穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)課件

第五節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)9/13/20231第五節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)8/3/20231一、穩(wěn)定的基本概念和線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的首要條件?？刂葡到y(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行過程中，總會(huì)受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動(dòng)，例如負(fù)載和能源的波動(dòng)、系統(tǒng)參數(shù)的變化、環(huán)境條件的改變等。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，就會(huì)在任何微小的擾動(dòng)作用下偏離原來的平衡狀態(tài)，并隨時(shí)間的推移而發(fā)散。因此，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是自動(dòng)控制理論的基本任務(wù)之一。穩(wěn)定的充要條件和屬性

穩(wěn)定的基本概念：設(shè)系統(tǒng)處于某一起始的平衡狀態(tài)。在外作用的影響下，離開了該平衡狀態(tài)。當(dāng)外作用消失后，如果經(jīng)過足夠長的時(shí)間它能回復(fù)到原來的起始平衡狀態(tài)，則稱這樣的系統(tǒng)為穩(wěn)定的系統(tǒng)。否則為不穩(wěn)定的系統(tǒng)。9/13/20232一、穩(wěn)定的基本概念和線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重設(shè)系統(tǒng)或元件的微分方程為：上式右邊第一項(xiàng)為零狀態(tài)解，對(duì)應(yīng)與由輸入引起的響應(yīng)過程。第二項(xiàng)為零輸入解，對(duì)應(yīng)于由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)過程。這項(xiàng)相當(dāng)于系統(tǒng)齊次微分方程的解。+系數(shù)取決于初始條件的多項(xiàng)式穩(wěn)定的充要條件和屬性式中：x(t)—輸入，y(t)—輸出為常系數(shù)。將上式求拉氏變化，得(初始值不全為零）9/13/20233設(shè)系統(tǒng)或元件的微分方程為：上式右邊第一項(xiàng)為零狀態(tài)解，對(duì)應(yīng)與由線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)特征方程的根（即傳遞函數(shù)的極點(diǎn)）全為負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根?；蛘哒f，特征方程的根應(yīng)全部位于s平面的左半部。穩(wěn)定的充要條件和屬性前面討論的當(dāng)外作用消失后，如果經(jīng)過足夠長的時(shí)間它能回復(fù)到原來的起始平衡狀態(tài)可看作第二項(xiàng)經(jīng)過足夠長的時(shí)間變?yōu)榱恪?/13/20234線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：穩(wěn)定的充要條件和屬性前面討論的當(dāng)充要條件說明如果特征方程中有一個(gè)正實(shí)根，它所對(duì)應(yīng)的指數(shù)項(xiàng)將隨時(shí)間單調(diào)增長；如果特征方程中有一對(duì)實(shí)部為正的共軛復(fù)根，它的對(duì)應(yīng)項(xiàng)是發(fā)散的周期振蕩。上述兩種情況下系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果特征方程中有一個(gè)零根，它所對(duì)應(yīng)于一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，系統(tǒng)可在任何狀態(tài)下平衡，稱為隨遇平衡狀態(tài)；如果特征方程中有一對(duì)共軛虛根，它的對(duì)應(yīng)于等幅的周期振蕩，稱為臨界平衡狀態(tài)（或臨界穩(wěn)定狀態(tài)）。從控制工程的角度認(rèn)為臨界穩(wěn)定狀態(tài)和隨遇平衡狀態(tài)屬于不穩(wěn)定。穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定S平面9/13/20235充要條件說明如果特征方程中有一個(gè)正實(shí)根，它所對(duì)于一階系統(tǒng)，只要都大于零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對(duì)于二階系統(tǒng)，只有都大于零，系統(tǒng)才穩(wěn)定。（負(fù)實(shí)根或?qū)嵅繛樨?fù)）對(duì)于三階或以上系統(tǒng)，求根是很煩瑣的。于是就有了以下描述的代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)。充要條件說明注意：穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)屬性，只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與輸入輸出信號(hào)無關(guān)，與初始條件無關(guān)；只與極點(diǎn)有關(guān)，與零點(diǎn)無關(guān)。9/13/20236對(duì)于一階系統(tǒng)，二、勞思—赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)（一）、勞思判據(jù)

