng)數(shù)量的函n=^(n)t t+1這里w。是一正值的嚴(yán)格遞減函數(shù)。怵缶(怵缶(N-nJ-r+加(n")t+1()(~(N-n)(()cm三———f—t-，bm三t 九q'S) t+1tt+1則C(n)表示的是“研究活動(dòng)的邊際成本”，而b(n)表示的是t+1際收益”。如果c(o)<b6)，則我們可得到唯一的穩(wěn)定平衡點(diǎn)n，滿足:Cn-n)—怵缶卬-n))如(n)=r+7(n)最后，我們討論產(chǎn)出的穩(wěn)態(tài)增長(zhǎng)率。由y=af(n-n)可知:tty=yyt+1 t這意味著實(shí)際產(chǎn)出的對(duì)數(shù)lnj(t)是一隨機(jī)的階躍函數(shù)，每一次階躍的幅度是lnY，但每一次階躍的到來(lái)時(shí)刻是服從參數(shù)為御6)的指數(shù)分布的隨機(jī)變量。如果我們用t表示實(shí)際的時(shí)間點(diǎn)，則有:lnjQ+1)=lnjQ)+￡(r)其中￡0)是時(shí)刻t和T+1之間的創(chuàng)新次數(shù)與lnY的乘積。我們知道，GQ)/ln丫｝是服從參數(shù)為御6)的Poisson分布的隨機(jī)變量序列，從而lnjG+1)=lnj0)+加6)ln丫+e(t)其中eG)三￡0)—加6)ln丫，是均值為零，方差為加6)(ny)2的隨機(jī)變量。由此可知，產(chǎn)出的平均穩(wěn)態(tài)增長(zhǎng)率為^)ln丫，而此增長(zhǎng)率的方差為X^(n)(lny)2o這就是說(shuō)，產(chǎn)出的增長(zhǎng)率是技術(shù)型勞動(dòng)的投入、每一次創(chuàng)新的規(guī)模以及創(chuàng)新發(fā)生的概率的遞增函數(shù)，這是一個(gè)相當(dāng)容易解釋的結(jié)論。第三節(jié)內(nèi)生的勞動(dòng)供應(yīng)或人口在前兩節(jié)的內(nèi)容中，總是假定勞動(dòng)力供應(yīng)或人口的變化是外生給定的，這是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的一種簡(jiǎn)化。實(shí)際的情況是，一個(gè)國(guó)家或一個(gè)地區(qū)的人口或?qū)嶋H的勞動(dòng)力供應(yīng)數(shù)量確實(shí)定既使在統(tǒng)計(jì)手段相對(duì)發(fā)達(dá)的今天，仍然是一個(gè)困難的課題。一般來(lái)說(shuō)，勞動(dòng)力會(huì)受工資率的地區(qū)差異的驅(qū)使而在不同地區(qū)之間流動(dòng)，這也是造成流動(dòng)人口數(shù)量很難統(tǒng)計(jì)的原因之一；而人口的自然增長(zhǎng)也會(huì)由于經(jīng)濟(jì)福利的提高或自然災(zāi)害的發(fā)生所導(dǎo)致的死亡率的下降或人們偏好的變化所導(dǎo)致的出生率波動(dòng)而經(jīng)常地發(fā)生變化。如何將這些因素整合進(jìn)增長(zhǎng)模型是近些年來(lái)經(jīng)濟(jì)學(xué)家才才開(kāi)始關(guān)注的論題，本節(jié)將要介紹的兩個(gè)主要模型，即Braun模型和Barro-Becker模型，試圖討論的正是不同地區(qū)之間的勞動(dòng)力遷移和人們的生育選擇對(duì)于經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響。一、勞動(dòng)力的遷移盡管不同的國(guó)家或地區(qū)之間的人口流動(dòng)實(shí)際上是一個(gè)受到很多因素影響的復(fù)雜現(xiàn)象，但是我們這里所要討論的Braun模型假定存在一個(gè)完全的信貸市場(chǎng)，各個(gè)經(jīng)濟(jì)所面臨的是不變的世界利率，從而工資的差異是造成勞動(dòng)力流動(dòng)的唯一原因。