第五章相交線與平行線復(fù)習(xí)課件教材

第五章相交線與平行線本章總結(jié)提升

本章知識(shí)框架本章知識(shí)框架整合拓展創(chuàng)新整合拓展創(chuàng)新第五章相交線與平行線本章總結(jié)提升本章知識(shí)框架本本章知識(shí)框架第五章相交線與平行線頂點(diǎn)公共邊公共邊互為反向延長(zhǎng)線互補(bǔ)頂點(diǎn)頂點(diǎn)邊相等不相交平行平行相等相等相等本章知識(shí)框架第五章相交線與平行線頂點(diǎn)公共邊公共邊互為反向延本章知識(shí)框架第五章相交線與平行線90°垂足有且只有垂線段垂線段相等相等互補(bǔ)判斷一件事題設(shè)結(jié)論真命題假命題本章知識(shí)框架第五章相交線與平行線90°垂足有且只有垂線段垂本章知識(shí)框架第五章相交線與平行線直線一定形狀大小平行（或在同一條直線上）且相等平行（或在同一條直線上）且相等本章知識(shí)框架第五章相交線與平行線直線一定形狀大小平行（或在整合拓展創(chuàng)新第五章相交線與平行線類型之一利用對(duì)頂角、補(bǔ)角、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算運(yùn)用對(duì)頂角相等、鄰補(bǔ)角的和為180°建立角與角之間的關(guān)系.其中正確識(shí)圖是解題關(guān)鍵，對(duì)于復(fù)雜的計(jì)算，還可以通過(guò)設(shè)未知數(shù)列方程的方法來(lái)解決．例1

如圖5－T－1，已知OB⊥OA，直線CD過(guò)點(diǎn)O，且∠AOC＝25°.求∠BOD的度數(shù)．圖5－T－1整合拓展創(chuàng)新第五章相交線與平行線類型之一利用對(duì)頂角、補(bǔ)角第五章相交線與平行線解：解法一：因?yàn)镺B⊥OA(已知)，所以∠BOA＝90°(垂直的定義)．又因?yàn)椤螦OC＝25°(已知)，所以∠BOC＝∠BOA－∠AOC＝65°.又因?yàn)橹本€CD過(guò)點(diǎn)O，所以∠COD是平角，即∠COD＝180°，所以∠BOD＝∠COD－∠BOC＝115°.第五章相交線與平行線解：解法一：因?yàn)镺B⊥OA(已知)，第五章相交線與平行線解法二：反向延長(zhǎng)OA，并在延長(zhǎng)線上任取點(diǎn)E，所以∠DOE＝∠AOC＝25°(對(duì)頂角相等)．又因?yàn)橹本€AE過(guò)點(diǎn)O，∠AOE是平角，即∠AOE＝180°(平角的定義)，所以∠BOE＝180°－∠AOB＝90°，所以∠BOD＝∠BOE＋∠DOE＝90°＋25°＝115°.[歸納總結(jié)]

從解法一和解法二的解題過(guò)程可以分辨出解法二的過(guò)程較簡(jiǎn)便，其原因是它在原圖形上加了延長(zhǎng)線(虛線部分)，這個(gè)延長(zhǎng)線構(gòu)造出了直角，也把原要求的角分成了兩個(gè)部分，剩下的任務(wù)就是求∠DOE的大小．第五章相交線與平行線解法二：反向延長(zhǎng)OA，并在延長(zhǎng)線上任取第五章相交線與平行線【針對(duì)訓(xùn)練】1．如圖5－T－2，O是直線AB上一點(diǎn)，射線OC，OD在AB的兩側(cè)，且∠AOC＝∠BOD，試說(shuō)明∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角．圖5－T－2[解析]要說(shuō)明∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角，只需C，O，D三點(diǎn)在同一條直線上，即只需∠COD＝180°即可．第五章相交線與平行線【針對(duì)訓(xùn)練】1．如圖5－T－2，O是第五章相交線與平行線解：因?yàn)椤螦OC＋∠COB＝180°(平角的定義)，∠AOC＝∠BOD(已知)，所以∠BOD＋∠COB＝180°，即∠COD＝180°，所以C，O，D三點(diǎn)在一條直線上(平角的定義)，即直線AB，CD相交于點(diǎn)O.所以∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角(對(duì)頂角的定義)．[點(diǎn)析]