設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為則該系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：特征方程的全部系數(shù)為正值；由特征方程系數(shù)組成的勞思陣的第一列也為正。勞思陣的前兩行由特征方程的系數(shù)組成。第一行為1，3，5，…項(xiàng)系數(shù)組成，第二行為2，4，6，…項(xiàng)系數(shù)組成。勞斯判據(jù)9/13/20237二、勞思—赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)（一）、勞思判據(jù)勞思陣的前9/13/202388/3/20238勞斯判據(jù)以下各項(xiàng)的計(jì)算式為：9/13/20239勞斯判據(jù)以下各項(xiàng)的計(jì)算式為：8/3/20239勞斯判據(jù)依次類推?？汕蟮?/13/202310勞斯判據(jù)依次類推。可求得8/3/202310勞斯判據(jù)例子[例]：特征方程為：，試判斷穩(wěn)定性。[解]：勞斯陣為：穩(wěn)定的充要條件為：均大于零且9/13/202311勞斯判據(jù)例子[例]：特征方程為：特殊情況下勞斯陣列的列寫及結(jié)論：用一個(gè)正數(shù)去乘或除某整行，不會(huì)改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)論；勞斯陣第一列所有系數(shù)均不為零，但也不全為正數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。表示s右半平面上有極點(diǎn)，極點(diǎn)個(gè)數(shù)等于勞斯陣列第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)。[例]：系統(tǒng)的特征方程為：-130（2）100（）勞斯陣第一列有負(fù)數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。其符號(hào)變化兩次，表示有兩個(gè)極點(diǎn)在s的右半平面。勞斯判據(jù)特殊情況9/13/202312特殊情況下勞斯陣列的列寫及結(jié)論：用一個(gè)正數(shù)去乘或除某整行，勞斯判據(jù)特殊情況勞思陣某一行第一項(xiàng)系數(shù)為零，而其余系數(shù)不全為零。[處理辦法]：用很小的正數(shù)代替零的那一項(xiàng)，然后據(jù)此計(jì)算出勞斯陣列中的其他項(xiàng)。若第一次零（即）與其上項(xiàng)或下項(xiàng)的符號(hào)相反，計(jì)作一次符號(hào)變化。[例]：令則

