基于monecarlo方法的壽險(xiǎn)公司責(zé)任公積金風(fēng)險(xiǎn)分析

基于monecarlo方法的壽險(xiǎn)公司責(zé)任公積金風(fēng)險(xiǎn)分析

一、死亡率增加對(duì)事業(yè)主債務(wù)的影響近年來，隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和醫(yī)療水平的提高，中國(guó)各年齡段人口的死亡率普遍下降，中國(guó)人均人口盈余逐年增加。根據(jù)我國(guó)近三年的人口普查數(shù)據(jù),我國(guó)人口的零歲平均余命從1990年的68.55歲提升到2000年的71.40歲,到2010年已經(jīng)達(dá)到了74.83歲。由于我國(guó)人口死亡率尤其高齡人口的死亡率呈現(xiàn)逐年下降的趨勢(shì),壽險(xiǎn)公司或者養(yǎng)老金公司如果仍以靜態(tài)的生命表計(jì)算產(chǎn)品費(fèi)率和計(jì)提責(zé)任準(zhǔn)備金,將會(huì)對(duì)公司經(jīng)營(yíng)產(chǎn)生不利的影響。以年金險(xiǎn)為例,人口死亡率的改善、平均余命的提升將導(dǎo)致保單未來的年金給付增加,如果不調(diào)整計(jì)提的責(zé)任準(zhǔn)備金數(shù)額,就可能導(dǎo)致壽險(xiǎn)公司的償付能力不足,增加經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)。另外,由于壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金在負(fù)債中的占比較大,因而責(zé)任準(zhǔn)備金的充足性直接影響壽險(xiǎn)公司的償付能力,因而有必要研究死亡率改善對(duì)壽險(xiǎn)公司的準(zhǔn)備金變動(dòng)的影響。本文的研究主要基于兩方面;一方面是未來死亡率變動(dòng)的預(yù)測(cè);另一方面是靜態(tài)死亡率和動(dòng)態(tài)死亡率下壽險(xiǎn)公司不同類型產(chǎn)品的準(zhǔn)備金分布情況。近年來國(guó)外在未來死亡率預(yù)測(cè)模型方面取得了很大進(jìn)展。1992年,Lee-Carter在考慮到死亡率隨時(shí)間變化的因素后提出了一種死亡率預(yù)測(cè)模型,該模型簡(jiǎn)潔方便,對(duì)死亡率歷史數(shù)據(jù)擬合較好,因而成為應(yīng)用最廣泛的模型之一,其后的很多研究都是在Lee-Carter(1992)模型基礎(chǔ)上的改進(jìn)。另外,BenjaminM.Friedmanetal(1988)、JeffreyR.Brownetal(2000)定性探討了長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)對(duì)年金產(chǎn)品的影響,指出年金產(chǎn)品定價(jià)時(shí)需要考慮死亡率改善的因素。M.Khalaf-Allahetal(2006)研究了不同性別、年齡和利率下死亡率改善因素對(duì)年金產(chǎn)品的影響。近年來國(guó)內(nèi)也有很多人口死亡率預(yù)測(cè)方面的研究,代表性的文章有王曉軍等(2008,2012)、李志生等(2010)、韓猛等(2010),這些文章大多是關(guān)于國(guó)外的死亡率預(yù)測(cè)方法在中國(guó)人口數(shù)據(jù)上的應(yīng)用研究,而沒有死亡率預(yù)測(cè)結(jié)果的進(jìn)一步運(yùn)用。祝偉(2012)在通過Lee-Carter(1992)模型預(yù)測(cè)中國(guó)人口死亡率的基礎(chǔ)上,定量分析了死亡率改善下年金產(chǎn)品的定價(jià)問題。本文將以Lee-Carter(1992)模型預(yù)測(cè)中國(guó)人口未來的死亡率,研究在未來死亡率改善的情況下,動(dòng)態(tài)死亡率對(duì)壽險(xiǎn)公司純保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金的影響。為此,第二部分簡(jiǎn)要說明本文用到的隨機(jī)死亡率預(yù)測(cè)模型,第三部分介紹靜態(tài)死亡率和動(dòng)態(tài)死亡率下壽險(xiǎn)公司準(zhǔn)備金的評(píng)估方法,第四部分針對(duì)中國(guó)的人口死亡數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析,最后對(duì)全文總結(jié)。