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第2章特殊三角形微專題——折疊問題訓(xùn)練1

一、單選題

1.如圖,在中,,M是邊上一點,將沿折疊,點B恰好能與的中點D重合,若,則M點到的距離是()

A.3B.4C.5D.6

2.如圖,在等邊中,已知,,將沿折疊,點與點對應(yīng),且,則等邊的邊長為()

A.B.4C.D.

3.如圖,將一個直角三角形紙片,沿線段折疊,使點B落在處,若,則的度數(shù)為()

A.B.C.D.

4.如圖,把長方形紙條沿折疊,若,則的度數(shù)為()

A.B.C.D.

5.如圖,射線與射線平行,點F為射線上的一定點,作直線,點P是射線上的一個動點(不包括端點C),將沿折疊,使點C落在點E處.若,當(dāng)點E到點A的距離最大時,的度數(shù)為()

A.B.C.D.

6.如圖,在中,點D,E分別在邊,上,將沿折疊至的位置,點A的對應(yīng)點為F.若,,則的度數(shù)為()

A.B.C.D.

7.如圖,在中,,,為上一點,將沿折疊,使落在斜邊上,點與點重合,則的長為()

A.B.C.D.

8.如圖,在中,已知,點分別在邊上,現(xiàn)將沿直線折疊,使點恰好落在點處,若將線段向左平移剛好可以與線段重合,連接,若,則的值為()

A.B.C.D.

二、填空題

9.在中,點、分別在、邊上,將沿直線折疊,點落在邊上的處,且,如果,則的度數(shù)為.

10.如圖,將矩形紙片沿折疊后,點D、C分別落在點、的位置,的延長線交于點G,若,則度.

11.如圖,三角形紙片中,.沿過點C的直線折疊這個三角形,使點A落在邊上的點E處,折痕為,則的周長是.

12.如圖,在平行四邊形中,,,,連結(jié),將沿折疊得到,交于點,則的長度是.

13.如圖,將等邊三角形沿著折疊,點落到點處,連接.若,則.

14.如圖,在矩形中,點E,F(xiàn)分別在邊,上,將矩形沿直線折疊,點B恰好落在邊上的點P處,連接,過E作交于G,交于點H,若,,則.

三、解答題

15.如圖,是的中線,將沿折疊,使點落在點處,連接.若,,求的長.

16.如圖,長方形紙片中有,,現(xiàn)將紙片沿對角線折疊,點落在點處,交于點,連接.

(1)求證:是等腰三角形;

(2)求的長.

17.如圖,在中,.

(1)如圖(1),把沿直線折疊,使點A與點B重合,求的長;

(2)如圖(2),把沿直線折疊,使點C落在邊上G點處,請直接寫出的長.

18.如圖,把一張長方形紙片折疊起來,為折痕,使其對角頂點與重合,與重合.若長方形的長為,寬為.

(1)求的長;

(2)求的長;

(3)求陰影部分的面積.

19.如圖,折疊等腰三角形紙片,使點落在邊上的處,折痕為,已知,于.

(1)求證:.

(2)若,,求的長.

20.如圖,將一張長方形紙片沿折疊后,點D、C分別落在點、的位置,的延長線與相交于點G.

(1)如圖(1),,求的度數(shù);

(2)如圖(2),延長、交于點M,若,求的度數(shù).

參考答案:

1.B

【分析】過點M作于E,過點M作于F,由折疊的性質(zhì)可得:,,進而得到,再根據(jù)三角形面積之間的關(guān)系即可求解.

【詳解】解:如圖,過點M作于E,過點M作于F,

由折疊的性質(zhì)可得:,,

,

∵D是的中點,

,

,

即,

解得:,

∴點M到的距離是4.

故選:B.

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì),掌握三角形等面積法及合理作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.A

【分析】設(shè)于G,交于H,由等邊三角形的性質(zhì)可得,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,根據(jù)垂直的定義得到,根據(jù)勾股定理得到,設(shè),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)列方程求解即可.

