專題15不聯(lián)立體系第二講-雙動點(diǎn)問題

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)專題15雙動點(diǎn)問題專題15雙動點(diǎn)問題第一講斜率雙用（含斜率和積比、中點(diǎn)弦問題、特殊定點(diǎn)問題）兩點(diǎn)式直線方程新高考針對斜率和差積的考查越來越多，常規(guī)聯(lián)立是設(shè)點(diǎn)找點(diǎn)帶點(diǎn)，并非直接針對斜率，需要幾個轉(zhuǎn)化步驟，導(dǎo)致計(jì)算量較大，針對斜率問題，我們推出了斜率雙用、齊次化、同構(gòu)式三板斧，其實(shí)走到最后，都會發(fā)現(xiàn)那種殊途同歸的感覺，到了這個感覺的時候，你也許就會有數(shù)學(xué)帶給你的那種茅塞頓開之境的痛快，說到這里，又要補(bǔ)充一句，圓錐曲線，有手就行(1)直線的兩點(diǎn)一般式:(2)斜率的和差互換設(shè)橢圓的弦,其中,則,兩式相減即(3)斜率雙用過二次曲線上一定點(diǎn)做兩條直線交,兩點(diǎn),直線PA、PB的斜率分別為、,且、滿足:,則直線恒過定點(diǎn),我們會在下一講進(jìn)行重點(diǎn)歸納總結(jié).在處理此類定點(diǎn)定值問題時,尋找對稱性是關(guān)鍵,斜率通過和差互換,輪番上陣,最后作差得到直線兩點(diǎn)一般式,從而找到定點(diǎn),我們僅以為已知條件,具體操作如下:根據(jù)點(diǎn)差法可得:,為了對稱性,下面進(jìn)入斜率雙用的交叉相乘模式,,化簡可得：兩式相減：即,對比直線得兩點(diǎn)一般式方程可得則直線恒過定點(diǎn).注意:關(guān)于(1)式和(2)式,為了對稱化構(gòu)造,就是用替換替換,這樣兩式作差,是為了湊出直線的兩點(diǎn)式方程中的;就能得到直線方程,從而避開繁瑣的坐標(biāo)聯(lián)立和坐標(biāo)轉(zhuǎn)化斜率的過程.【例1】(2022新高考1卷)已知在雙曲線上，直線交于兩點(diǎn),直線斜率之和為0.求的斜率【例2】(2020山東卷)已知橢圓的離心率為,且過.

(1)求的方程;

(2)點(diǎn)在上,且為垂足,證明:存在定點(diǎn),使得為定值.【例3】（九龍坡模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且外接圓的周長為．（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)分別作斜率為，的兩條直線和，交拋物線于，兩點(diǎn)，交拋物線于，兩點(diǎn)，且，分別是線段，的中點(diǎn)，，證明：直線過定點(diǎn)．【例4】（丹陽市月考）已知左焦點(diǎn)為的橢圓過點(diǎn)，過右焦點(diǎn)分別作斜率為，的橢圓的動弦，．設(shè)點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求三角形面積的最大值；（3）若，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【例5】（2020?新課標(biāo)Ⅰ）已知，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)，．為直線上的動點(diǎn)，與的另一交點(diǎn)為，與的另一交點(diǎn)為．（1）求的方程；（2）證明：直線過定點(diǎn)．本題也可以用極點(diǎn)極線模型去解釋，詳見相關(guān)章節(jié)、還有曲線系相關(guān)的解法，參見二次函數(shù)曲線系．關(guān)于“”在其他地方也有很多用途，接下來我們再來看一個常見的例子：第二講共軛中心弦模型，在橢圓上，(1)當(dāng)且僅當(dāng)時，的面積取得最大值．(2)此時滿足，，(3)動點(diǎn)滿足，且點(diǎn)在橢圓上，為定值．先給出大家熟知的一個公式及其證明：在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)分別為，，，則它的面積為．【例6】（漣水期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，上下頂點(diǎn)分別為，，若橢圓的離心率為，短軸長為2．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于另一點(diǎn)，求△的面積；（3）是單位圓上任一點(diǎn)，設(shè)，，是橢圓上異于頂點(diǎn)的三點(diǎn)且滿足，求證：直線與的斜率之積為定值．【例7】（越秀期末）已知橢圓的離心率為，、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上的一個動點(diǎn)，且△面積的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）若是橢圓上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓上，為原點(diǎn)，點(diǎn)，，滿足，則直線與直線的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．【例8】（茂名一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓的長軸長為4，、是橢圓上的動點(diǎn)（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)動點(diǎn)滿足：，直線與的斜率之積為，證明：存在定點(diǎn)，，使得為定值，并求出，的坐標(biāo)；（3）若在第一象限，且點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，垂直于軸于點(diǎn)，連接并延長交橢圓于點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，證明：．【例9】（2011?山東）已知直線與橢圓交于，兩不同點(diǎn)，且的面積，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）證明和均為定值；（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最大值；（3）橢圓上是否存在點(diǎn)，，，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請說明理由．拋物線有關(guān)的雙動點(diǎn)問題拋物線設(shè)點(diǎn)，作差相除很容易得到一個斜率或者斜率的倒數(shù)，利用這一特征，拋物線我們一般多采用設(shè)點(diǎn)法．【例10】（浙江模擬）已知拋物線的方程為，，為拋物線上兩點(diǎn)，過，分別作拋物線的切線，，設(shè)，交于點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，求弦長；（2）若，其中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，求的取值范圍．圖4-2-3第四講重心問題及其他三角形重心公式為，涉及到點(diǎn)的坐標(biāo)，故遇到重心相關(guān)的問題也可以采用設(shè)點(diǎn)的方法．【例11】（浙江模擬）如圖4-2-4所示，已知橢圓經(jīng)過和，過原點(diǎn)的一條直線交橢圓于，兩點(diǎn)在第一象限），橢圓上點(diǎn)滿足，連直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，的重心在直線的左側(cè)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記、面積分別為、，求的取值范圍．圖4-2-4【例12】如圖4-2-5所示，已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)．過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，使得的重心在軸上，直線交軸于點(diǎn)，且在點(diǎn)的右側(cè)．記，的面積分別為，．（1）求的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）求的最小值