二、估計(jì)模型及步驟本文將利用Lee-Carter(1992)模型預(yù)測(cè)中國(guó)人口未來的死亡率。Lee-Carter(1992)模型的主要思路是將不同年齡或年齡段的死亡率變化分解成兩個(gè)部分:一是隨著時(shí)間而變化的時(shí)間因子,另一個(gè)是不隨時(shí)間而變化的年齡因子。該模型的公式如下:其中mx,t表示t年x歲時(shí)的中心死亡率,kt是時(shí)間因子,反映了死亡率隨日歷年變動(dòng)的趨勢(shì);εx,t表示t年x歲時(shí)中心死亡率的殘差,并且εx,t是一個(gè)均值為0,方差為σε2的白噪聲過程。為了保證式(1)中參數(shù)估計(jì)結(jié)果的唯一性,還要附加兩個(gè)約束條件:式(1)中參數(shù)ax、bx和kt的估計(jì)方法主要有三種:奇異值分解法、加權(quán)最小二乘法和極大似然估計(jì)法。本文使用奇異值分解法估計(jì)模型參數(shù),估計(jì)步驟如下:3.對(duì)步驟2得到的重新修正,使得修正后的能夠滿足預(yù)測(cè)的死亡數(shù)等于實(shí)際觀測(cè)的死亡數(shù),即對(duì)任意t成立,其中Ex,t和dx,t為年齡x歲的年中人口數(shù)和死亡數(shù)。4.最后,為了滿足約束條件(2),重新調(diào)整和,即最后的即為參數(shù)ax、bx和kt的估計(jì)值。三、保險(xiǎn)公司南下風(fēng)險(xiǎn)的量化和儲(chǔ)備分配的模擬1.qx的退保情況本文將以保單發(fā)行時(shí)刻(t=0)的純保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金(期初責(zé)任準(zhǔn)備金)來評(píng)估壽險(xiǎn)公司所面臨的風(fēng)險(xiǎn)。假設(shè)某壽險(xiǎn)公司期初共有N份保單,并且除被保險(xiǎn)人死亡外,所有保單沒有中途退保的情況。令qx為年齡x歲的人在一年內(nèi)死亡的概率,Nx為年齡x歲的被保險(xiǎn)人數(shù),Dx為年齡x歲的人在一年內(nèi)的死亡人數(shù),并假設(shè)Dx服從二項(xiàng)分布。假設(shè)x0為投保年齡,保單的保險(xiǎn)期間為T年,F(D)為保單的死亡給付金額,而F(S)為保單的生存給付金額。Vt為保單在第t年時(shí)的純保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金,P為被保險(xiǎn)人每年年初需繳納的純保費(fèi)(繳費(fèi)年限為n)。假設(shè)每個(gè)保單的給付模式均為期末給付,為利率折現(xiàn)因子,則對(duì)于不同的壽險(xiǎn)險(xiǎn)種,期初責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算公式分別為:(1)定期壽險(xiǎn)(2)延期m年的遞延年金(3)即期年金2.靜態(tài)死亡率假設(shè)由于目前壽險(xiǎn)公司普遍使用靜態(tài)生命表計(jì)算保費(fèi),因此在未來死亡率改善的情況下,壽險(xiǎn)產(chǎn)品的保費(fèi)可能會(huì)被低估或高估,在保費(fèi)估計(jì)錯(cuò)誤的情況下,就會(huì)直接影響壽險(xiǎn)公司準(zhǔn)備金的充足性。為此,本文先以某個(gè)靜態(tài)生命表計(jì)算壽險(xiǎn)公司各類產(chǎn)品的純保費(fèi),然后模擬不同死亡率假設(shè)下壽險(xiǎn)公司的準(zhǔn)備金分布。具體步驟如下:(1)在靜態(tài)死亡率假設(shè)下,首先要假設(shè)某一年齡的投保人數(shù),并假設(shè)死亡數(shù)Dx服從二項(xiàng)分布,然后依據(jù)前面的靜態(tài)死亡率表和死亡分布假設(shè)模擬出各年齡的死亡人數(shù)和生存人數(shù),最后利用前面的式(5)~式(7)計(jì)算出相應(yīng)的純保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金。