人工智能的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

李凌均鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所九月23第二章人工智能的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第二章人工智能的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)人工智能的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有：邏輯學(xué)、概率論、模糊理論。邏輯經(jīng)典命題邏輯一階謂詞邏輯2.1命題邏輯與謂詞邏輯2.2多值邏輯2.3概率論2.4模糊理論非經(jīng)典邏輯多值邏輯、模糊邏輯模態(tài)邏輯、時(shí)態(tài)邏輯具有真假意義本章內(nèi)容：鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話0371678817922.2.1.命題一個(gè)具有真假意義的陳述句，稱(chēng)為命題。命題通常用大寫(xiě)的英文字母P，Q，R等來(lái)表示,命題是具有或真或假的含義的。如果一個(gè)命題的真值為真則用T(或1)表示，若為假則用F(或0)表示下面的例子均是命題：(1)鄭州大學(xué)是一所綜合性大學(xué)。（T）(2)2+2=5（F）。(3)今天是個(gè)好天氣。（T）(4)每一個(gè)奇數(shù)都是素?cái)?shù)。（F）2.1命題邏輯與謂詞邏輯鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792下面的例子都不是命題：(1)現(xiàn)在是幾點(diǎn)鐘？(疑問(wèn)句）(2)x-y>2（其真假值隨x、y的變化而變化，不能確定。）(3)我在說(shuō)假話。（悖論，真作假時(shí)假亦真，假作真時(shí)真亦假）(4)請(qǐng)安靜！（祈使句）2.1命題邏輯與謂詞邏輯鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792命題邏輯的局限性：

在命題邏輯中我們研究的最小單位是句子,即命題，它無(wú)法把所要描述的客觀事物的結(jié)構(gòu)及邏輯關(guān)系反映出來(lái)。也無(wú)法把不同對(duì)象的共同特征表述出來(lái)。很多問(wèn)題僅用命題邏輯是解決不了的、表達(dá)不清的。由此發(fā)展了謂詞邏輯。2.1.2.謂詞：在謂詞邏輯中引入謂詞來(lái)表示命題。一個(gè)謂詞分為謂詞名和個(gè)體2部分，謂詞用于描述個(gè)體的性質(zhì)、狀態(tài)或個(gè)體之間的關(guān)系。個(gè)體就是要被描述的某個(gè)獨(dú)立存在的事物或某個(gè)抽象的概念。2.1命題邏輯與謂詞邏輯鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792例1：張華是大學(xué)生。其中“張華”是個(gè)體，“是大學(xué)生”是謂語(yǔ)。于是我們可引入一個(gè)謂詞S（x)來(lái)表示x是大學(xué)生，張華代以x就表示張華是大學(xué)生。S（x)涉及到一個(gè)變?cè)?，稱(chēng)為一元謂詞，一元謂詞表示個(gè)體的屬性。例2：張華比李玲高。其中“張華”和“李玲”是個(gè)體，“…比…高”是謂詞，因?yàn)樯婕暗絻蓚€(gè)個(gè)體，所以我們可以用一個(gè)二元謂詞G（x,y)表示x高于y,將張華代以x,李玲代以y,則表示張華比李玲高。若用李玲代以x,張華代以y,則表示李玲高于張華。也就是說(shuō)謂詞中客體變?cè)捻樞蛞唤?jīng)定義就不能隨意改變了。2.1命題邏輯與謂詞邏輯鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792有多個(gè)變?cè)闹^詞稱(chēng)為多元謂詞，多元謂詞表示多個(gè)客體之間的關(guān)系。謂詞中的個(gè)體可以是常量，也可以是變?cè)蚝瘮?shù)。謂詞的語(yǔ)義是由使用者定義的，一旦被定義意義就明確。當(dāng)謂詞中的變?cè)坑锰囟ǖ膫€(gè)體取代時(shí)，謂詞就有了確定的真值TorF。2.1命題邏輯與謂詞邏輯鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792連接詞象在整數(shù)或?qū)崝?shù)集合上可以進(jìn)行+，-，*，/運(yùn)算一樣，在命題集合上也可以進(jìn)行運(yùn)算，形成新的命題。常用的命題運(yùn)算符亦稱(chēng)為連接詞有:?：非