故第一列不全為正，系統(tǒng)不穩(wěn)定，s右半平面有兩個(gè)極點(diǎn)。9/13/202313勞斯判據(jù)特殊情況勞思陣某一行第一項(xiàng)系數(shù)為零，而其余系數(shù)不全勞斯陣某行系數(shù)全為零的情況。表明特征方程具有大小相等而位置徑向相反的根。至少要下述幾種情況之一出現(xiàn)，如：大小相等，符號(hào)相反的一對(duì)實(shí)根，或一對(duì)共軛虛根，或?qū)ΨQ于虛軸的兩對(duì)共軛復(fù)根。勞斯判據(jù)特殊情況例如:[處理辦法]：可將不為零的最后一行的系數(shù)組成輔助方程，對(duì)此輔助方程式對(duì)s求導(dǎo)所得方程的系數(shù)代替全零的行。大小相等，位置徑向相反的根可以通過求解輔助方程得到。輔助方程應(yīng)為偶次數(shù)的。9/13/202314勞斯陣某行系數(shù)全為零的情況。表明特征方程具有大小相等而位[例]：168168130380從第一列都大于零可見，好象系統(tǒng)是穩(wěn)定的。注意此時(shí)還要計(jì)算大小相等位置徑向相反的根再來判穩(wěn)。由輔助方程求得：勞斯判據(jù)特殊情況輔助方程為：，求導(dǎo)得：，或，用1，3，0代替全零行即可。此時(shí)系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的?？刂乒こ躺险J(rèn)為是不穩(wěn)定的。9/13/202315[例]：16816813（二）、胡爾維茨判據(jù)胡爾維茨判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為：則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：，且由特征方程系數(shù)構(gòu)成的胡爾維茨行列式的主子行列式全部為正。胡爾維茨行列式的構(gòu)造：主對(duì)角線上的各項(xiàng)為特征方程的第二項(xiàng)系數(shù)至最后一項(xiàng)系數(shù)，在主對(duì)角線以下各行中各項(xiàng)系數(shù)下標(biāo)逐次增加，在主對(duì)角線以上各行中各項(xiàng)系數(shù)下標(biāo)逐次減小。當(dāng)下標(biāo)大于n或小于0時(shí)，行列式中的項(xiàng)取0。胡爾維茨行列式：9/13/202316（二）、胡爾維茨判據(jù)胡爾維茨判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為：則系統(tǒng)胡爾維茨判據(jù)以4階系統(tǒng)為例使用胡爾維茨判據(jù)：胡爾維茨行列式為：穩(wěn)定的充要條件是：9/13/202317胡爾維茨判據(jù)以4階系統(tǒng)為例使用胡爾維茨判據(jù)：胡爾維茨行列式為胡爾維茨判據(jù)的另一種形式系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（Lienard-Chipard定理）：若或，則系統(tǒng)穩(wěn)定。胡爾維茨判據(jù)的另一種形式：式中，為胡爾維茨主子行列式。采用這種形式的判據(jù)可減少一半的計(jì)算工作量。9/13/202318胡爾維茨判據(jù)的另一種形式系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（Lienard-（三）勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用

判定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性[例3-4]系統(tǒng)的特征方程為：，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：排列勞斯陣如下：因?yàn)?，，且勞斯陣第一列不全為正，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。由于勞斯陣第一列有兩次符號(hào)變化，所以系統(tǒng)在s右半平面有兩個(gè)極點(diǎn)。9/13/202319（三）勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用判定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性[例3-5]：系統(tǒng)的特征方程為：試用胡爾維茨定理判穩(wěn)。[解]：系統(tǒng)的特征方程為：列胡爾維茨行列式如下：所以，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。注意：由于所以根據(jù)Lienard-Chipard定理，只要計(jì)算 這樣可以減小一半的計(jì)算量。9/13/202320[例3-5]：系統(tǒng)的特征方程為：[例3-6]系統(tǒng)的特征方程為：該系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？求出每一個(gè)極點(diǎn)并畫出極點(diǎn)分布圖。[解]：勞斯陣如下行全為零。由前一行系數(shù)構(gòu)成輔助方程得：其導(dǎo)數(shù)為：將4,48或1,12代替行，可繼續(xù)排列勞斯陣如下：

因?yàn)樾腥珵榱?，所以特征方程必有特殊的根。求解如下?/p>

由于有特征根為共軛虛數(shù)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定9/13/202321[例3-6]系統(tǒng)的特征方程為：設(shè)剩余的一個(gè)根為-p。則：，整理得：比較系數(shù)得：-p=-2極點(diǎn)分布如下：注意：勞斯判據(jù)實(shí)際上只能判斷代數(shù)方程的根是在s平面左半閉平面還是在右半開平面。對(duì)于虛軸上的根要用輔助方程求出。若代數(shù)方程有對(duì)稱于虛軸的實(shí)根或共軛復(fù)根，則一定在勞斯表的第一列有變號(hào)，并可由輔助方程求出9/13/202322設(shè)剩余的一個(gè)根為-p。則：