(2)在動(dòng)態(tài)死亡率假設(shè)下,為了與靜態(tài)死亡率下的責(zé)任準(zhǔn)備金作對(duì)比,首先假設(shè)最初的投保人數(shù)與前相同,保單價(jià)格亦與固定死亡率假設(shè)下的保單價(jià)格相同,但是計(jì)算純保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金時(shí)使用動(dòng)態(tài)生命表。然后同樣假設(shè)死亡人數(shù)服從二項(xiàng)分布,模擬出各年齡的死亡人數(shù)和生存人數(shù),最后利用前面的式(5)~式(7)計(jì)算出相應(yīng)的純保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金。(3)對(duì)每類保單,步驟(1)和步驟(2)各模擬10000次,即得到該類保單的責(zé)任準(zhǔn)備金分布;然后針對(duì)每類保單,計(jì)算兩種模擬分布的期望、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度、峰度、VaR值和尾部條件期望(CTE)以分析純保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金的風(fēng)險(xiǎn)。四、示范分析1.對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)的處理由于我國(guó)死亡資料并不充分,為了保證模型的預(yù)測(cè)效果,本研究?jī)H使用連續(xù)年份的死亡資料。原始數(shù)據(jù)來源于1995~2000年《中國(guó)人口統(tǒng)計(jì)年鑒》、《中國(guó)2000年人口普查資料》,2002~2006年《中國(guó)人口統(tǒng)計(jì)年鑒》、2007~2010年《中國(guó)人口與就業(yè)統(tǒng)計(jì)年鑒》及《中國(guó)2010年人口普查資料》2012~2013《中國(guó)人口與就業(yè)統(tǒng)計(jì)年鑒》中全國(guó)男性分性別、年齡35~90+的死亡數(shù)(單歲組)以及年平均人口數(shù)據(jù),即1994~2012年共19年的死亡資料,每年包括35至90歲及以上共56個(gè)組的數(shù)據(jù)。對(duì)原始數(shù)據(jù)存在的問題及處理:(1)1995、2000、2005和2010年的原始表中死亡數(shù)和年平均人口數(shù)據(jù)末組年齡均超過90歲,此時(shí)需要將90歲及以上人口合并為一組重新計(jì)算中心死亡率;(2)1996年的末組年齡只到85+。因?yàn)槎鄶?shù)年的死亡數(shù)據(jù)到90+,所以需要將該年的數(shù)據(jù)先擴(kuò)展到90+,為此本文先使用對(duì)相鄰年數(shù)據(jù)線性插值的方法計(jì)算1996年85至90+的分年齡中心死亡率,然后對(duì)年平均人口和死亡人數(shù)進(jìn)行拆分(1),最后利用拆分后的死亡數(shù)和年平均人口之比重新計(jì)算85到90歲及以上年齡的中心死亡率。2.死亡率改善對(duì)年金產(chǎn)品的影響從理論上講,死亡率改善對(duì)以定期壽險(xiǎn)為代表的保障類險(xiǎn)種和以終身年金為代表的年金類產(chǎn)品的影響是不同的。對(duì)保障類險(xiǎn)種而言,在保險(xiǎn)費(fèi)率不變的情況下,死亡率改善將導(dǎo)致保費(fèi)高估,責(zé)任準(zhǔn)備金提取過多;而對(duì)年金類產(chǎn)品而言,在保險(xiǎn)費(fèi)率不變的情況下,死亡率改善將導(dǎo)致保費(fèi)低估,進(jìn)而導(dǎo)致責(zé)任準(zhǔn)備金提取額不足,從而增加壽險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)。為了全面地研究死亡率改善對(duì)壽險(xiǎn)公司的影響,本文選取了兩種保障類險(xiǎn)種和兩種年金類險(xiǎn)種作為對(duì)比。其中保障類險(xiǎn)種分別選取10年期和20年期的定期壽險(xiǎn);因年金類險(xiǎn)種的功能主要為增加被保險(xiǎn)人退休后的收入,因此,本文設(shè)計(jì)的年金領(lǐng)取年齡均從61歲開始,分別以保險(xiǎn)期間均為10年的遞延年金和即期年金探討死亡率改善對(duì)準(zhǔn)備金風(fēng)險(xiǎn)的影響。