【詳解】解:設(shè)于G,交于H,

∵是等邊三角形,

∴,

∵將沿折疊,點與點對應(yīng),

∴,

∵,

∴,

∴,

∴,

∵,

∴,

設(shè),

∴,

∴,

∴.

故選:A.

【點睛】本題主要考查了翻折變換(折疊問題)、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識點,熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.A

【分析】根據(jù),求出即可解答.

【詳解】解:,,

,

由翻折的性質(zhì)可知:,

,

故選:A.

【點睛】本題考查翻折變換,三角形的內(nèi)角和定理等知識,解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì).

4.A

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì),得;再根據(jù)折疊的性質(zhì),得,即可求出的角度.

【詳解】解:∵四邊形是長方形,

∴,

∴,,

由折疊的性質(zhì),得,

∵,

∴,

故選:A.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì),折疊的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行,內(nèi)錯角相等.

5.B

【分析】由平行線的性質(zhì)得,由,當(dāng)點E在上時,點E到點A的距離最大,然后可求出的度數(shù).

【詳解】解:∵,,

∴,

∵,

∴當(dāng)點E在上時,點E到點A的距離最大,如圖,

由折疊可知,,

∴,

故選B.

【點睛】本題考查了折疊性質(zhì),平行線的性質(zhì),關(guān)鍵是確定E點的位置.

6.C

【分析】首先由圖形折疊性質(zhì)得,再利用三角形外角的性質(zhì)求出.

【詳解】∵

由折疊的性質(zhì)可得,

故選:C.

【點睛】本題考查圖形折疊的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì),熟練運用三角形外角的性質(zhì)(三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和)是解題的關(guān)鍵.

7.C

【分析】根據(jù)勾股定理易求.根據(jù)折疊的性質(zhì)有,從而得到的長度,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解:根據(jù)題意作圖,設(shè)點落在上的點為,

根據(jù)題意,,

由勾股定理得.

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知:,

∴.

∵,

在△中,,

則,

故選:C.

【點睛】本題考查圖形的翻折變換,解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,根據(jù)軸對稱的性質(zhì),折疊前后圖形的形狀和大小不變,如本題中折疊前后對應(yīng)邊、角相等.

8.B

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)及平移的性質(zhì)可知四邊形是平行四邊形,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知即可解答.

【詳解】解:∵現(xiàn)將沿直線折疊,使點恰好落在點處,

∴由折疊的性質(zhì)可得:,

∵將線段向左平移剛好可以與線段重合,

∴由平移的性質(zhì)可得:,,

∴四邊形是平行四邊形,

∴,

∵,

∴,

∵,

∴,

∴,

∴,

∴,

∴,

故選.

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì),平移的性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),線段和差倍關(guān)系,掌握折疊的性質(zhì)及平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9./70度

【分析】由折疊的性質(zhì)可知,,再利用平行線的性質(zhì),得出,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,即可求出的度數(shù).

【詳解】解:由折疊的性質(zhì)可知,,

,

,

,

,

,

故答案為:.

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì),平行線的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,靈活運用相關(guān)知識解決問題是解題關(guān)鍵.

10.132

【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)和平行線性質(zhì)得到,再根據(jù)折疊性質(zhì)得到,然后利用平行線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解:∵四邊形是矩形,

∴,又,

∴,,

根據(jù)折疊性質(zhì)得,

則,

∴,

故答案為:132.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、平行線的性質(zhì),熟練掌握矩形的性質(zhì)和折疊性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

11.19

【分析】由翻折得,,則的周長為,代入即可.

【詳解】解:∵沿過點C的直線折疊這個三角形,使點A落在邊上的點E處,

∴,,

∵,

∴,

∴的周長為,

故答案為:19.

【點睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì),明確翻折前后對應(yīng)線段相等是解題的關(guān)鍵.

12./2.8

【分析】見詳解的作圖,欲求的長,猜想構(gòu)造直角,依據(jù)勾股定理求解.因是含角的直角三角形,故可求得的長,進一步求得的長,由全等三角形及折疊性可證得,則,于是將直角三角形中的已知與待求的通過勾股定理聯(lián)系起來了,即可求得的長.

