線(xiàn)方程組與矩陣秩的若干問(wèn)題市公開(kāi)課一等獎(jiǎng)百校聯(lián)賽特等獎(jiǎng)?wù)n件

線(xiàn)性方程組與矩陣秩若干問(wèn)題福建師范大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院代數(shù)教研室肖民卿10月第1頁(yè)引言矩陣秩概念是由J.Sylvester于1861年引進(jìn)，它是矩陣最主要數(shù)字特征之一。這里，我們結(jié)合“矩陣與線(xiàn)性方程組”教學(xué)討論以下內(nèi)容：矩陣秩描述線(xiàn)性方程組解判定定理在解析幾何中一個(gè)應(yīng)用；矩陣秩Sylvester不等式和Frobenius不等式中等號(hào)成立充分必要條件。第2頁(yè)一.線(xiàn)性方程組解判定定理在解析幾何中一個(gè)應(yīng)用m個(gè)方程n個(gè)未知元線(xiàn)性方程組普通表示為：第3頁(yè)線(xiàn)性方程組(1)矩陣表示為：其中，第4頁(yè)線(xiàn)性方程組有解判定定理

線(xiàn)性方程組(1)有解充分必要條件是

這里，表示矩陣秩。尤其地，若，則線(xiàn)性方程組(1)有唯一解；若，則線(xiàn)性方程組(1)有沒(méi)有窮多解。第5頁(yè)

利用上述定理，能夠簡(jiǎn)練刻畫(huà)普通方程表示幾何空間中直線(xiàn)及平面位置關(guān)系。

1.直線(xiàn)與直線(xiàn)位置關(guān)系

設(shè)幾何空間中兩條直線(xiàn)方程分別為第6頁(yè)

這么，與位置關(guān)系取決于線(xiàn)性方程組

解情況。記第7頁(yè)則有以下結(jié)論：

（i）與相交

（ii）與重合

（iii）與平行

（iv）與異面第8頁(yè)

2.直線(xiàn)與平面位置關(guān)系

設(shè)幾何空間中直線(xiàn)和平面方程分別為

記第9頁(yè)則有以下結(jié)論：

（i）與相交

（ii）在上

（iii）與平行第10頁(yè)

3.三個(gè)平面位置關(guān)系

設(shè)幾何空間中三個(gè)平面方程分別為

記第11頁(yè)則有以下結(jié)論：

（i）三個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)

（ii）三個(gè)平面有一條公共直線(xiàn)

（iii）三個(gè)平面平行

（iv）三個(gè)平面組成三棱柱

第12頁(yè)二.矩陣秩不等式中一些問(wèn)題關(guān)于矩陣秩,有兩個(gè)主要不等式.

Sylvester不等式：設(shè)、、分別是、、矩陣.

Frobenius不等式：第13頁(yè)

問(wèn)題：

在這兩個(gè)不等式中等號(hào)成立條件是什么？

即以下等式成立條件分別是什么？

第14頁(yè)

許多教材以習(xí)題方式給出等式①成立充分必要條件：當(dāng)且僅當(dāng)齊次線(xiàn)性方程組與齊次線(xiàn)性方程組同解.

利用這一結(jié)果，能夠得到等式②成立充分必要條件：

當(dāng)且僅當(dāng)齊次線(xiàn)性方程組與齊次線(xiàn)性方程組同解.第15頁(yè)對(duì)于等式③和等式④，文件[3]、文件[4]均做了研究，給出等式成立充分必要條件.

文件[3]結(jié)論：充分必要條件是存在矩陣和，使得.充分必要條件是存在矩陣和，使得.其中，是任意取定一個(gè)滿(mǎn)秩分解.第16頁(yè)

文件[4]結(jié)論：充分必要條件是,對(duì)于齊次線(xiàn)性方程組任一解,都存在使得.或充分必要條件是,對(duì)于齊次方程組任一形如解,都存在,使得.者說(shuō),零空間包含于象空間,即.第17頁(yè)

文件[5]利用矩陣廣義逆，分別給出等式①~等式④成立充分必要條件.

引理1對(duì)于任意適維矩陣、、，有這里列出其主要結(jié)果：第18頁(yè)

引理2對(duì)于任意、，有第19頁(yè)

引理3設(shè)有n列，有n行，則對(duì)任意、，有第20頁(yè)

定理1在Sylvester不等式中，對(duì)任意、，

有為列滿(mǎn)秩；為行滿(mǎn)秩；第21頁(yè)

引理4對(duì)任意、，有第22頁(yè)

定理2在Frobenius不等式中，對(duì)任意、

，有第23頁(yè)參考文件[1]陳志杰.高等代數(shù)與解析幾何[M].北京:高等教育出版社,.[2]丘維聲.高等代數(shù)(第二版)[M].北京:高等教育出版社,.[3]胡付高.關(guān)于一類(lèi)矩陣秩恒等式注記[J].武漢科技大學(xué)學(xué)報(bào),,27(3):322-323.[4]呂登峰,劉瓊等.矩陣秩Sylvester與Frobenius等式