下面我們來(lái)具體地描述這個(gè)模型。假定一面臨著給定的不變世界利率的小國(guó)經(jīng)濟(jì)，其生產(chǎn)函數(shù)是Cobb-Douglas的：Y=AKaL1-a(R/L\人其中K表示資本，L三Lext表示有效的勞動(dòng)投入，x>0是外生給定的勞動(dòng)增進(jìn)型技術(shù)進(jìn)步率；R表示本國(guó)居民可以自由取得但其供應(yīng)量固定的自然資源；0<\<1-a。我們注意到，對(duì)于給定的R，上述生產(chǎn)函數(shù)呈現(xiàn)出關(guān)于K和L的報(bào)酬遞減。Braun模型之所以做出這樣的假定是因?yàn)椋谕馍o定的技術(shù)水平下，假設(shè)人口的遷移有成本而資本的流動(dòng)是自由的話，勞動(dòng)力將不可能在不同的經(jīng)濟(jì)之間流動(dòng)，從而也就不可能構(gòu)造出其中人口變化內(nèi)生的增長(zhǎng)模型。關(guān)于這種報(bào)酬遞減的一種解釋是：一個(gè)經(jīng)濟(jì)的人口增加必定會(huì)造成某些自然資源〔例如土地等〕使用上的擁擠，如果這種資源具有生產(chǎn)價(jià)值并且供應(yīng)量固定的話，則從整個(gè)社會(huì)的角度來(lái)看，必定呈現(xiàn)出對(duì)于資本和勞動(dòng)的規(guī)模報(bào)酬遞減。但是，對(duì)于一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)性的廠商來(lái)說(shuō)，L表示的是總?cè)丝冢虼薘/L可視為是給定的，從而上述生產(chǎn)函數(shù)仍然可以看作是規(guī)模報(bào)酬不變的，利用Euler定理，要素價(jià)格應(yīng)當(dāng)?shù)扔谙鄳?yīng)的私人邊際產(chǎn)品，即：w=G-a)Aka(R/L>extr+3=aAka-i(R/L1其中k三K/L,表示每單位有效勞動(dòng)的資本數(shù)量；r表示世界利率，對(duì)于我們這里所考慮的小型國(guó)內(nèi)經(jīng)濟(jì)而言可視為不變的，并假定r>x；3是折舊率。由此可得國(guó)內(nèi)工資率的表達(dá)式：?extG-a)A1/G一aha/(1-a)(R/L}/(1-a)

Q+bl/?ext假定世界經(jīng)濟(jì)具有單一的工資率w ，則在時(shí)刻t由世界其他地區(qū)向本world國(guó)經(jīng)濟(jì)的一次永久性遷移的收益為：BC)三人w0-w 1-r(v-1)dvt world

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們假定t時(shí)刻國(guó)內(nèi)經(jīng)濟(jì)的自然人口增長(zhǎng)率為零，而由世界轉(zhuǎn)向國(guó)內(nèi)經(jīng)濟(jì)的移民流為M(t)，則國(guó)內(nèi)的實(shí)際人口變化率為：Y三L()/L(t)=M(t)/L(t)L另外，假定遷移的成本為：n(M()/l()).段world這里n'>0，n〃>0，且n(0)=0。也就是說(shuō)，遷移的成本隨著移民數(shù)目的增加而加速上升。最后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)要求在每一時(shí)期當(dāng)中，遷移的成本必須等于遷移的收益，即：B()fM()/L())?wworld人經(jīng)過(guò)一些簡(jiǎn)單的整理可知，上述模型的動(dòng)態(tài)由下面的關(guān)于變量L和B的元微分系統(tǒng)描述:B()二—(W()-W)+(r-x)B()cw其中B(其中B(t)三B(t)e”w(t)=w6e-xtw三we-xj我們假定世界worldworld經(jīng)濟(jì)處于穩(wěn)態(tài)當(dāng)中，則w 可視為常數(shù)；函數(shù)w是函數(shù)n的逆函數(shù)。