證三點(diǎn)共線的方法，通常證這三點(diǎn)組成的角為平角．第五章相交線與平行線解：因?yàn)椤螦OC＋∠COB＝180°第五章相交線與平行線類型之二利用平行線、垂線的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算建立分散的角與角之間的關(guān)系，平行線是最好的“橋梁”之一．所以先觀察角與角之間的數(shù)量關(guān)系及特征(相等或互補(bǔ))來(lái)推斷線與線的平行，再利用線的平行來(lái)計(jì)算角的大小，這正是本類題型的常見(jiàn)解題思路．第五章相交線與平行線類型之二利用平行線、垂線的判定和性質(zhì)第五章相交線與平行線例2

如圖5－T－3，已知DA⊥AB于點(diǎn)A，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1＋∠2＝90°.試說(shuō)明：BC⊥AB.圖5－T－3[解析]欲說(shuō)明BC⊥AB，即說(shuō)明∠B＝90°.因?yàn)镈A⊥AB，所以若能說(shuō)明AD∥CB，則BC⊥AB.由DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1＋∠2＝90°可說(shuō)明∠ADC＋∠BCD＝180°，從而說(shuō)明AD∥BC.第五章相交線與平行線例2如圖5－T－3，已知DA⊥AB于第五章相交線與平行線解：因?yàn)镈E平分∠ADC，CE平分∠BCD，所以∠1＝∠3，∠2＝∠4(角平分線的定義)．因?yàn)椤?＋∠2＝90°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，即∠ADC＋∠BCD＝180°，所以AD∥BC(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)，所以∠A＋∠B＝180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))．因?yàn)镈A⊥AB，所以∠A＝90°(垂直的定義)，所以∠B＝90°，即BC⊥AB(垂直的定義)．[歸納總結(jié)]

由角判定平行，主要是根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的關(guān)系判定直線平行．第五章相交線與平行線解：因?yàn)镈E平分∠ADC，CE平分∠第五章相交線與平行線【針對(duì)訓(xùn)練】2．如圖5－T－4，已知BC∥DE.試說(shuō)明：∠ACB與∠AOE互補(bǔ)．圖5－T－4[解析]由BC∥DE可知∠ACB＝∠EOC.又因?yàn)椤螦OE＋∠EOC＝180°，故可得證．第五章相交線與平行線【針對(duì)訓(xùn)練】2．如圖5－T－4，已知第五章相交線與平行線解：因?yàn)锽C∥DE(已知)，所以∠ACB＝∠EOC(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．因?yàn)椤螦OE＋∠EOC＝180°，所以∠AOE＋∠ACB＝180°(等量代換)，即∠ACB與∠AOE互補(bǔ)．[點(diǎn)析]

本題需要綜合運(yùn)用補(bǔ)角的定義和平行線的性質(zhì)的知識(shí)．第五章相交線與平行線解：因?yàn)锽C∥DE(已知)，[點(diǎn)析]第五章相交線與平行線例3

如圖5－T－5，已知BD∥CE，∠1＝105°，∠2＝140°，求∠3的度數(shù)．圖5－T－5[解析]因?yàn)椤?＋∠BAC＝180°，欲求∠3，需求∠BAC.觀察圖形，∠1，∠2，∠BAC沒(méi)有直接聯(lián)系．由已知BD∥CE，可以聯(lián)想到平行線的性質(zhì)，添加輔助線，作AF∥BD，則∠3，∠1，∠2，∠4，∠5之間的關(guān)系就比較明顯了．第五章相交線與平行線例3如圖5－T－5，已知BD∥CE，第五章相交線與平行線解：如圖5－T－5，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BD，所以∠1＋∠4＝180°，所以∠4＝180°－∠1＝180°－105°＝75°.又因?yàn)锳F∥BD，BD∥CE，所以AF∥CE，所以∠2＋∠5＝180°，所以∠5＝180°－∠2＝180°－140°＝40°，所以∠3＝180°－∠4－∠5＝180°－(75°＋40°)＝180°－115°＝65°.

