十章二階線偏微分方程的分類省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

第十章二階線性偏微分方程分類

本章將介紹二階線性偏微分方程基本概念、分類方法和偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)化.尤其對于常系數(shù)二階線性偏微分方程化簡方法也進行了詳細(xì)討論，這對后面偏微分方程求解是十分有用.第1頁10.1基本概念(1)

偏微分方程含有未知多元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)方程，如其中是未知多元函數(shù)，而

是未知變量；

為偏導(dǎo)數(shù).有時為了書第2頁寫方便，通常記(2)方程階偏微分方程中未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)最高階數(shù)稱為方程階．(3)方程次數(shù)偏微分方程中最高階偏導(dǎo)數(shù)冪次數(shù)稱為偏微分方程次數(shù)．第3頁(4)線性方程一個偏微分方程對未知函數(shù)和未知函數(shù)全部（組合）偏導(dǎo)數(shù)冪次數(shù)都是一次，就稱為線性方程，高于一次以上方程稱為非線性方程．(5)準(zhǔn)線性方程一個偏微分方程，假如僅對方程中全部最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性，則稱方程為準(zhǔn)線性方程．(6)自由項在偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)項稱為自由項．第4頁比如：方程通解和特解概念二階線性非齊次偏微分方程通解為其中是兩個獨立任意函數(shù)．因為方程為二階，所以是兩個任意函數(shù)．若給函數(shù)指定為特殊，則得到解第5頁稱為方程特解．

n階常微分方程通解含有n個任意常數(shù)，而n階偏微分方程通解含有n個任意函數(shù)．10.2數(shù)學(xué)物理方程分類第6頁

在數(shù)學(xué)物理方程建立過程中，我們主要討論了三種類型偏微分方程：波動方程；熱傳導(dǎo)方程；穩(wěn)定場方程．這三類方程描寫了不一樣物理現(xiàn)象及其過程，后面我們將會看到它們解也表現(xiàn)出各自不一樣特點．我們在解析幾何中知道對于二次實曲線其中為常數(shù)，且設(shè)第7頁則當(dāng)

時，上述二次曲線分別為雙曲線、拋物線和橢圓．受此啟發(fā)，下面我們來對二階線性偏微分方程進行分類.

下面主要以含兩個自變量二階線性偏微分方程為例，進行理論分析．而對于更多個自變量情形盡管要復(fù)雜一些，但討論基本方法是一樣．兩個自變量(x,y)二階線性偏微分方程所含有普遍形式為第8頁（10.2.1）其中為已知函數(shù)．

定理10.2.1假如是方程(10.2.2)普通積分，則是方程第9頁(10.2.3)一個特解．在詳細(xì)求解方程(10.2.10)時，需要分三種情況討論判別式1.當(dāng)判別式以求得兩個實函數(shù)解

時，從方程(10.2.10)可第10頁也就是說，偏微分方程(10.2.1)有兩條實特征線．于是，令即可使得．同時，依據(jù)(10.2.4)式，就能夠斷定．所以，方程(10.2.6)即為(10.2.4)第11頁或者深入作變換于是有所以第12頁又能夠深入將方程(10.2.11)化為

這種類型方程稱為雙曲型方程．我們前面建立波動方程就屬于這類型．2．當(dāng)判別式時：這時方程(10.2.10)一定有重根第13頁因而只能求得一個解，比如，，特征線為

一條實特征線．作變換就能夠使由(10.2.4)式能夠得出，一定有，故可推出．這么就能夠任意選取另一個變換，只要它和彼此獨立，即雅可俾式第14頁即可．這么，方程(10.2.6)就化為

這類方程稱為拋物型方程．熱傳導(dǎo)（擴散）方程就屬于這種類型．第15頁3.當(dāng)判別式面討論，只不過得到時：這時，能夠重復(fù)上和是一對共軛復(fù)函數(shù)，或者說，偏微分方程(10.2.1)兩條特征線是一對共軛復(fù)函數(shù)族．于是是一對共軛復(fù)變量．深入引進兩個新實變量第16頁于是所以

方程(10.2.11)又能夠深入化為第17頁

這種類型方程稱為橢圓型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz方程都屬于這種類型．

總而言之，要判斷二階線性偏微分方程屬于何種類型，只需討論判別式

即可.

