高職應(yīng)用數(shù)學(xué) 4

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第4章4利用導(dǎo)數(shù)求最值6導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用1利用導(dǎo)數(shù)求極限(洛必達(dá)法則)4.1利用導(dǎo)數(shù)求極限(洛必達(dá)法則)定理(洛必達(dá)法則)定理(洛必達(dá)法則)若(2)f(x)與g(x)在x?的某鄰域內(nèi)(點(diǎn)x?可除外)可導(dǎo)，且g'(x)≠0,(3)(A為有限數(shù)，也可為+0或-o),則這種在一定條件下，通過對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)來計(jì)算未定式極限的方法，稱為洛必達(dá)法則。例5求解0解1Xxx21x解此題屬0-型未定式，因?yàn)樗援?dāng)x→0+時(shí)，上式右端是型未定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則，得函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值從圖4-1可直觀地看出，如果函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)增加，那么它的切線斜率f'(x)都是正的；如果函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)減少，那么它的切線斜率f'(x)都是負(fù)的。(1)如果在(a,b)內(nèi)f'(x)>0,則函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)增加；(2)如果在(a,b)內(nèi)f'(x)<0,則函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)減少。從圖4-3可以看出，可導(dǎo)函數(shù)在取得極值處的切線是水平的，即在極值點(diǎn)x?處，必有f(x?)=0,于是有下面的定理：定理2(極值存在的必要條件)設(shè)f(x)在點(diǎn)x?處具有導(dǎo)數(shù)，并且在點(diǎn)處取得極值，那么f'(x)=0。X0+0 0+U1∩在區(qū)間(-,0)和上曲線是凹的，在區(qū)間上曲線是凸的。點(diǎn)(0,1)和是曲線的拐點(diǎn)。例2求函數(shù)f(x)=e-最值。因此f(x)在x=0處取得極大值，所以f(x)在(-o,+o)的最大值為f(0)=1,因?yàn)镵與點(diǎn)的位置無關(guān)，所以A點(diǎn)處的曲率為設(shè)y=f(x)且f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)(這時(shí)f’(x)連續(xù)，從而曲線是光滑的)。所以，兩邊取微分，有又知ds=√1+y2dx,從而得曲率的計(jì)算公式，即例1計(jì)算直線y=ax+b上任意一點(diǎn)的曲率。解y'=a,y"=0于是例2計(jì)算雙曲線xy=1所以，雙曲線xy=1在點(diǎn)(1,1)處的曲率為工件A工件A滿足曲線方程y=x2,工件B滿足曲線方程y=x2處的彎曲程度。,試比較這兩個(gè)工件在x=1解工件A在x=1處有其曲率為工件B在x=1處有其曲率為所以工件A在x=1處的彎曲程度比B大。設(shè)曲線在點(diǎn)M(x,y)處的曲率為K(K≠0)。在點(diǎn)M(x,y)處的曲線上圓叫做曲線在點(diǎn)M處的曲率圓，曲率圓的圓心D叫做曲線在點(diǎn)M處的曲率中心，曲率圓的半徑p叫做曲線在點(diǎn)M處的曲率半徑。曲線在點(diǎn)M處的曲率K(K≠0)與曲線在點(diǎn)M處的曲率半徑p有如下關(guān)系：例4設(shè)工件表面的截線為拋物線y=0.4x2?，F(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面，問直徑為多大時(shí)砂輪才比較合適?。解砂輪的半徑不應(yīng)大于拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑y(tǒng)'=0.8x,y”=0.8把它們代入曲率公式，得y|o=0,y”|=o=0.8拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑為所以選用砂輪的半徑不得超過1.25單位長，即直徑不得超過2.50單位長。1.邊際成本例1某種產(chǎn)品生產(chǎn)x件時(shí)，總成本C(x)=100+6x-0.02x2(元)。求當(dāng)產(chǎn)量由于平均成本=總成本/產(chǎn)量，邊際成本=C'(x),所以，生產(chǎn)100件時(shí)，總成本為C(100)=100+6×100-0.02×1002=500(元)2.2.邊際收入經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際收入是指總收入R(x)對(duì)銷售量x的變化率R'(x)。其經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)銷售量達(dá)到某一點(diǎn)時(shí)，再多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的收入。邊際收入一般記作MR,即MR=R'(x)。例2設(shè)某產(chǎn)品的價(jià)格與銷售量的關(guān)系為,求銷售量為20時(shí)的總收入、平均收入與邊際收入。解由于總收入=銷售量×價(jià)格，平均收入=總收入/銷售量，邊際收入=總收入的導(dǎo)數(shù)，故先求出總收入、平均收入與邊際收入，再將20代入?？偸杖牒瘮?shù)為平均收入函數(shù)為邊際收入函數(shù)為2xMR=R'(x)=10-5經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際利潤是指總利潤L(x)對(duì)銷售量x的變化率L'(x)。其經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)銷售量達(dá)到某一點(diǎn)時(shí)，再多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的利潤，由于總利潤為總收入與總成本的差，即L(x)=R(x)-C(x),故兩邊同時(shí)求導(dǎo)得L'(x)=R'(x)-C'(x)。例3某工廠生產(chǎn)x臺(tái)產(chǎn)品的總成本為C(x)=300+11x(元),總收入為R(x)=50x-0.03x2(元),試求：(1)邊際利潤函數(shù)；(2)產(chǎn)量為600臺(tái)和700臺(tái)時(shí)的邊際利潤，并說明其經(jīng)濟(jì)意義；(3)當(dāng)產(chǎn)量是多少時(shí)獲得最大利潤，最大利潤是多少?解(1)總利潤函數(shù)為L(x)=R(x)-C(x)=39x-0.03x2-300(2)將x=600,x=700代入邊際利潤函數(shù)得L'(600)=39-0.06×600=3其經(jīng)濟(jì)意義為當(dāng)產(chǎn)量為600臺(tái)時(shí)，再多生產(chǎn)一臺(tái)利潤將增加3元。其經(jīng)濟(jì)意義為當(dāng)產(chǎn)量為700臺(tái)時(shí)，再多生產(chǎn)一臺(tái)利潤將減少3元。因?yàn)長"(x)=-0.06<0,所以，當(dāng)x=650時(shí)利潤最大，最大利潤為L(650)=39×650-0.03×6502-3L(650)=39×650-0.03×6502-3由定義可知例4某種商品市場的需求量Q(單位：件)是價(jià)格P(單位：元)的函數(shù)求價(jià)格為每件5元時(shí)的彈性系數(shù)，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。價(jià)格定為每件5元時(shí)，市場的需求彈性系數(shù)為這就是說，當(dāng)這種商品的價(jià)格在5元/件時(shí)，價(jià)格上升1%,市場的需求量相應(yīng)地下降約0.67%。例5種設(shè)某種商品需求量D(單位：件)對(duì)價(jià)格P(單位：元)的函數(shù)關(guān)系是試求價(jià)格為3元時(shí)的需求彈性。ED二PD'(P)=P