第三節(jié)正定二次型

第三節(jié)正定二次型第1頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月前面配方法的過程告訴我們，二次型可以通過坐標(biāo)變換化成標(biāo)準(zhǔn)形。其中D是對角矩陣，主對角線上各元為d1,d2,…,dn,n個(gè)實(shí)數(shù)進(jìn)一步進(jìn)行合同變換，可以將二次型化成如下形式：該式稱為二次型的規(guī)范形。r是矩陣A的秩，即二次型的秩。注意：規(guī)范型中“+”號的個(gè)數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)型中di>0的個(gè)數(shù)相同。同樣，規(guī)范型中“-”號的個(gè)數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)型中di<0的個(gè)數(shù)相同。定義：二次型的規(guī)范形中正項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為二次型的正慣性系數(shù)，負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為二次型的負(fù)慣性系數(shù)一、慣性定理第2頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：因?yàn)閞就是二次型矩陣A的秩，所以r是確定的?，F(xiàn)在我們來證明正慣性系數(shù)p也是唯一的。假設(shè)二次型可以化成兩個(gè)規(guī)范形(1)第3頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)由(1)(2)我們有：如果我們證明p=q，那么二次型的正慣性系數(shù)是唯一的。(4)第4頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月反證法，假設(shè)q不等于p，不妨假設(shè)p>q如果找到不全為零的y1,y2,…,yn，使(4)式不成立，那么假設(shè)不成立問題：y1,y2,…,yn取怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，(4)式左端大于0，同時(shí)相應(yīng)的z1,z2,…,zn使(4)式右端小于等于0？(4)方程組的未知量個(gè)數(shù)為n，方程的個(gè)數(shù)為n-p+q<n個(gè)。因此有非零解。即存在不全為零的y1,y2,…,yn使（4）式矛盾，矛盾是由于p>q造成的。同樣，p<q亦會產(chǎn)生類似的矛盾。由此得到p=q.慣性定理成立。第5頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月一個(gè)實(shí)二次型，既可以通過拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，也可以通過初等變換法化為標(biāo)準(zhǔn)形。顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來說是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的，項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩．進(jìn)而將標(biāo)準(zhǔn)形化為規(guī)范形，其規(guī)范形是唯一的。

項(xiàng)數(shù)為二次型的秩；其中系數(shù)為+1的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為正慣性系數(shù)；其中系數(shù)為-1的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為負(fù)慣性系數(shù)。第6頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月第7頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月為三元二次型，則它為正定二次型為二元二次型，則它為負(fù)定二次型二、正(負(fù))定二次型的概念例如第8頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月證明充分性故三、正(負(fù))定二次型的判別第9頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月必要性（反證法）故第10頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月推論1.實(shí)二次型正定的充要條件是其正慣性系數(shù)為n推論2.實(shí)二次型正定的充要條件是其矩陣與n階單位矩陣合同推論4.正定矩陣的行列式大于零證明：設(shè)A為正定矩陣，則CTAC=E,兩端求行列式得：推論3.對稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是：A的特征值

全為正第11頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月這個(gè)定理稱為霍爾維茨定理．定理2對稱矩陣為正定的充分必要條件是：的各階順序主子式為正，即對稱矩陣為負(fù)定的充分必要條件是：奇數(shù)階順序主子式為負(fù)，而偶數(shù)階順序主子式為正，即第12頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì)第13頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月例1

判別二次型是否正定.解它的順序主子式故上述二次型是正定的.第14頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月例2

判別二次型是否正定.解二次型的矩陣為用特征值判別法.故此二次型為正定二次型.即知是正定矩陣，第15頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月例3

判別二次型的正定性.解第16頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月二次型正定性的判斷方法一般的二次型的判斷都可以利用它的標(biāo)準(zhǔn)型或者規(guī)范形完成。設(shè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)型為：如果di>(<)0(i=1,2,…,n),那么二次型是正定(負(fù)定)的。如果di≥(≤)0(i=1,2,…,n),那么二次型是半正定(半負(fù)定)的。如果di中既有正數(shù)，又有負(fù)數(shù)，那么二次型是不定的。容易理解：1.能夠判定半正定二次型；2.半負(fù)定二次型只要給二次型乘以“-1”，就是半正定二次型。當(dāng)yi(i=1,2,…,r)不全為0時(shí)，二次型f>0,所以上述二次型半正定。特別地，當(dāng)二次型的秩小于n第17頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月2.

正定二次型（正定矩陣）的判別方法：(1)定義法；(2)順次主子式判別法；(3)特征值判別法.四、小結(jié)

1.正定二次型的概念，正定二次型與正定矩陣的區(qū)別與聯(lián)系．

3.