由此world(八)微分系統(tǒng)確定的穩(wěn)態(tài)L*,B*7是一鞍點(diǎn)。至于產(chǎn)出的增長(zhǎng)，利用生產(chǎn)函數(shù)的表達(dá)式可得:A1/(1-a)?aa/(1-a)?(R/L》/G-a)]

(r+bl/晨)人其中y三y/l。從而y=-6/G-a))fyL在穩(wěn)態(tài)中，丫=0,從而Y=0，也就是說(shuō)，總產(chǎn)出的增長(zhǎng)率為：l y丫=x+YYL上述表達(dá)式和索洛模型中相應(yīng)表達(dá)式的重要區(qū)別是，這里的人口增長(zhǎng)率YL是由模型內(nèi)生決定的,取決于遷移所帶來(lái)的收益和世界的工資水平之比。二、人口的內(nèi)生決定〔1〕馬爾薩斯模型考慮時(shí)間離散的OLG模型，t=0,1,2,…。經(jīng)濟(jì)中存在兩種要素：土地和勞動(dòng)。土地的數(shù)量是固定的,而勞動(dòng)的數(shù)量由內(nèi)生變化的人口決定。經(jīng)濟(jì)的生產(chǎn)技術(shù)遵循如下的方程：Y=(AX13tt其中Y表示t期的總產(chǎn)出，A表示經(jīng)濟(jì)的技術(shù)水平，X表示土地的數(shù)量，Ltt表示t期的工作人口數(shù)量。于是，按每工人平均的產(chǎn)出水平為：y三Y/L=(AX/LIttt t經(jīng)濟(jì)中的每一個(gè)體只生存兩期：兒童期與成年期。在兒童期中,個(gè)體消費(fèi)來(lái)自于父母的固定數(shù)量的資源，記為P；在成年期中，個(gè)體無(wú)彈性地提供一個(gè)單位的勞動(dòng)，獲得收入y，然后在自身的消費(fèi)。和后代的撫養(yǎng)Pn之間t tt進(jìn)行分配，這里的。表示個(gè)體選擇的后代數(shù)量。假定t期的成年人〔出生于t-1期〕的偏好為：ut=nYc1-Ytt于是，t期的成年人面臨的優(yōu)化問(wèn)題是：{n,c}=argmaxnyci-ytt tts.t. Pn+c<yttt求解上述問(wèn)題得到：c=c=G-y)y,ttn=小/p)ytt工作人口的動(dòng)態(tài)行為遵循如下方程：L=nLL=nLt+1tt=9/p)yL=G/p)(4X>Li-att由此可得人口的穩(wěn)態(tài)值為：L*=AXQ/p^a；每工人平均的產(chǎn)出〔收入〕則遵循如下的動(dòng)態(tài)方程：y—(AX/L>=y/na=(p/y>yi-at+1 t+1 tt t由此可得收入的穩(wěn)態(tài)值為：y*—p/y。上述兩個(gè)動(dòng)態(tài)方程描述的人口和收入的動(dòng)態(tài)特征如下列圖所示：圖2-1馬爾薩斯模型的動(dòng)態(tài)綜上所述，馬爾薩斯模型的核心結(jié)論是：人均收入的增長(zhǎng)與人口規(guī)模的增長(zhǎng)是正相關(guān)的，即當(dāng)人均收入水平由于技術(shù)的進(jìn)步或者新資源的發(fā)現(xiàn)而有所增加時(shí)，伴之而來(lái)的卻是人口數(shù)量的增加，這又傾向于降低人均收入水平。因此，從長(zhǎng)期來(lái)看，人均收入水平大致是不變的，技術(shù)進(jìn)步并不能帶來(lái)生活水平的提高，這就是所謂的“馬爾薩斯陷阱(MalthusianTrap)”。