數(shù)學2.3《數(shù)學歸納法》(新人教A版選修2-2)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

2.3數(shù)學歸納法臨沂一中數(shù)學組第1頁問題提出1.歸納推理基本特征是什么？由個別事實概括出普通結(jié)論.

2.綜正當，分析法和反證法基本思想分別是什么？綜正當：由已知推可知，逐步推出未知.

分析法：由未知探需知，逐步推向已知.反證法：假設(shè)結(jié)論不成立，推出矛盾得 證實.第2頁3.歸納推理能幫助我們發(fā)覺普通結(jié)論，但得出結(jié)論不一定正確，即使正確也需要經(jīng)過嚴格證實才能必定其真實性.綜正當，分析法和反證法雖可證實一些結(jié)論，但都有其不足，所以，我們非常需要一個與歸納推理相匹配證實方法，使之成為無與倫比“黃金搭檔”.第3頁數(shù)學歸納法第4頁探究（一）：數(shù)學歸納法感性認識

思索1：某人想排隊進展覽館參觀，不知自己能否進得去，于是問組織者，答曰；只要你前一個人能進去，你就能進去.那么此人能進去參觀嗎？若每個排隊人都能進去參觀，需要什么條件？（1）第一個人進去；（2）若前一個人進去，則后一個人也能 進去.第5頁思索2：有若干塊骨牌豎直擺放，若將它們?nèi)客频梗惺裁捶椒?？普通地，多米諾骨牌游戲原理是什么？（1）推倒第一塊骨牌；

（2）前一塊骨牌倒下時能碰倒后一塊骨牌.第6頁第7頁思索3：某人姓王，其子子孫孫都姓王嗎？某家族全部男人世代都姓王條件是什么？（1）始祖姓王；

（2）子隨父姓.

（第1代姓王）（假如第k代姓T，則第k+1代也姓T）第8頁思索4：已知數(shù)列{an}滿足:（n∈N*），那么該數(shù)列各項能確定嗎？上述遞推關(guān)系只說明什么問題？若確定數(shù)列中每一項，還需增加什么條件？由第k項可推出第k＋1項.給出第1項；（1）（2）第9頁探究（二）：數(shù)學歸納法基本原理

思索1：已知數(shù)列{an}滿足（n∈N*），假設(shè)當n＝k時，，則當n＝k＋1時，ak＋1等于什么？若假設(shè)，則ak＋1等于什么？第10頁思索2：若給出a1＝1，則數(shù)列{an}通項公式是什么？若給出a1＝2，則數(shù)列{an}通項公式是什么？怎樣了解你結(jié)論？思索3：已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝2an＋3，利用上述思想怎樣證實數(shù)列{an}通項公式是an＝2n+1-3？第11頁思索4：利用上述思想怎樣證實：對任意n∈N*都有等式2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)成立？思索5：上述證實方法叫做數(shù)學歸納法，普通地，用數(shù)學歸納法證實一個與正整數(shù)n相關(guān)命題，其證實步驟怎樣？（1）證實當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立；（2）假設(shè)當n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證實當n＝k＋1時命題也成立.第12頁思索6：數(shù)學歸納法由兩個步驟組成，其中第一步是歸納奠基，第二步是歸納遞推，完成這兩個步驟證實，實質(zhì)上處理了什么問題？逐一驗證命題對從n0開始全部正整數(shù)n都成立.第13頁理論遷移例1用數(shù)學歸納法證實：(n∈N*).第14頁例2已知數(shù)列：試猜測其前n項和Sn表示式，并數(shù)學歸納法證實.第15頁小結(jié)作業(yè)

1.數(shù)學歸納法實質(zhì)是建立一個無窮遞推機制，從而間接地驗證了命題對從n0開始全部正整數(shù)n都成立，它能證實許多與正整數(shù)相關(guān)命題，但與正整數(shù)相關(guān)命題不一定要用數(shù)學歸納法證實，有些命題用數(shù)學歸納法也難以證實.第16頁數(shù)學歸納法證實一個與正整數(shù)相關(guān)命題步驟是：（1）證實當取第一個值（如或2等）時結(jié)論正確；