第五章相交線與平行線解：如圖5－T－5，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BD第五章相交線與平行線【針對(duì)訓(xùn)練】3．如圖5－T－6，已知∠1＝40°，∠2＝140°，∠3＝40°，∠4＝140°.試說(shuō)明：a∥b，b∥c，d∥e，a∥c.圖5－T－6第五章相交線與平行線【針對(duì)訓(xùn)練】3．如圖5－T－6，已知第五章相交線與平行線[解析]初看此題，由于角多，直線多，給人一種雜亂的感覺(jué)，好像無(wú)從下手，但仔細(xì)觀察圖形，認(rèn)真分析題意，會(huì)發(fā)現(xiàn)平行的兩條直線被第三條直線所截構(gòu)成的“三線八角”非常明顯，再通過(guò)所給的角度，不難得到結(jié)論．解：因?yàn)椤?＝40°，∠2＝140°(已知)，所以∠1＋∠2＝180°，所以a∥b(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)，所以∠6＝∠1＝40°(兩直線平行，同位角相等)．又因?yàn)椤?＝40°(已知)，第五章相交線與平行線[解析]初看此題，由于角多，直線多，第五章相交線與平行線所以∠3＝∠6(等量代換)，所以d∥e(同位角相等，兩直線平行)．因?yàn)椤?＋∠4＝180°(平角的定義)，∠4＝140°(已知)，所以∠5＝40°(等式的性質(zhì))，所以∠3＝∠5(等量代換)，所以b∥c(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).因?yàn)閍∥b，b∥c(已說(shuō)明)，所以a∥c(平行于同一直線的兩直線平行)．第五章相交線與平行線所以∠3＝∠6(等量代換)，第五章相交線與平行線4．如圖5－T－7所示，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D.試說(shuō)明：BE⊥DE.圖5－T－7[解析]欲得出∠BED＝90°，而已知條件無(wú)法直接運(yùn)用，作輔助線EF∥AB，將∠BED分解為∠3和∠4，可分別利用平行線的性質(zhì)定理達(dá)到目的．第五章相交線與平行線4．如圖5－T－7所示，AB∥CD，∠第五章相交線與平行線解：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB.因?yàn)锳B∥CD(已知)，所以EF∥CD(如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行)，所以∠4＝∠D(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．又因?yàn)椤螪＝∠2(已知)，所以∠4＝∠2(等量代換)．同理，由EF∥AB，∠1＝∠B，可得∠3＝∠1.因?yàn)椤?＋∠2＋∠3＋∠4＝180°(平角的定義)，所以∠1＋∠2＝∠3＋∠4＝90°，即∠BED＝90°，故BE⊥DE.第五章相交線與平行線解：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB.因?yàn)锳B∥CD第五章相交線與平行線[點(diǎn)析]

這是初學(xué)幾何較為復(fù)雜的題目，通常是過(guò)“拐點(diǎn)”(拐角處的頂點(diǎn))作平行線，把一個(gè)大角分成兩個(gè)小角，分別與兩個(gè)已知角建立聯(lián)系．這種轉(zhuǎn)化思想在解題時(shí)經(jīng)常用到．第五章相交線與平行線[點(diǎn)析]這是初學(xué)幾何較為復(fù)雜的題目，第五章相交線與平行線類型之三平行線的判定及性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用平行線在折疊問(wèn)題，探照燈光線，公路“拐角”等方面有著廣泛的應(yīng)用，解決此類問(wèn)題的辦法是利用平行線的判定與性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)角之間的轉(zhuǎn)換．例4

如圖5－T－8所示，將長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在C′處，折痕為EF.若∠ABE＝20°，求∠EFC′的度數(shù)．圖5－T－8第五章相交線與平行線類型之三平行線的判定及性質(zhì)在實(shí)際生活第五章相交線與平行線[解析]長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是90°，且AD∥BC，根據(jù)折疊可知∠EFC′＝∠EFC，∠DEF＝∠BEF，所以∠EFC′＝∠EFC＝180°－∠DEF，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求∠DEF.以E為頂點(diǎn)的∠AED為平角，∠ABE＝20°，根據(jù)∠ABE＋∠EBF＝∠ABC＝90°，∠AEB＝∠EBF求出∠AEB的度數(shù)，從而可求得∠DEF.解：在長(zhǎng)方形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC.因?yàn)椤螦BE＝20°，所以∠EBF＝∠ABC－∠ABE＝70°.第五章相交線與平行線[解析]長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是90°，且第五章相交線與平行線第五章相交線與平行線第五章相交線與平行線[歸納總結(jié)]

本例應(yīng)用平行線的性質(zhì)對(duì)折疊問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算，說(shuō)明運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)能準(zhǔn)確解決現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)中的問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)．第五章相交線與平行線[歸納總結(jié)]本例應(yīng)用平行線的性質(zhì)對(duì)折第五章相交線與平行線【針對(duì)訓(xùn)練】5．一艘漁船在海上航行，發(fā)現(xiàn)一個(gè)小島，在漁船上測(cè)得小島在漁船的北偏東50°方向上，那么在