定積分知識總結

..定積分知識總結一、根本概念和性質〔1〕定義二、微積分根本公式1、積分上限函數(shù)及其導數(shù)定義：設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，對于任意，在區(qū)間上也連續(xù)，所以函數(shù)在上也可積.顯然對于上的每一個的取值，都有唯一對應的定積分和對應，因此是定義在上的函數(shù).記為，.稱叫做變上限定積分,有時又稱為變上限積分函數(shù).定理1：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，那么在上可導，且定理2、3：如果在區(qū)間上連續(xù)，那么它的原函數(shù)一定存在，且其中的一個原函數(shù)為.2、牛頓——萊布尼茨公式定理4〔微積分根本公式〕如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且是的任意一個原函數(shù)，那么.證由定理5.2知，是在區(qū)間的一個原函數(shù)，那么與相差一個常數(shù)C，即.又因為，所以.于是有.所以成立.為方便起見，通常把簡記為或，所以公式可改寫為三、定積分的積分法1、定積分的換元積分法定理1設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并且滿足以下條件：〔1〕，且，；〔2〕在區(qū)間上單調且有連續(xù)的導數(shù)；〔3〕當從變到時，從單調地變到.那么有上述公式稱為定積分的換元積分公式.在應用該公式計算定積分時需要注意以下兩點：=1\*GB3①從左到右應用公式，相當于不定積分的第二換元法.計算時，用把原積分變量換成新變量，積分限也必須由原來的積分限和相應地換為新變量的積分限和，而不必代回原來的變量，這與不定積分的第二換元法是完全不同的.=2\*GB3②從右到左應用公式，相當于不定積分的第一換元法〔即湊微分法〕.一般不用設出新的積分變量，這時，原積分的上、下限不需改變，只要求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)，就可以直接應用牛頓—萊布尼茲公式求出定積分的值.2、定積分的分部積分法設函數(shù)和在區(qū)間上有連續(xù)的導數(shù)，那么有.上述公式稱為定積分的分部積分公式.選取的方式、方法與不定積分的分部積分法完全一樣.四、定積分的應用1、定積分應用的微元法為了說明定積分的微元法，我們先回憶求曲邊梯形面積A的方法和步驟：(1)將區(qū)間分成個小區(qū)間，相應得到個小曲邊梯形，小曲邊梯形的面積記為；(2)計算的近似值，即〔其中〕；(3)求和得的近似值，即；(4)對和取極限得.下面對上述四個步驟進展具體分析：第(1)步指明了所求量〔面積〕具有的特性：即在區(qū)間上具有可分割性和可加性.第(2)步是關鍵，這一步確定的是被積表達式的雛形.這可以從以下過程來理解：由于分割的任意性，在實際應用中，為了簡便起見，對省略下標，得，用表示的任一小區(qū)間，并取小區(qū)間的左端點為，那么的近似值就是以為底，為高的小矩形的面積〔如圖5.7陰影局部〕，即.通常稱為面積元素，記為.將(3),(4)兩步合并，即將這些面積元素在上"無限累加〞，就得到面積.即.一般說來，用定積分解決實際問題時，通常按以下步驟來進展：〔1〕確定積分變量，并求出相應的積分區(qū)間；〔2〕在區(qū)間上任取一個小區(qū)間，并在小區(qū)間上找出所求量的微元；〔3〕寫出所求量的積分表達式，然后計算它的值.利用定積分按上述步驟解決實際問題的方法叫做定積分的微元法.注能夠用微元法求出結果的量一般應滿足以下兩個條件：=1\*GB3①是與變量的變化圍有關的量；=2\*GB3②對于具有可加性，即如果把區(qū)間分成假設干個局部區(qū)間，那么相應地分成假設干個分量.2、定積分求平面圖形的面積〔1〕直角坐標系下面積的計算(1)由曲線和直線所圍成曲邊梯形的面積的求法前面已經介紹，此處不再表達.(2)求由兩條曲線，及直線所圍成平面的面積〔如圖5.8所示〕.下面用微元法求面積.=1\*GB3①取為積分變量，.=2\*GB3②在區(qū)間上任取一小區(qū)間，該區(qū)間上小曲邊梯形的面積可以用高，底邊為的小矩形的面積近似代替，從而得面積元素.=3\*GB3③寫出積分表達式，即.=3\*GB2⑶求由兩條曲線，及直線所圍成平面圖形〔如圖5.9〕的面積.這里取為積分變量，，用類似(2)的方法可以推出：.〔2〕極坐標系下面積的計算設曲邊扇形由極坐標方程與射線所圍成〔如圖5.13所示〕.下面用微元法求它的面積A.以極角為積分變量，它的變化區(qū)間是，相應的小曲邊扇形的面積近似等于半徑為，中心角為的圓扇形的面積，從而得面積微元為于是，所求曲邊扇形的面積為.3．定積分求體積(1)旋轉體的體積旋轉體是一個平面圖形繞這平面的一條直線旋轉而成的立體.這條直線叫做旋轉軸.設旋轉體是由連續(xù)曲線和直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周而成〔如圖5.15〕.取為積分變量，它的變化區(qū)間為，在上任取一小區(qū)間，相應薄片的體積近似于以為底面圓半徑，為高的小圓柱體的體積，從而得到體積元素為，于是，所求旋轉體體積為.(2)平行截面面積為的立體體積設一物體被垂直于某直線的平面所截的面積可求，那么該物體可用定積分求其體積.不妨設直線為軸，那么在處的截面面積是的連續(xù)函數(shù)，求該物體介于和之間的體積〔如圖5.19〕.取為積分變量，它的變化區(qū)間為，在微小區(qū)間上近似不變，即把上的立體薄片近似看作為底，為高的柱片，從而得到體積元素.于是該物體的體積為.類似地，由曲線和直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周而成〔如圖5.16〕，所得旋轉體的體積為.4、平面曲線的弧長分類公式直角坐標設為光滑曲線，那么在弧段上弧長為：參數(shù)方程假設光滑曲線由參數(shù)方程給出，那么曲線弧弧長為：極坐標假設曲線弧由極坐標方程給出，且上具有連續(xù)導數(shù)，那么曲線弧弧長為：5、定積分在物理學上的應用分類公式變力沿直線作功假設積分變量為，變力的函數(shù)表達式為，那么變力沿直線所作的功為：水壓力假設將由曲線及直線所圍成的平面薄板鉛直放入水中，水的比重為，取軸鉛直向下，液面為軸，那么平面薄板一側所