（2）假設(shè)時結(jié)論正確，證實時結(jié)論也正確．

遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)“找準起點，奠基要穩(wěn)”“用上假設(shè)，遞推才真”注意：1、一定要用到歸納假設(shè)；2、看清從k到k＋1中間改變。第17頁2.歸納推理能發(fā)覺結(jié)論，數(shù)學歸納法能證實結(jié)論，二者強強聯(lián)合，優(yōu)勢互補，在處理與正整數(shù)相關(guān)問題時，含有強大功效作用.但在數(shù)學歸納法實施過程中，還有許多細節(jié)有待深入明確和認識.第18頁(1)在第一步中初始值不一定從1取起，證實時應(yīng)依據(jù)詳細情況而定.練習1:欲用數(shù)學歸納法證實2n>n2,試問n第一個取值應(yīng)是多少?答:對n=1,2,3,…,逐一嘗試,可知初始值為n=5.證實中需要注意問題練習2:用數(shù)學歸納法證實3n>n2.此題在第二步證實過程中在假設(shè)n=k時,3k>k2成立基礎(chǔ)上,當n=k+1時,要說明此式大于零,則必須k≥2.故在證實第一步中,初始值應(yīng)取1和2兩個值.第19頁(2)在第二步中,證實n=k+1命題成立時,必須用到n=k命題成立這一歸納假設(shè),不然就打破數(shù)學歸納法步驟之間邏輯遞推關(guān)系,造成推理無效.第20頁練習.下面是某同學用數(shù)學歸納法證實命題

過程.你認為他證法正確嗎?為何

(1).當n=1時,左邊=,右邊=(2).假設(shè)n=k時命題成立即那么n=k+1時,左邊

=右邊,即n=k+1時,命題也成立.由(1)(2)知,對一切自然數(shù),命題均正確.

第21頁(3)在證實n=k+1命題成立用到n=k命題成立時,要分析命題結(jié)構(gòu)特點,分析“n=k+1時”命題是什么，并找出與“n=k”時命題形式差異.搞清應(yīng)增加項.學案P74例題1第22頁1.已知:,則等于()

A:B:

C:D:C練習：2.學案P74A2.第23頁重點：兩個步驟、一個結(jié)論；注意：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘記。第24頁分析:找到“遞推關(guān)系”就等于把握住處理問題“靈魂”。有幾項？

是什么,它比多出了多少，是首要問題。例3．對于n∈N*用數(shù)學歸納法證實：實際上f(k+1)不但比f（k）多一項，而且前k項中每一項分別比f（k）中多了1,2,3,4……k

f(k+1)=f(k)+1+2+3+……+k第25頁證實：設(shè)f(n)=(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，等式成立(2)設(shè)當n＝k,時等式成立，即則n=k+1時，f(k+1)=1·(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+……+[(k+1)-2]·3+[(k+1)-1]·2+(k+1)=f(k)+1+2+3+……+k+(k+1)∴由（1）（2）可知當n∈N*時等式都成立。第26頁①歸納法：由特殊到普通，是數(shù)學發(fā)覺主要方法；②數(shù)學歸納法科學性：基礎(chǔ)正確；可傳遞；③數(shù)學歸納法證題程序化步驟：兩個步驟，一個結(jié)論；

④數(shù)學歸納法優(yōu)點：克服了完全歸納法繁雜、不可行缺點，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠不足，是一個科學方法，使我們認識到事情由簡到繁、由特殊到普通、由有限到無窮．數(shù)學歸納法基本思想：在可靠基礎(chǔ)上利用命題本身含有傳遞性,利用“有限”伎倆來處理“無限”問題數(shù)學歸納法關(guān)鍵:在驗證命題n=n0正確基礎(chǔ)上,證實命題含有傳遞性,而第二步實際上是以一次邏輯推理代替了無限驗證過程.所以說數(shù)學歸納法是一個合理、切實可行科學證題方法，實現(xiàn)了有限到無限飛躍。課堂小結(jié)第27頁用數(shù)學歸納法證實恒等式步驟及注意事項：①明確首取值n0并驗