為此,以下將只考慮A、B、C、D四種類型的保單,其中A、B為定期壽險(xiǎn),C、D為年金類險(xiǎn)種,具體參數(shù)設(shè)定如表1所示:3.基于le-carter模型的死亡率預(yù)測(cè)為了考查L(zhǎng)ee-Carter模型對(duì)中國(guó)男性人口死亡率的預(yù)測(cè)效果,本文先對(duì)1994~2007年的35~90+歲男性人口的死亡率應(yīng)用Lee-Carter模型,得到Lee-Carter模型中參數(shù)ax,bx,kt的估計(jì)值。再以ARIMA模型預(yù)測(cè)kt,得到kt的預(yù)測(cè)適用ARIMA(0,1,0)模型,具體如下:通過上面的式(8)及預(yù)測(cè)2008—2012年男性人口35~90+的死亡率,并利用預(yù)測(cè)死亡率與實(shí)際死亡率計(jì)算平均絕對(duì)誤差(MAPE)(1),得到相應(yīng)的MAPE值為21.70%。根據(jù)Lewi(1982)的標(biāo)準(zhǔn),Lee-Carter模型對(duì)中國(guó)人口死亡率的預(yù)測(cè)效果良好。因此后面將利用1994~2012年的中國(guó)男性人口死亡率數(shù)據(jù),重新建立Lee-Carter模型,得到模型Lee-Carter模型中參數(shù)ax,bx,kt的估計(jì)值如下圖所示:再利用ARIMA(0,1,0)模型對(duì)kt進(jìn)行預(yù)測(cè),得到kt的預(yù)測(cè)模型如下:使用式(9)對(duì)未來kt進(jìn)行預(yù)測(cè),并將預(yù)測(cè)結(jié)果代入公式,即可預(yù)測(cè)未來各年的死亡率,從而建立動(dòng)態(tài)生命表。例如對(duì)于2012年50歲的男性投保人來說,其2012年及未來各年的死亡率分別為q502012(1),q512013,q522014,……4.動(dòng)態(tài)死亡率分析因?yàn)槲覀儧]有壽險(xiǎn)公司人口死亡的歷史數(shù)據(jù),也無法得到壽險(xiǎn)公司不同性別人口未來死亡率的預(yù)測(cè)值,因此本文不采用中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表CL1990~1993或者CL2000~2003作為壽險(xiǎn)公司險(xiǎn)種定價(jià)的基礎(chǔ)。而為了保持統(tǒng)計(jì)口徑的一致性并且便于與動(dòng)態(tài)死亡率結(jié)果的比較,本文選取最新的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),即2012年《中國(guó)人口和就業(yè)統(tǒng)計(jì)年鑒》中男性人口的死亡率(以后簡(jiǎn)稱“靜態(tài)死亡率”)作為壽險(xiǎn)公司各險(xiǎn)種定價(jià)的基礎(chǔ),并且假設(shè)各種壽險(xiǎn)產(chǎn)品的定價(jià)利率均為固定利率3.5%。然后假設(shè)死亡數(shù)Dx服從二項(xiàng)分布(2),每類險(xiǎn)種最初均有100000人投保,則在靜態(tài)死亡率下可模擬出各年齡的死亡人數(shù)和生存人數(shù);最后利用前面的式(5)~式(7)計(jì)算出相應(yīng)的純保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金。對(duì)A、B、C、D類保單,上述過程分別重復(fù)10000次,即得到各類保單的責(zé)任準(zhǔn)備金分布。對(duì)于A、B、C、D類保單中的每份保單,其直方圖如圖2所示。為了對(duì)準(zhǔn)備金風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行量化分析,針對(duì)每類保單,分別計(jì)算每份保單純保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金模擬分布的期望、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度、峰度、VaR值和條件尾部期望(CTE),結(jié)果如表2所示。從圖2和表2可以看出,盡管各類保單的保障內(nèi)容不同,保單的期初準(zhǔn)備金期望除以保單期初保費(fèi)收入,即得到保單平均成本,分別為0.153%,0.004%,1.062%,0.269%。