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第第頁浙教版數(shù)學(xué)八年級上冊第2章特殊三角形微專題——折疊問題訓(xùn)練1(含解析)浙教版數(shù)學(xué)八年級上冊
第2章特殊三角形微專題——折疊問題訓(xùn)練1
一、單選題
1.如圖,在中,,M是邊上一點,將沿折疊,點B恰好能與的中點D重合,若,則M點到的距離是()
A.3B.4C.5D.6
2.如圖,在等邊中,已知,,將沿折疊,點與點對應(yīng),且,則等邊的邊長為()
A.B.4C.D.
3.如圖,將一個直角三角形紙片,沿線段折疊,使點B落在處,若,則的度數(shù)為()
A.B.C.D.
4.如圖,把長方形紙條沿折疊,若,則的度數(shù)為()
A.B.C.D.
5.如圖,射線與射線平行,點F為射線上的一定點,作直線,點P是射線上的一個動點(不包括端點C),將沿折疊,使點C落在點E處.若,當(dāng)點E到點A的距離最大時,的度數(shù)為()
A.B.C.D.
6.如圖,在中,點D,E分別在邊,上,將沿折疊至的位置,點A的對應(yīng)點為F.若,,則的度數(shù)為()
A.B.C.D.
7.如圖,在中,,,為上一點,將沿折疊,使落在斜邊上,點與點重合,則的長為()
A.B.C.D.
8.如圖,在中,已知,點分別在邊上,現(xiàn)將沿直線折疊,使點恰好落在點處,若將線段向左平移剛好可以與線段重合,連接,若,則的值為()
A.B.C.D.
二、填空題
9.在中,點、分別在、邊上,將沿直線折疊,點落在邊上的處,且,如果,則的度數(shù)為.
10.如圖,將矩形紙片沿折疊后,點D、C分別落在點、的位置,的延長線交于點G,若,則度.
11.如圖,三角形紙片中,.沿過點C的直線折疊這個三角形,使點A落在邊上的點E處,折痕為,則的周長是.
12.如圖,在平行四邊形中,,,,連結(jié),將沿折疊得到,交于點,則的長度是.
13.如圖,將等邊三角形沿著折疊,點落到點處,連接.若,則.
14.如圖,在矩形中,點E,F(xiàn)分別在邊,上,將矩形沿直線折疊,點B恰好落在邊上的點P處,連接,過E作交于G,交于點H,若,,則.
三、解答題
15.如圖,是的中線,將沿折疊,使點落在點處,連接.若,,求的長.
16.如圖,長方形紙片中有,,現(xiàn)將紙片沿對角線折疊,點落在點處,交于點,連接.
(1)求證:是等腰三角形;
(2)求的長.
17.如圖,在中,.
(1)如圖(1),把沿直線折疊,使點A與點B重合,求的長;
(2)如圖(2),把沿直線折疊,使點C落在邊上G點處,請直接寫出的長.
18.如圖,把一張長方形紙片折疊起來,為折痕,使其對角頂點與重合,與重合.若長方形的長為,寬為.
(1)求的長;
(2)求的長;
(3)求陰影部分的面積.
19.如圖,折疊等腰三角形紙片,使點落在邊上的處,折痕為,已知,于.
(1)求證:.
(2)若,,求的長.
20.如圖,將一張長方形紙片沿折疊后,點D、C分別落在點、的位置,的延長線與相交于點G.
(1)如圖(1),,求的度數(shù);
(2)如圖(2),延長、交于點M,若,求的度數(shù).
參考答案:
1.B
【分析】過點M作于E,過點M作于F,由折疊的性質(zhì)可得:,,進而得到,再根據(jù)三角形面積之間的關(guān)系即可求解.
【詳解】解:如圖,過點M作于E,過點M作于F,
由折疊的性質(zhì)可得:,,
,
∵D是的中點,
,
,
即,
,
解得:,
∴點M到的距離是4.
故選:B.
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì),掌握三角形等面積法及合理作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
2.A
【分析】設(shè)于G,交于H,由等邊三角形的性質(zhì)可得,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,根據(jù)垂直的定義得到,根據(jù)勾股定理得到,設(shè),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)列方程求解即可.