：合取(與)，

：析取(或)，

：條件或蘊(yùn)涵，

：雙條件(當(dāng)且僅當(dāng))2.1命題邏輯與謂詞邏輯2.1.3.謂詞公式：鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792邏輯連接詞非“?”：如果P是一個(gè)命題，那麼?P是一個(gè)命題，它的真值是這樣定義的：P真(1)，?P假；P假(0)，?P真。可以用如下的一個(gè)所謂真值表來(lái)表示：這里應(yīng)該注意的是?P是對(duì)整個(gè)命題P的否定，而不是對(duì)命題P的部分成分否定。?是一個(gè)一元邏輯連接詞。2.1命題邏輯與謂詞邏輯P?P0110鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792邏輯連接詞合取“”：如果P是一個(gè)命題，Q是一個(gè)命題，那麼P

Q是一個(gè)命題，它的真值是這樣定義的：當(dāng)且僅當(dāng)P和Q同時(shí)為真時(shí)，P

Q的值為真，其余情況均為假。2.1命題邏輯與謂詞邏輯PQP

Q000010100111其真值表如右：“”是一個(gè)二元邏輯連接詞。這是一個(gè)復(fù)合命題，可以讀作合取或“和”、“and”。鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792例如令P：曹老師是教授。

Q：王曉離散數(shù)學(xué)不及格。則P

Q：曹老師是教授并且王曉離散數(shù)學(xué)不及格注意這兩件事在日常生活中可能是毫不相干的事情，但在命題邏輯中是有意義的，即P和Q的真值定下來(lái)，P

Q的真值就可求。再例如令P：今天是晴天。

Q：歡歡是大熊貓。于是P

Q：今天是晴天并且歡歡是大熊貓。2.1命題邏輯與謂詞邏輯鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792邏輯連接詞析取“”:如果P是一個(gè)命題，Q是一個(gè)命題，那麼P

Q是一個(gè)命題，并且它的真值是這樣定義的：當(dāng)且僅當(dāng)P和Q同時(shí)為假的時(shí)候P

Q的值才為假，否則其值為真。其真值表如下：2.1命題邏輯與謂詞邏輯PQP

Q000011101111“”可以讀作析取也可以讀作“或”、“or”

，它是個(gè)二元邏輯連接詞。但它僅代表日常生活中的可兼容或，不代表排斥或。鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792例如令P：今天下午3點(diǎn)我去講課。

Q：今天下午3點(diǎn)我去游泳。日常生活中可能會(huì)說(shuō)，今天下午3點(diǎn)我去講課或今天下午3點(diǎn)我去游泳。這里的或是一種排斥或(也稱(chēng)異或），不能使用邏輯連接詞“”來(lái)表示，也就是說(shuō)不能用P

Q：來(lái)表示今天下午3點(diǎn)我去講課或今天下午3點(diǎn)我去游泳。但下面的例子可以用析取來(lái)表示。P：李明在教室。Q：王鵬去公園。于是P

Q表示：李明在教室或王鵬去公園。2.1命題邏輯與謂詞邏輯鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792邏輯連接詞單條件“”：如果P是一個(gè)命題，Q是一個(gè)命題，那麼P

Q是一個(gè)命題，表示P蘊(yùn)涵Q，即：如果P，則Q。P成為條件的前件，Q成為條件的后件。它的真值是這樣定義的：PQP

Q001011100111當(dāng)且僅當(dāng)前件為真后件為假的時(shí)候，P

Q的值才為假，其余情況均為真。其真值表如右：

2.1命題邏輯與謂詞邏輯鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792例如令P：今天有雨。Q：我?guī)в陚恪Ｓ谑荘

