理論力學(xué)11梁的位移計算

第十一章梁的位移計算理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算工程實例2理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算工程實例3理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算工程實例

本章對平面彎曲下梁變形的基本概念、基本方法以及簡單靜不定梁進行簡要介紹。4理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算§１１－１撓度、轉(zhuǎn)角及其相互關(guān)系撓曲線：梁變形后的軸線。

在小變形情況下，任意橫截面的形心位移是指ｙ方向的線位移，截面形心垂直于軸線方向的線位移稱為撓度yAqθBxxvl向上為正，向下為負v=f(x)－－撓曲線方程彎曲變形時，橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動的角度稱為轉(zhuǎn)角θ=θ(x)－－轉(zhuǎn)角方程逆轉(zhuǎn)為正，順轉(zhuǎn)為負5理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算qθBAxvlθdvθ≈tgθ=

dx

橫截面的轉(zhuǎn)角與撓曲線在該截面處的斜率近似相等，即撓曲線方程的一階導(dǎo)數(shù)為轉(zhuǎn)角方程。6理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算§１１－２曲率公式撓曲線微分方程qθB

1M(x)=ρ(x)EIzAxvlθ撓曲線為一平面曲線，其上任一點的曲率1ρ=±dv

2dx??dv??1+????dx??22????3±2dv

2dxdv2??1+()??

dx??322M(x)=

EIz微小量－撓曲線微分方程7理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算在小變形情況下dvM

=±

2dxEIz2正負號與彎矩符號規(guī)定及所取坐標系有關(guān)yM>0dv

>0

2dx2yM<0dv

<0

2dx2O2xOxdvM

=

2dxEIz－撓曲線近似微分方程8理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算§１１－３積分法求梁的位移dvM(x)=

2dxEIz2

dvM(x)θ(x)==∫

dx+CdxEIz?M(x)?v(x)=∫?∫

dx?dx+Cx+D

?EIz?C,D為積分常數(shù)，由梁的位移約束條件確定。

撓曲線近似微分方程通解的積分常數(shù)確定以后，就得到了撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，這種求梁變形的方法稱為積分法。9理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算確定積分常數(shù)的條件有兩類：邊界條件和變形連續(xù)條件。邊界條件：位于梁支座處的截面，其撓度或轉(zhuǎn)角常為零或為已知ylxylx固定鉸鏈支座固定端約束x=0,v=0x=l,v=0?v=0x=0?

θ=0?10理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算變形連續(xù)條件：位于梁的中間截面處，其左右極限截面處的撓度和轉(zhuǎn)角相等。在中間鉸鏈位置左右極限截面的撓度相等。y2l3

lx邊界條件變形連續(xù)條件2x=0,v=0;x=l,v=03

2x=l,v1=v2,θ1=θ2;311理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算思考：

用積分法計算圖示梁的撓度和轉(zhuǎn)角，其邊界條件和連續(xù)條件是什么？yqxlax=a+lv=0θ=0答：邊界條件x=0v=0連續(xù)性條件x=lv1=v212理論力學(xué)11梁的位移計算例１

如圖所示懸臂梁，在自由端受集中力Ｐ作用，設(shè)ＥＩ為常量，試求梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。解１、建立撓曲線近似微分方程取坐標系如圖所示，彎矩方程PylxM(x)=?P(l?x)=P(x?l)dvP(x?l)=

2dxEIz2x２、積分求通解

PPxθ=∫

(x?l)dx=(?lx)+CEIzEIz2213理論力學(xué)11梁的位移計算例１2

PPx

θ=∫

(x?l)dx=(?lx)+CEIzEIz2

32

PxlxPv=∫∫

(x?l)dxdx=(?)+Cx+DEIzEIz62３、確定積分常數(shù)Pxx=0θ=v=0C=D=0４、轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程

Pxθ=(?lx)

EIz223ylx2

Pxlxv=(?)

EIz62５、確定最大撓度和最大轉(zhuǎn)角θmaxPl=?2EIz2Plv=?3EIz314理論力學(xué)11梁的位移計算例２求簡支梁撓曲線方程，ｑ已知，EI為常數(shù)。解１、建立撓曲線微分方程yqdvM(x)1112

==(qlx?qx)

2dxEIzEIz22２、積分求通解2

112M(x)=qlx?qx

22Aql2Bxxlql2

ql2q3

EIzθ=x?x+C

46

ql3q4EIzv=x?x+Cx+D

122415理論力學(xué)11梁的位移計算例２

ql2q3EIzθ=x?x+C

46yq

ql3q4EIzv=x?x+Cx+D

1224３、確定積分常數(shù)ABxql2x=0v=03x=lD=0v=0ql2xlqlC=?,24４、轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程

ql213lθ=(x?x?)

EIz46243

qxl213lv=x?)(x?

EIz122424163理論力學(xué)11梁的位移計算例３求簡支梁最大撓度，Ｆ已知，EI為常數(shù)。解１、建立撓曲線微分方程yaFbAx1x2lCBxaFlbM1(x1)=Fx1

lbF(0≤x1≤a)lbM2(x2)=Fx2?F(x2?a)

l(a≤x2≤l)

dvbEI2=Fx1

dxl22(0≤x1≤a)

dvbEI2=Fx2?F(x2?a)

dxl(a≤x2≤l)17理論力學(xué)11梁的位移計算例３２、分兩段積分

b

2EIθ1=Fx1+C1

2lb

3EIv1=Fx1+C1x1+D1

6lybF2F2EIθ2=x2?(x2?a)+C2

2l2aFbAbFlBxaFlx1x2lCbF3F3EIv2=x2?(x2?a)+C2x2+D2

6l6３、確定積分常數(shù)x1=0,v1=0x2=l,v2=0x1=x2=a,v1=v2θ1=θ2Fb22C1=C2=?(l?b)6lD1=D2=018理論力學(xué)11梁的位移計算例３４、轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程

bFx1222

Fb222

EIv1=(x1?l+b)EIθ1=(x1?l+b)6l

6lbF3l

2222

[3x2?l+b?(x2?a)]EIθ2=6lbbF32l

23EIv2=[x2?l+b?(x2?a)]6lb５、求最大撓度設(shè)：a>b,則最大撓度在AC段。最大撓度處截面的轉(zhuǎn)角為零。32θ1=0x0=l?b