【詳解】過點A作延長線的垂線,垂足為H,見下圖.

∵四邊形為平行四邊形,

∴,

∴由得,,

∵,

∴.

∴.

則.

∵平行四邊形,

∴,又,

∴,

∴(等角對等邊).

設(shè),則,

在直角△AEH中,

即:,

解得:

故答案為:.

【點睛】本題考查了平行四邊形、折疊圖形、勾股定理、等角對等邊等性質(zhì),解題的關(guān)鍵是求證,并運用勾股定理求解.

13.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì),,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可解答.

【詳解】解:∵是等邊三角形,

∴,,

∴由折疊的性質(zhì):,

∴,

∵,

∴,

∴,

∴,

∴,

故答案為;

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,等腰三角形的性質(zhì),掌握等邊三角形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.

【分析】由折疊的性質(zhì)可證,,從而可證,,設(shè),可求,在中用勾股定理即可求解.

【詳解】解:四邊形為矩形,

,

由折疊得:,,,

,

,,

,,

,,

設(shè),則,

,

,

,

,

,

在中

,

在中

,

解得:,(舍去),

故答案:.

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì),平行線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),矩形的性質(zhì),勾股定理,掌握折疊的性質(zhì),用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵.

15..

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,,根據(jù)點D是的中點,得出是等邊三角形,據(jù)此即可解得的長.

【詳解】解:∵是的中線,,

∴,

∵沿折疊,使點A落在點E處,

∴,,

∴,

∵,

∴是等邊三角形,

∴.

【點睛】本題考查的是折疊變換,解題的關(guān)鍵是利用折疊的性質(zhì),得出是等邊三角形.

16.(1)見解析

(2)

【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出,根據(jù)等角對等邊,即可得證;

(2)令,則,,在中,,勾股定理建立方程,解方程即可求解.

【詳解】(1)證明:如圖所示,

將紙片沿對角線折疊,點落在點處,交于點,

為等腰三角形

(2)解:令,

∵是等腰三角形,

∴,

在中,

解得:

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì),等腰三角形的判定,勾股定理,熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

17.(1)

(2)

【分析】(1)設(shè)x,則,在中用勾股定理求解即可;

(2)設(shè)x,則,先根據(jù)勾股定理求出,再在中,用勾股定理求解即可.

【詳解】(1)解:∵直線是對稱軸,

∴,

∵,設(shè),則

在中,,

∴,

∴,

解得,

(2)解:∵直線是對稱軸,

∴,,

∵,設(shè),則,

∴在中,,,

∴,

在中,,

∴,

∴,

解得,

∴.

【點睛】本題考查了折疊與三角形的問題,勾股定理,掌握折疊性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

18.(1)

(2)

(3)陰影部分的面積為

【分析】(1)由折疊可知,設(shè),則,在中,根據(jù),求出的長即可;

(2)過點作于,在中,由勾股定理的長,在中,由勾股定理即可得出答案;

(3)過點作于,根據(jù)三角形面積不變性,,求出的長,根據(jù)三角形面積求出結(jié)果即可.

【詳解】(1)解:由折疊可知.

設(shè),則

在中,,

,

解得:,

(2)過點作于,則,

在中,

,由勾股定理:,即

,

,

,

(3)過點作于,

,,

,

,

【點睛】本題主要考查了折的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積不變性,靈活運用折疊的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點來分析、判斷、推理是解題的關(guān)鍵.

19.(1)見詳解

(2)

【分析】(1)由易得,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)可得,即可證明;

(2)設(shè),則,由折疊的性質(zhì)可得,,結(jié)合(1),在中,利用勾股定理求解即可獲得答案.

【詳解】(1)證明:∵,

∴,

∵,

∴,

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,,

∴,

∴,

∴.

(2)解:∵,,

∴,

設(shè),則,

由折疊的性質(zhì)可得,,

∵,

∴在中,可有,

∴,解得,

∴的長為.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識,熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

20.(1)

(2)

【分析】(1)利用折疊的性質(zhì)得

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