第18頁10.3二階線性偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)化對于二階線性偏微分方程(10.3.1)若判別式為，則二階線性偏微分方程分為三類：第19頁時，方程稱為雙曲型;時，方程稱為拋物型;時，方程稱為橢圓型;1.雙曲型偏微分方程因為雙曲型方程對應(yīng)判別式所以特征曲線是兩族不一樣實函數(shù)曲線，第20頁設(shè)特征方程解為令(10.3.2)進行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)橐韵滦问降?1頁(10.3.3)上式稱為雙曲型偏微分方程第一個標(biāo)準(zhǔn)形式，再作變量代換，令或則偏微分方程又變?yōu)榈?2頁(10.3.4)上式稱為雙曲型偏微分方程第二種形式．注：上式中“*”號不代表共軛，僅說明是另外函數(shù)。如與是兩個不一樣函數(shù)。

2．拋物型偏微分方程第23頁因為拋物型偏微分方程判別式線是一族實函數(shù)曲線．，所以特征曲其特征方程解為(10.3.5)所以令進行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)?10.3.6)第24頁上式稱為拋物型偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式．3.橢圓型偏微分方程橢圓型偏微分方程判別式，所以特征曲線是一組共軛復(fù)變函數(shù)族．其特征方程解為(10.3.7)若令第25頁(10.3.8)作自變量變換，則偏微分方程變?yōu)?10.3.9)上式稱為橢圓型偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式．第26頁10.4二階線性常系數(shù)偏微分方程深入化簡

假如二階偏微分方程系數(shù)是常數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)形式方程還能夠深入化簡．下面按三種類型分別介紹化簡方法1.雙曲型

對于以下含常系數(shù)第一個標(biāo)準(zhǔn)形式雙曲型標(biāo)準(zhǔn)方程還可深入化簡第27頁注：上式中用小寫字母代表常系數(shù)，方便與我們不妨令大寫字母代表某函數(shù)區(qū)分開來,比如．為了化簡，從而有(10.4.2)第28頁其中

由第二種標(biāo)準(zhǔn)形式雙曲型偏微分方程（含常系數(shù)）能夠進一步化簡(10.4.3)式中均為常系數(shù)．若令第29頁

則有(10.4.4)(10.4.5)其中第30頁對于含常系數(shù)拋物型偏微分標(biāo)準(zhǔn)方程（含常系數(shù)）

（10.4.6）還能夠深入化簡．上式中小寫字母均為常系數(shù)．為了化簡，不妨令從而有(10.4.7)2.拋物型第31頁3.橢圓型對于以下第一個標(biāo)準(zhǔn)形式橢圓型標(biāo)準(zhǔn)方程(含常系數(shù))(10.4.8)還能夠深入進行化簡．上式中小寫字母為常系數(shù)．第32頁為了化簡，不妨令從而有(10.4.9)其中第33頁

含有兩個自變量線性偏微分方程普通形式也能夠?qū)懗上旅嫘问剑浩渲蠰是二階線性偏微分算符，G是x,y函數(shù)．線性偏微分算符有以下兩個基本特征：10.5線性偏微分方程解特征第34頁其中均為常數(shù)．深入有以下結(jié)論：1.齊次線性偏微分方程解有以下特征：為方程解時，則也為方程解；(1).當(dāng)為方程解，則也是方程解；(2)若2.非齊次線性偏微分方程解含有以下特征：第35頁為非齊次方程特解，為齊次方程通解，則為非齊次方程通解；(