322vmaxFbl?b?=?1?2??93EI?l?2219理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算§１１－４疊加法求梁的位移

在小變形和材料服從胡克定律的條件下導(dǎo)出撓曲線近似微分方程dvM(x)=

2dxEIz2此方程為線性方程外力和彎矩之間也為線性關(guān)系}撓度和轉(zhuǎn)角和外力之間為線性關(guān)系

當梁上作用幾種載荷時，各載荷同時作用引起變形，等于各載荷單獨作用引起的變形的代數(shù)和－－疊加原理。疊加法求梁的變形20理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算梁在簡單載荷作用下的變形21理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算22理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算23理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算24理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算25理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算思考：應(yīng)用疊加法求梁的位移，必須滿足的條件是什么？答：小變形，材料符合胡克定律。26理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算43已知圖1B點的撓度和轉(zhuǎn)角分別為ql/8EI，ql/6EI，圖2C截面的轉(zhuǎn)角為多少？qAlBql/8EI3qABCll27理論力學(xué)11梁的位移計算例４如圖所示簡支梁，ｑ，Ｆ，ＥＩ已知，試利用疊加法求vc解將荷載分解為兩組qFAl/2lCBqAlB4l/2FAlB35qlvc1=?384EI

5qlFlvc=vc1+vc2=??384EI48EI43Flvc2=?48EI28理論力學(xué)11梁的位移計算例５如圖所示懸臂梁，ｑ，ＥＩ已知，試利用疊加法求vB解B為自由端，CB段無內(nèi)力，

梁變形后CB段必保持為直線

q(l/2)ql

=?vC=?8EI128EI

33

q(l/2)qlθC=?=?6EI48EI44qAl/2θCCθClBvB1vB2vB1ql=vC=?128EI44vB2

llql=tanθC=θC=?2296EI44294

qlql7qlvB=vB1+vB2=??=?128EI96EI384EI理論力學(xué)11梁的位移計算例６如圖所示外伸梁，Ｆ，ＥＩ已知，試利用疊加法求vD解D為自由端，BD段無內(nèi)力，梁變形后BD段仍保持為直線將AB段視為簡支梁，查表：θBFl=16EI2θBACFl/2BθBDl/2avD=aθBFla=16EI302理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算§１１－５梁的剛度條件提高粱剛度的主要措施一、梁的剛度條件vmax≤[v]θmax≤[θ][v]許用撓度許用轉(zhuǎn)角[θ]一般軸滑動軸承吊車梁[v]=(0.0003?0.0005)l[θ]=(0.003?0.005)rad[v]=(0.0013?0.0025)l31理論力學(xué)11梁的位移計算例７

機床主軸的支撐和受力可簡化為如圖所示的外伸梁，其中P為由于切削而施加于卡盤上的力，P2為齒輪間1的相互作用力。主軸為空心圓截面，外徑D=80mm，

la內(nèi)徑d=40mm，=400mm，=100mm，P=2kN，

1

P2=1kN，材料的彈性模量為E=200GPa。規(guī)定主軸的許用轉(zhuǎn)角和許用撓度為：卡盤Ｄ處的撓度不超過

43兩軸承間距的1/10，軸承Ｂ處的轉(zhuǎn)角不超過1/10rad。試校核主軸的剛度。P2ACP

1BDl/2l/2a32理論力學(xué)11梁的位移計算例７解Iz=πD464(1?α)=1.885×10mm464θBACP2l/2BθBDP2l

?4θB(P2)=?=?0.265×10rad16EIZ2l/2aBvD(P2)=θB(P2)a=?2.65×10mm?3

Pal

?41θB(P1)==0.707×10rad3EIZ

Pa

?31vD(P)=(l+a)=8.84×10mm

1

3EIZ2ACP

1Dl/2l/2avD=vD(P)+vD(P2)=6.19×10mm1?3θB=θB(P1)+θB(P2)=0.442×10rad<[θ]?4vD

?v??5=1.548×10<??

l

?l?滿足剛度要求33理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算二、提高粱剛度的主要措施增大截面慣性矩

因為各類鋼材的彈性模量比較接近，采用優(yōu)質(zhì)鋼材對提高彎曲剛度意義不大，所以一般選擇合理的截面形狀以增加慣性矩。如：采用薄壁工字形、箱形截面，或采用空心圓軸等。盡量減少梁的跨度或長度

因為梁的撓度和轉(zhuǎn)角分別與梁跨度的立方和平方成正比，所以減少梁的跨度是提高粱的剛度的主要措施。34理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算增加支撐35理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算改善受力情況改善受力情況可以減小彎矩，從而減小梁的撓度和轉(zhuǎn)角。Pylxqlv=3EIz

qlv=8EIz364yqxl4理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算§１１－６簡單靜不定梁

梁支座約束力的數(shù)目超出了獨立的平衡方程數(shù)目，因而僅靠平衡方程不能求解－－靜不定梁。qABl37理論力學(xué)11梁的位移計算梁的位移計算變形比較法比較基本靜定系和原超靜定系統(tǒng)在多余約束處的變形，寫出變形協(xié)調(diào)條件進行求解。將Ｂ處約束去掉基本靜定