Q：如果今天有雨，那麼我?guī)в陚恪Ｈ绻覀冎付≒為真代表今天有雨，那麼P為假表示今天沒(méi)有雨，指定Q真為我?guī)в陚?，那麼我沒(méi)帶雨傘為Q假?，F(xiàn)在我們來(lái)分析上面真值表的各種情況：1、P=0，Q=0即今天沒(méi)雨，我沒(méi)帶雨傘。P

Q=1即成功。2、P=0，Q=1即今天沒(méi)雨，我?guī)в陚?。P

Q=1也成功（帶雨傘也沒(méi)錯(cuò)）2.1命題邏輯與謂詞邏輯鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話0371678817923、P=1，Q=0,P

Q=0即今天有雨，我沒(méi)帶雨傘，挨淋，失敗。4、P=1，Q=1,P

Q=1即今天有雨，我?guī)в陚恪３晒?。由上面的例子可以看出?/p>

P

Q真值的規(guī)定是符合常規(guī)邏輯的。再看一個(gè)例子令P：學(xué)生不聽(tīng)話。（并指派為真）Q：老師管教學(xué)生。（并指派為真）于是P=0，Q=0，P

Q：如果學(xué)生聽(tīng)話，那麼老師不管教學(xué)生，2.1命題邏輯與謂詞邏輯鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792沒(méi)毛病，所以P

Q=1。P=0，Q=1，P

Q：如果學(xué)生聽(tīng)話，那麼老師管教學(xué)生。也沒(méi)毛病，P

Q=1；P=1，Q=0，P

Q：如果學(xué)生不聽(tīng)話，那麼老師不管教學(xué)生。失敗，所以P

Q=0；最后一種情況：P=1，Q=1，P

Q：如果學(xué)生不聽(tīng)話，那麼老師管教學(xué)生。沒(méi)毛病P

Q=1。2.1命題邏輯與謂詞邏輯鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792邏輯連接詞雙條件“”：如果P是一個(gè)命題，Q是一個(gè)命題，那麼P

Q是一個(gè)命題，它的真值是這樣定義的：2.1命題邏輯與謂詞邏輯PQP

Q001010100111當(dāng)且僅當(dāng)P和Q同號(hào)時(shí)P

Q的值為真，否則為假。其真值表如下：鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792Q：老師管教學(xué)生。于是P

Q表示老師管教學(xué)生當(dāng)且僅當(dāng)學(xué)生不聽(tīng)話。單條件和雙條件邏輯連接詞均是二元邏輯連接詞。只要P，Q的真值定下來(lái)，P當(dāng)且僅當(dāng)Q的值就可以定下來(lái)。2.1命題邏輯與謂詞邏輯鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792邏輯連接詞異或“

”：如果P是一個(gè)命題，Q是一個(gè)命題，那麼P

Q是一個(gè)命題，并且它的真值是這樣定義的，當(dāng)且僅當(dāng)P和Q同號(hào)時(shí)，P

Q的值為假否則為真。由定義我們可以看出，異或和邏輯連接詞雙條件“”有如下的關(guān)系：P

Q?（P

Q）2.1命題邏輯與謂詞邏輯鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792量詞2.1命題邏輯與謂詞邏輯在把實(shí)際問(wèn)題符號(hào)化的過(guò)程中，我們會(huì)遇到那樣的短語(yǔ)：1、所有的…;任何一個(gè)…;每一個(gè)…——allof……2、有一個(gè)…;有一些…;存在一個(gè)…——someof……我們使用量詞進(jìn)行符號(hào)化，謂詞邏輯中引入兩個(gè)量詞來(lái)表達(dá)全稱(chēng)量詞（用來(lái)表示）——表示所有（或任一個(gè)……）存在量詞（用來(lái)表示）——表示存在（有某個(gè)……）鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792例：用謂詞邏輯符號(hào)化下列命題：所有的整數(shù)都是有理數(shù)；有些整數(shù)是素?cái)?shù)；定義謂詞：I(x):x是整數(shù)

Q(x):x是有理數(shù)