在這一簡(jiǎn)單版本的模型中，并未出現(xiàn)資本這一生產(chǎn)要素，盡管這可能符合馬爾薩斯所生存的年代，但是一定不是現(xiàn)代生產(chǎn)的典型特征，因此這一模型也不是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)理論的典型形式，我們有必要在現(xiàn)代增長(zhǎng)理論的框架內(nèi)繼續(xù)討論人口的內(nèi)生變化。〔2〕增長(zhǎng)模型中的內(nèi)生生育率*經(jīng)驗(yàn)證據(jù)說(shuō)明，自然的人口增長(zhǎng)率和人均收入、工資率、兩性的教育水平以及城市化等經(jīng)濟(jì)變量之間有著重要的聯(lián)系。但是，在Barro&Becker〔1989〕的生育選擇模型出現(xiàn)之前，現(xiàn)代增長(zhǎng)經(jīng)濟(jì)學(xué)的文獻(xiàn)一直將人口的增長(zhǎng)看作是外生的，Barro和Becker構(gòu)造了第一個(gè)將人口變量?jī)?nèi)生化的增長(zhǎng)模型，試圖將生育選擇分析整合進(jìn)新古典增長(zhǎng)理論，在他們的模型中，父母和孩子通過(guò)利他主義聯(lián)系到一塊，家庭的生育變量和消費(fèi)、資本積累以及代際間的轉(zhuǎn)移一樣，是最優(yōu)化選擇的結(jié)果。下面我們來(lái)具體描述這個(gè)模型。假設(shè)經(jīng)濟(jì)中的每一個(gè)體只生存兩期：兒童期和成年期；并且一個(gè)家庭中小孩的出現(xiàn)總是在其父母的成年期開(kāi)始時(shí)。利他主義的父母的效用不僅僅取決于其自身的消費(fèi)，也可分地取決于其后代的數(shù)量以及每一后代的效用。具體地說(shuō)，假定第i代的一個(gè)代表性成年人的效用函數(shù)為：U-vQ)+a(n%Ui i iii+1其中c表示成年人自身的消費(fèi)，v(c)是此項(xiàng)消費(fèi)所帶來(lái)的效用，n表示孩ii i子的數(shù)量，a(n)是一度量父母利他主義程度的函數(shù)，U表示每一孩子的i i+1效用。假定函數(shù)aJ)是常彈性的：a(n)-an-s，0<a<1，0<8<1則我們可得到下面的家族(Dynastic)效用函數(shù):U-￡aiN1-sv(c)0 iii-0其中N-Hn，i-1,2,...，(假定N-1)表示此家族在第i代中的后代ij 0j-0數(shù)量。注意，這里的常數(shù)a具有和通常的跨期可分效用函數(shù)中的時(shí)間偏好因子同樣的作用。第i代中的一個(gè)代表性成年人所面臨的預(yù)算約束為：段+(1+r)k-c+n(P+k)i iiiii i+1其中段表示工資率〔我們假定每一成年人在每一期當(dāng)中的總支配時(shí)間為一個(gè)i單位，因而工資率也就是勞動(dòng)收入〕；k表示在每一孩子的成年期開(kāi)始時(shí)，i

他所獲得的來(lái)自父母遺贈(zèng)的資本，其收益率為「〔我們假定資本的折舊率為i零〕P表示每一個(gè)孩子的撫養(yǎng)成本。i由此可得家族的創(chuàng)始人所面臨的優(yōu)化問(wèn)題〔由于家族的創(chuàng)始人及其每一后代所面臨的優(yōu)化問(wèn)題是同一形式的，因此每一后代的最優(yōu)選擇和由家族的創(chuàng)始人最初所做出的最優(yōu)選擇是一致的〕：maxU0s.ts.t.G+r)kii+n(P+k)iii+1在這個(gè)優(yōu)化問(wèn)題中，狀態(tài)變量是k，控制變量是c和n。利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃中的Bellman原理，(1)可得到如下的一階條件：)/Bellman原理，(1)可得到如下的一階條件：)/)=aG+r)/n￡i+1 i+1 i(2)v(c1-e-(vr(c)-c/v，Q))]=vr(c%(1+r)一攻](2)i iii i i-1 ii條件(1)是不同時(shí)期消費(fèi)之間的跨期替代條件的一個(gè)修正版本。