【詳解】解:設(shè)于G,交于H,
∵是等邊三角形,
∴,
∵將沿折疊,點與點對應(yīng),
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴
∴,
設(shè),
∴,
∴
∴,
∴.
故選:A.
【點睛】本題主要考查了翻折變換(折疊問題)、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識點,熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
3.A
【分析】根據(jù),求出即可解答.
【詳解】解:,,
,
由翻折的性質(zhì)可知:,
,
故選:A.
【點睛】本題考查翻折變換,三角形的內(nèi)角和定理等知識,解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì).
4.A
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì),得;再根據(jù)折疊的性質(zhì),得,即可求出的角度.
【詳解】解:∵四邊形是長方形,
∴,
∴,,
由折疊的性質(zhì),得,
∵,
∴,
故選:A.
【點睛】本題考查平行線的性質(zhì),折疊的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行,內(nèi)錯角相等.
5.B
【分析】由平行線的性質(zhì)得,由,當(dāng)點E在上時,點E到點A的距離最大,然后可求出的度數(shù).
【詳解】解:∵,,
∴,
∵,
∴當(dāng)點E在上時,點E到點A的距離最大,如圖,
由折疊可知,,
∴,
故選B.
【點睛】本題考查了折疊性質(zhì),平行線的性質(zhì),關(guān)鍵是確定E點的位置.
6.C
【分析】首先由圖形折疊性質(zhì)得,再利用三角形外角的性質(zhì)求出.
【詳解】∵
∴
由折疊的性質(zhì)可得,
∵
∴
故選:C.
【點睛】本題考查圖形折疊的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì),熟練運用三角形外角的性質(zhì)(三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和)是解題的關(guān)鍵.
7.C
【分析】根據(jù)勾股定理易求.根據(jù)折疊的性質(zhì)有,從而得到的長度,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
【詳解】解:根據(jù)題意作圖,設(shè)點落在上的點為,
根據(jù)題意,,
由勾股定理得.
根據(jù)折疊的性質(zhì)可知:,
∴.
∵,
∴
在△中,,
則,
故選:C.
【點睛】本題考查圖形的翻折變換,解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,根據(jù)軸對稱的性質(zhì),折疊前后圖形的形狀和大小不變,如本題中折疊前后對應(yīng)邊、角相等.
8.B
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)及平移的性質(zhì)可知四邊形是平行四邊形,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知即可解答.
【詳解】解:∵現(xiàn)將沿直線折疊,使點恰好落在點處,
∴由折疊的性質(zhì)可得:,
∵將線段向左平移剛好可以與線段重合,
∴由平移的性質(zhì)可得:,,
∴四邊形是平行四邊形,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
故選.
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì),平移的性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),線段和差倍關(guān)系,掌握折疊的性質(zhì)及平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
9./70度
【分析】由折疊的性質(zhì)可知,,再利用平行線的性質(zhì),得出,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,即可求出的度數(shù).
【詳解】解:由折疊的性質(zhì)可知,,
,
,
,
,
,
,
,
故答案為:.
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì),平行線的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,靈活運用相關(guān)知識解決問題是解題關(guān)鍵.
10.132
【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)和平行線性質(zhì)得到,再根據(jù)折疊性質(zhì)得到,然后利用平行線的性質(zhì)求解即可.
【詳解】解:∵四邊形是矩形,
∴,又,
∴,,
根據(jù)折疊性質(zhì)得,
則,
∴,
故答案為:132.
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、平行線的性質(zhì),熟練掌握矩形的性質(zhì)和折疊性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.
11.19
【分析】由翻折得,,則的周長為,代入即可.
【詳解】解:∵沿過點C的直線折疊這個三角形,使點A落在邊上的點E處,
∴,,
∵,
∴,
∴的周長為,
故答案為:19.
【點睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì),明確翻折前后對應(yīng)線段相等是解題的關(guān)鍵.
12./2.8
【分析】見詳解的作圖,欲求的長,猜想構(gòu)造直角,依據(jù)勾股定理求解.因是含角的直角三角形,故可求得的長,進一步求得的長,由全等三角形及折疊性可證得,則,于是將直角三角形中的已知與待求的通過勾股定理聯(lián)系起來了,即可求得的長.