S(x):x是素?cái)?shù)于是上述命題可符號(hào)化為：（x)(I(x)Q(x));(x)(I(x)

S(x)).2.1命題邏輯與謂詞邏輯鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792謂詞公式（把實(shí)際問(wèn)題符號(hào)化，公式化）命題演算的公式稱(chēng)為合式公式，又稱(chēng)命題公式，合式公式可按下列規(guī)則生成：(1)單個(gè)謂詞是合式公式，稱(chēng)為原子謂詞公式。(2)如果A是合式公式，則?A是合式公式。(3)如果A和B是合式公式，那麼AB，AB，AB，AB是合式公式。(4)當(dāng)且僅當(dāng)有限次使用(1)、(2)、(3)條規(guī)則、由圓括號(hào)、邏輯連接詞所組成的有意義的字符串是合式公式。(5)若A是合式公式，x是個(gè)體變?cè)?。則(x)A和(x)A也是合式公式。2.1.4.謂詞公式及謂詞公式的解釋鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792根據(jù)上面的定義可以看出下面的字符串均是合式公式：P，?P，P

Q，?P（PQ），?P（PQ）R，（P

Q）

?（?P

?Q）。而下面的字符串則不是合式公式：?P，R，?P

，（PQ））邏輯連接詞的運(yùn)算優(yōu)先級(jí)為：?、

、、、,括號(hào)優(yōu)先。把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題符號(hào)化為一個(gè)命題公式的步驟如下：1.確定給定的句子是否為命題。2.找出各原子命題并確定句子中的連詞對(duì)應(yīng)的邏輯連結(jié)詞。3.用正確的語(yǔ)法把原命題表示成由原子命題、連結(jié)詞和圓括號(hào)組成的合式公式。2.1.4.謂詞公式及謂詞公式的解釋鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792例1：符號(hào)化下列命題：他既聰明又用功。他雖聰明但不用功。解：令P：他聰明Q：他用功于是PQ：表示他既聰明又用功。

P

?Q：表示他雖聰明但不用功。例2：符號(hào)化下列命題：老驥自知夕陽(yáng)晚，無(wú)須揚(yáng)鞭自?shī)^蹄。解：令P：老驥自知夕陽(yáng)晚Q：無(wú)須揚(yáng)鞭自?shī)^蹄P

Q：老驥自知夕陽(yáng)晚，無(wú)須揚(yáng)鞭自?shī)^蹄。2.1.4.謂詞公式及謂詞公式的解釋鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792謂詞公式的解釋?zhuān)涸诿}邏輯中，對(duì)命題公式中各個(gè)命題變?cè)囊淮握嬷抵概煞Q(chēng)為命題公式的一個(gè)解釋。不同的變?cè)嬷蒂x值得到不同的命題公式解釋?zhuān)粋€(gè)解釋對(duì)應(yīng)一個(gè)命題公式的真值?？聪旅娴睦印?.1.4.謂詞公式及謂詞公式的解釋鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792設(shè)個(gè)體域D＝{1,2},求公式A＝(

x)(y)P(x,y)在D上的解釋?zhuān)⒅赋鲈诿恳环N解釋下公式A的真值。指派一組真值：P(1,1)=T,P(1,2)=F,P(2,1)=T,P(2,2)=F,這是其中的一個(gè)解釋?zhuān)诖私忉屜拢瑇=1和x=2時(shí)分別有P(1,1)和P(2,1)=T，即對(duì)于個(gè)體域中的所有x都有y使得P(x,y)=T,所以在這種解釋下公式A的值為T(mén)。還可以指派另外一組真值：P(1,1)=T,P(1,2)=T,P(2,1)=F,P(2,2)=F,這時(shí)公式A的值為F.這樣的真值指派共有16種2.1.4.謂詞公式及謂詞公式的解釋鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792定義：設(shè)A、B是兩個(gè)命題公式，P1，P2，，Pn