一般來(lái)說(shuō)，消費(fèi)的跨期替代取決于個(gè)人的時(shí)間偏好〔即等待將來(lái)消費(fèi)的耐心程度〕和利息率的大小。而在8@匹0-8?。卜?「模型中，生育數(shù)量n的增加會(huì)降低每一后代所獲得的來(lái)自父母的好處，從而會(huì)提高將來(lái)消費(fèi)的貼現(xiàn)率。因此，在上述修正版本的跨期替代條件中，較高的生育率會(huì)造成將來(lái)消費(fèi)的相對(duì)減少。條件(2)是家庭中每增加一個(gè)小孩所帶來(lái)的邊際收益和所導(dǎo)致的邊際成本之間的一個(gè)平衡條件。其中LG+r)-攻］項(xiàng)表示的恰好是在第i代中增加一個(gè)成年人所i-1 ii引致的凈成本。利用一階條件(2)，我們可計(jì)算出最優(yōu)的消費(fèi)路徑。如果函數(shù)v0取常彈性的形式：v(c)=cG，o<1ii則可得到最優(yōu)消費(fèi)的顯式表達(dá)式：c - 值G+r)-攻］1-e-G i-1 ii上式說(shuō)明，后代的增加所導(dǎo)致的凈成本的增加會(huì)帶來(lái)這一后代人的人均消費(fèi)的增長(zhǎng)，也就是說(shuō)，如果人口是以更高的成本生產(chǎn)出來(lái)的話，則給這些新增人口賦予更多的消費(fèi)是最優(yōu)的選擇。這是所謂的“利用率(Utilization區(qū)+)效應(yīng)”，即高成本生產(chǎn)出來(lái)的物品應(yīng)該具有更高的利用率(現(xiàn)在是在更高消費(fèi)的

意義上)。(3)式也說(shuō)明，只有當(dāng)人口的創(chuàng)造成本發(fā)生變化時(shí)，不同時(shí)期中的人均消費(fèi)水平才會(huì)發(fā)生變化，如果人口的創(chuàng)造成本保持不變的話，則不同時(shí)期中的人均消費(fèi)水平是一樣的。這一性質(zhì)和通常的優(yōu)化模型中的最優(yōu)消費(fèi)路徑是不一樣的，在通常的模型中，消費(fèi)水平的變化是由于偏好率和利息率之間的差異。利用(1)式和(3)式還可得到最優(yōu)的生育率水平：1-oPG+r)-w1-o+rLJi i+1 i+1」由此可知，如果人口的創(chuàng)造成本保持不變的話，則生育率只取決于利息率水平和利他主義程度。以上我們描述的是經(jīng)濟(jì)中的家庭行為，為得到一般均衡，還需在經(jīng)濟(jì)中引入典型企業(yè)的最優(yōu)行為。為此我們假定下述規(guī)模報(bào)酬不變且具有Harrod中性技術(shù)進(jìn)步的生產(chǎn)函數(shù)：Y=fK,G+g)LTOC\o"1-5"\h\zi i i其中Y表示產(chǎn)出，K表示資本(即第i代開(kāi)始前所積累的物品)，L表示勞動(dòng)i i i投入，g是外生的技術(shù)進(jìn)步率。上式也可寫(xiě)成集約的形式:工=尸〉0，f"<0其中y三Y/1+g),L\k三K/1+g^L-I,fXFK,1)。利用ii iii i i i完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中的利潤(rùn)最大化廠商遵循下式:=ff\).=fk)-k/￥4+g)ii iii假定孩子的撫養(yǎng)成本Pi既包括時(shí)間的投入，也包括物品的投入。具體地說(shuō)，撫養(yǎng)成本函數(shù)具有如下形式:P=aU+g)i+bw，a>0，0<b<1ii我們也可定義每單位有效勞動(dòng)的工資不 養(yǎng)孩子的有效成本如下:八，人k-kfiiiB三P/G+g)=a+bwv=a+b由此可知，用于生產(chǎn)的時(shí)間為:L=G-bn)Ni ii從