分析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響利用勞斯和胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)還可以討論個(gè)別參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響，從而求得這些參數(shù)的取值范圍。若討論的參數(shù)為開環(huán)放大系數(shù)K，則使系統(tǒng)穩(wěn)定的最大K稱為臨界放大系數(shù)。[例3-7]已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，試確定系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)。[解]：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程為：9/13/202323分析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響利用勞斯和勞斯陣：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須①系數(shù)皆大于0，②勞斯陣第一列皆大于0所以，臨界放大系數(shù)確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕度）利用勞斯和胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)確定的是系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定，即絕對(duì)穩(wěn)定性。在實(shí)際系統(tǒng)中，往往需要知道系統(tǒng)離臨界穩(wěn)定有多少裕量，這就是相對(duì)穩(wěn)定性或穩(wěn)定裕量問題。9/13/202324勞斯陣：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須①系數(shù)皆大于0，②勞斯陣第一列皆大利用實(shí)部最大的特征方程的根p（若穩(wěn)定的話，它離虛軸最近）和虛軸的距離表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕量。若p處于虛軸上，則，表示穩(wěn)定裕量為0。作的垂線，若系統(tǒng)的極點(diǎn)都在該線的左邊，則稱該系統(tǒng)具有的穩(wěn)定裕度。一般說，越大，穩(wěn)定程度越高?？捎?代入特征方程，得以z為變量的新的特征方程，用勞斯-胡爾維茨判據(jù)進(jìn)行判穩(wěn)。若穩(wěn)定，則稱系統(tǒng)具有的穩(wěn)定裕度。[例]系統(tǒng)特征為：，可知它是穩(wěn)定的。令則：行全為零，以它上面的行組成輔助方程，其解為特殊根。對(duì)輔助方程求導(dǎo)，用其系數(shù)代替行。輔助方程為：，其系數(shù)為1，0。其解為： ，有一對(duì)共軛虛根，所以系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度恰為1。9/13/202325利用實(shí)部最大的特征方程的根p（若穩(wěn)定的話，[例3-7]已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，為使系統(tǒng)特征方程的根的實(shí)數(shù)部分不大于-1，試確定k值的取值范圍。[解]：閉環(huán)特征方程為：現(xiàn)以s=x-1代入上式，得勞斯陣：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須①系數(shù)皆大于0，②勞斯陣第一列皆大于0所以，此時(shí)k的取值范圍為9/13/202326[例3-7]已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，為使系統(tǒng)特征方程的根的實(shí)數(shù)部分討論相對(duì)穩(wěn)定性除了考慮極點(diǎn)離虛軸遠(yuǎn)近外，還要考慮共軛極點(diǎn)的振蕩情況。對(duì)于共軛極點(diǎn)，其實(shí)部反映響應(yīng)的衰減快慢，虛部反映響應(yīng)的振蕩情況。對(duì)于極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的時(shí)域響應(yīng)為。所以，越小，衰減越慢，越大，振蕩越激烈。如下圖示意：可用共軛極點(diǎn)對(duì)負(fù)實(shí)軸的張角來表示系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。當(dāng)時(shí)，表示極點(diǎn)在虛軸上，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。越小，穩(wěn)定性越高。相對(duì)穩(wěn)定性越好。9/13/202327討論相對(duì)穩(wěn)定性除了考慮極點(diǎn)離虛軸遠(yuǎn)近外，還要三、結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進(jìn)措施僅僅調(diào)節(jié)參數(shù)無法穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進(jìn)措施-杠桿和放大器的傳遞函數(shù)執(zhí)行電機(jī)的傳遞函數(shù)進(jìn)水閥門的傳遞函數(shù)控制對(duì)象水箱的傳遞函數(shù)例：如圖所示的液位控制系統(tǒng)9/13/202328三、結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)僅僅調(diào)節(jié)參數(shù)無法穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進(jìn)措施閉環(huán)傳遞函數(shù)為：令：閉環(huán)特征方程為：展開為：方程系數(shù)：由于，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。這也可從勞斯表看出。勞斯表：由于無論怎樣調(diào)節(jié)參數(shù)K和T都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定，所以是一個(gè)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的系統(tǒng)。欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須改變?cè)到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)。9/13/202329結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進(jìn)措施閉環(huán)傳遞函數(shù)為：令：閉環(huán)特征方結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進(jìn)措施由圖可看出，造成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的原因是前向