是出現(xiàn)在A和B中的所有命題變?cè)Ｈ绻麑?duì)于P1，P2，，Pn的2n

個(gè)真值指派的每一組，公式A和B的真值相同，則稱(chēng)A和B等價(jià)。記作AB。顯然，要判斷兩個(gè)命題公式是否等價(jià)，用真值表法即可以實(shí)現(xiàn)。但是當(dāng)命題變?cè)鄷r(shí)這種方法是不方便的。例如兩個(gè)公式若含有4個(gè)變?cè)瑒t真值表要列出24行。所以，我們一般不采用這種方法，而是采用等價(jià)變換的方法。下面列出的是常用的一組等價(jià)變換公式。2.1.4.謂詞公式的等價(jià)性鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話0371678817922.1.4.謂詞公式的等價(jià)性常用等價(jià)變換公式：1、??PP雙重否定律2、PPP，P

PP等冪律3、（PQ）RP（QR）結(jié)合律

（P

Q）RP（QR）4、PQQP,P

QQ

P交換律5、P（QR）（PQ）（PR）分配律P（QR）（PQ）（PR）6、P（PQ）P吸收律P（PQ）P鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話0371678817922.1.4.謂詞公式的等價(jià)性7、?（PQ）?P?Q德.摩根律

?（PQ）?P?Q8、PQ?PQ，連接詞化歸律

PQ(PQ)(QP)

PQ(PQ)（?P?Q）9、(x)(PQ)(x)P(x)Q量詞分配律

(

x)(PQ)(

x)P(

x)Q10、?(x)P(x)(?P),量詞轉(zhuǎn)換律

?(

x)P(x)(?P),11、P?PT，P?PF補(bǔ)余律鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792下面我們給出子公式，及關(guān)于公式等價(jià)的一個(gè)定理。定義：設(shè)A是一個(gè)命題公式，A是A的一部分，且A也是一個(gè)命題公式，則稱(chēng)A是A的子公式。定理：設(shè)A是公式A的子公式，B是一命題公式且AB，將A中的A用B來(lái)取代，則所得到的是一個(gè)新公式，

記為B，且AB。例1：證明（P(QR))(PQR)P證明：左邊(P(QR))(P(QR))

P((QR)

(QR))

PTP.2.1.4.謂詞公式的等價(jià)性鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話0371678817922.1.5永真式、永假式及蘊(yùn)涵式一個(gè)命題公式若含有N個(gè)變?cè)瑒t應(yīng)有2n種組合，所以要證明兩個(gè)命題公式的等價(jià)，當(dāng)命題變?cè)鄷r(shí)使用真值表法是不現(xiàn)實(shí)的，只能采用上面的等價(jià)變換的方法。有兩種特殊的命題公式值得一提，即不依賴(lài)變?cè)恼嬷抵概煽偸侨≈禐門(mén)的公式(稱(chēng)為永真式)，不依賴(lài)變?cè)恼嬷抵概煽偸侨≈禐镕的公式(稱(chēng)為永假式)，其余的情況則為可滿足的式子。例如：P

PT,P

PF永真式與永假式取決于公式本身的結(jié)構(gòu)，不依賴(lài)變?cè)恼嬷抵概?。例?PQR)(PQR)就是一個(gè)永真式(PQR)(PQR)就是一個(gè)永假式永真式的性質(zhì)：若公式A是永真式，并且P1，P2，…，Pn是出現(xiàn)于A中的變?cè)?，若用公式B代換A中的原子變?cè)狿i(i=1,2,…,n),所得到的公式設(shè)為A’，則A’也是永真式。（注意代換過(guò)程從左向右要進(jìn)行到底）。對(duì)非永真式，這條性質(zhì)不一定成立。

鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792定義：當(dāng)且僅當(dāng)AB是一個(gè)永真式時(shí)，則稱(chēng)A蘊(yùn)涵B，記作AB.要證明AB.只要證明A為真時(shí)B必為真即可，也可以使用真值表來(lái)證明。即證明使A為真的那些組真值指派必然使B取值為真。下面是一些常用的永真蘊(yùn)涵式：1）PQP,PQQ化簡(jiǎn)式2）PPQ,QPQ附加式3)PPQ,QPQ4)(PQ)P,(PQ)Q5)P(PQ)Q,Q(PQ)P6)P(PQ)Q7)(PQ)(QR)PR8)(PQ)(PR)(QR)R2.1.5永真式、永假式及蘊(yùn)涵式鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792以上永真蘊(yùn)涵公式的證明，均可以從定義出發(fā)：例如證明3）:PPQ,QPQ前件為真時(shí)P為假，于是使得PQ必為真，同理：Q為真時(shí)使得PQ必為真。再如證明5）:P(PQ)Q,Q(PQ)P

P和(PQ)同時(shí)為真時(shí)，保證了Q必為真。同理，Q為真，Q就為假，PQ又為真，P就得為假，于是保證了P為真。2.1.5永真式、永假式及蘊(yùn)涵式鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792等價(jià)式與永真蘊(yùn)涵式之間的聯(lián)系：設(shè)P，Q是命題公式，PQ的充分必要條件是：PQ且QP。永真蘊(yùn)涵具有傳遞性：即PQ且QR則PR。同理等價(jià)關(guān)系也具有傳遞性：PQ且QR則有PR。定義1.4-2假設(shè)H1,…,Hm,Q是命題公式。如果（H1

…

Hm）Q，則稱(chēng)H1,…,Hm共同蘊(yùn)涵Q，并記作H1,…,HmQ定理：如果H1

…

Hm

PQ，則H1,…,HmPQ定理是顯然的：H1

…

Hm

P為真，保證了P為真，H1

…

Hm

PQ，保證了Q為真，于是有P

Q為真，得證。2.1.5永真式、永假式及蘊(yùn)涵式鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話0371678817922.2多值邏輯經(jīng)典的命題邏輯和謂詞邏輯的語(yǔ)義解釋只有2個(gè)真值：TorF，而在現(xiàn)實(shí)世界中，并非都是非真即假的情況，真真假假，有真有假的情況時(shí)常存在，所以，它們不能完全描述客觀世界的真實(shí)情況，在經(jīng)典邏輯的基礎(chǔ)上提出了多值邏輯。用T(A)表示命題A為真的程度。T(A)的取值介于0(假)與1(真)之間：0≤T(A)≤1多值邏輯的運(yùn)算：T(A)=1-T(A)T(AB)=min{T(A),T(B)}T(AB)=max

{T(A),T(B)}T(AB)=min{1,1-T(A)+T(B)}T(A

B)=1-|T(A)-T(B)|鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話0371678817922.2多值邏輯三值邏輯是多值邏輯的一個(gè)特例，有關(guān)真值表在書(shū)上有解釋,書(shū)中表2-2所示。三值邏輯的真值：除了“真”、“假”外，還存在另一個(gè)真值，第三個(gè)真值根據(jù)具體含義有不同的意義：不能判斷其真假：但真假必選其一，非真即假。不確定：不真也不假，無(wú)法確定其真值，或者就不存在真值。無(wú)意義：非真非假鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話037167881792在三值邏輯中，對(duì)于命題P和Q，由連接詞“與”（）、“或”（）、“非”（

）、“蘊(yùn)涵”（→）和“等價(jià)”（?）所構(gòu)成的復(fù)合命題與二值邏輯中復(fù)合命題的定義完全相同，所不同的僅僅是命題P和Q及其復(fù)合命題的真假值域由原來(lái)的二值{0，1}變?yōu)槿祘0，1/2，1}。于是復(fù)合命題的真假值可由下表給出。2.2多值邏輯鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話0371678817922.2多值邏輯三值邏輯運(yùn)算PQ

P

QPQPQP→QP?Q1100111111/201/21/211/21/2100101001/211/201/2111/21/21/21/21/21/21/2111/201/2101/21/21/20110011001/211/201/211/200110011鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所電話0371678817922.2多值邏輯根據(jù)上表，我們不難得到（