【詳解】過點A作延長線的垂線,垂足為H,見下圖.
∵四邊形為平行四邊形,
∴,
∴由得,,
∵,
∴.
∴.
則.
∵平行四邊形,
∴,又,
∴,
∴
∴(等角對等邊).
設(shè),則,
在直角△AEH中,
即:,
解得:
故答案為:.
【點睛】本題考查了平行四邊形、折疊圖形、勾股定理、等角對等邊等性質(zhì),解題的關(guān)鍵是求證,并運用勾股定理求解.
13.
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì),,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可解答.
【詳解】解:∵是等邊三角形,
∴,,
∴由折疊的性質(zhì):,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
故答案為;
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,等腰三角形的性質(zhì),掌握等邊三角形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
14.
【分析】由折疊的性質(zhì)可證,,從而可證,,設(shè),可求,在中用勾股定理即可求解.
【詳解】解:四邊形為矩形,
,
由折疊得:,,,
,
,,
,,
,,
設(shè),則,
,
,
,
,
,
在中
,
在中
,
,
解得:,(舍去),
.
故答案:.
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì),平行線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),矩形的性質(zhì),勾股定理,掌握折疊的性質(zhì),用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵.
15..
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,,根據(jù)點D是的中點,得出是等邊三角形,據(jù)此即可解得的長.
【詳解】解:∵是的中線,,
∴,
∵沿折疊,使點A落在點E處,
∴,,
∴,
∵,
∴是等邊三角形,
∴.
【點睛】本題考查的是折疊變換,解題的關(guān)鍵是利用折疊的性質(zhì),得出是等邊三角形.
16.(1)見解析
(2)
【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出,根據(jù)等角對等邊,即可得證;
(2)令,則,,在中,,勾股定理建立方程,解方程即可求解.
【詳解】(1)證明:如圖所示,
將紙片沿對角線折疊,點落在點處,交于點,
為等腰三角形
(2)解:令,
∵是等腰三角形,
∴,
在中,
即
解得:
.
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì),等腰三角形的判定,勾股定理,熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.
17.(1)
(2)
【分析】(1)設(shè)x,則,在中用勾股定理求解即可;
(2)設(shè)x,則,先根據(jù)勾股定理求出,再在中,用勾股定理求解即可.
【詳解】(1)解:∵直線是對稱軸,
∴,
∵,設(shè),則
在中,,
∴,
∴,
解得,
∴
(2)解:∵直線是對稱軸,
∴,,
∵,設(shè),則,
∴在中,,,
∴,
在中,,
∴,
∴,
解得,
∴.
【點睛】本題考查了折疊與三角形的問題,勾股定理,掌握折疊性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵.
18.(1)
(2)
(3)陰影部分的面積為
【分析】(1)由折疊可知,設(shè),則,在中,根據(jù),求出的長即可;
(2)過點作于,在中,由勾股定理的長,在中,由勾股定理即可得出答案;
(3)過點作于,根據(jù)三角形面積不變性,,求出的長,根據(jù)三角形面積求出結(jié)果即可.
【詳解】(1)解:由折疊可知.
設(shè),則
在中,,
,
解得:,
;
(2)過點作于,則,
在中,
,由勾股定理:,即
.
,
,
,
(3)過點作于,
,
,,
,
,
.
【點睛】本題主要考查了折的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積不變性,靈活運用折疊的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點來分析、判斷、推理是解題的關(guān)鍵.
19.(1)見詳解
(2)
【分析】(1)由易得,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)可得,即可證明;
(2)設(shè),則,由折疊的性質(zhì)可得,,結(jié)合(1),在中,利用勾股定理求解即可獲得答案.
【詳解】(1)證明:∵,
∴,
∵,
∴,
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,,
∴,
∴,
∴.
(2)解:∵,,
∴,
設(shè),則,
由折疊的性質(zhì)可得,,
∵,
∴在中,可有,
∴,解得,
∴的長為.
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識,熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.
20.(1)
(2)
【分析】(1)利用折疊的性質(zhì)得
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