期望均圍繞零點(diǎn)上下波動(dòng),各分布的偏度接近于0,而峰度接近于3,VaR(95)和CTE(95)均為正值。另外,險(xiǎn)種A、B的VaR(95)和CTE(95)數(shù)值相差不大,險(xiǎn)種C、D的VaR(95)和CTE(95)數(shù)值相差亦不大。這些都說明,如果仍使用與保單定價(jià)時(shí)相同的靜態(tài)死亡率評(píng)估壽險(xiǎn)公司各險(xiǎn)種的純保費(fèi)準(zhǔn)備金,即未來死亡率與保單定價(jià)時(shí)的死亡率保持一致時(shí),則死亡率風(fēng)險(xiǎn)對(duì)于各類保單的期初準(zhǔn)備金的影響并不顯著。(2)動(dòng)態(tài)死亡率下的準(zhǔn)備金分布隨著人民生活水平的提高和醫(yī)療條件的改善,近年來我國(guó)人口的死亡率明顯降低,因而如果保單定價(jià)時(shí)采用靜態(tài)生命表,就會(huì)導(dǎo)致由于未來死亡率的改善使得保障類險(xiǎn)種的保費(fèi)高估而年金類險(xiǎn)種的保費(fèi)低估的情況,進(jìn)而會(huì)造成未來的準(zhǔn)備金提取過多或者不足,影響壽險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng),甚至影響其償付能力。為此,本文將通過Lee-Carter模型預(yù)測(cè)每一年齡未來各年的死亡率,并依此建立動(dòng)態(tài)生命表。在保費(fèi)確定的情況下,分險(xiǎn)種分析未來死亡率變化時(shí)的準(zhǔn)備金充足情況。具體做法與前面靜態(tài)死亡率下的準(zhǔn)備金風(fēng)險(xiǎn)分析方法類似,只是將其中的生命表用由Lee-Carter模型得到的動(dòng)態(tài)生命表代替。下面的圖3是對(duì)A、B、C、D四類保單,分別模擬10000次純保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金后得到的每份保單的準(zhǔn)備金分布直方圖。同前,為了對(duì)準(zhǔn)備金風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行量化分析,針對(duì)每類保單,分別計(jì)算每份保單純保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金模擬分布的期望、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度、峰度、VaR值和條件尾部期望(CTE),結(jié)果如表3所示。從圖3和表3可以看出,對(duì)于各類保單,各分布的峰度和偏度相比表2沒有太大變化,但是定期壽險(xiǎn)的均值均偏向負(fù)值而年金產(chǎn)品的均值均偏向正值,而且定期壽險(xiǎn)的VaR(95)和CTE(95)均為負(fù)值而年金險(xiǎn)的VaR(95)和CTE(95)則均為正值。另外,對(duì)兩種定期壽險(xiǎn)產(chǎn)品A、B而言,產(chǎn)品B的VaR(95)和CTE(95)值明顯比產(chǎn)品A的對(duì)應(yīng)值的絕對(duì)值大很多;對(duì)年金C和D而言,年金C的VaR(95)和CTE(95)比年金D的對(duì)應(yīng)值大很多。這說明如果定價(jià)時(shí)采用靜態(tài)死亡率,而未來死亡率與本文計(jì)算的動(dòng)態(tài)死亡率一致,死亡率改善會(huì)對(duì)壽險(xiǎn)公司的準(zhǔn)備金評(píng)估產(chǎn)生較大影響。具體地,對(duì)保障類產(chǎn)品而言,死亡率改善將存在準(zhǔn)備金估計(jì)過高的風(fēng)險(xiǎn),而且保險(xiǎn)期限越長(zhǎng),風(fēng)險(xiǎn)越大;對(duì)年金類險(xiǎn)種而言,死亡率改善將存在準(zhǔn)備金估計(jì)不足的風(fēng)險(xiǎn),而且被保險(xiǎn)人領(lǐng)取年金的年齡越晚,風(fēng)險(xiǎn)越大。(3)不同死亡率下的準(zhǔn)備金分布結(jié)果分析對(duì)于保障類險(xiǎn)種來說,未來死亡率的改善和壽命的延長(zhǎng)使得壽險(xiǎn)公司未來的賠付率降低,保險(xiǎn)金給付的時(shí)刻后延。因此,在動(dòng)態(tài)死亡率下,當(dāng)未來的保費(fèi)保持不變時(shí),保單期初準(zhǔn)備