2015年上海市寶山區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

2015年上海市寶山區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（每題4分，共24分）1．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=，下列判斷正確的是（）A．∠A=90° B．∠A=45° C．cotA= D．tanA=2．（4分）（2015?巴東縣模擬）如圖，△ABC中，D、E分別為邊AB、AC上的點，且DE∥BC，下列判斷錯誤的是（）A．= B．= C．= D．=3．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）如果在兩個圓中有兩條相等的弦，那么（）A．這兩條弦所對的圓心角相等B．這兩條線弦所對的弧相等C．這兩條弦都被與它垂直的半徑平分D．這兩條弦所對的弦心距相等4．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）已知非零向量、、，下列命題中是假命題的是（）A．如果=2，那么∥ B．如果=﹣2，那么∥C．如果||=||，那么∥ D．如果=2，=2，那么∥5．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）已知⊙O半徑為3，M為直線AB上一點，若MO=3，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相切 B．相交 C．相切或相離 D．相切或相交6．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）如圖，邊長為3的等邊△ABC中，D為AB的三等分點（AD=BD），三角形邊上的動點E從點A出發(fā)，沿A→C→B的方向運動，到達點B時停止，設(shè)點E運動的路程為x，DE2=y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共48分）7．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）已知線段b是線段a、c的比例中項，且a=1、b=2，那么c=．8．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）兩個相似三角形的相似比為2：3，則它們的面積之比為．9．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）已知兩圓半徑分別為3和7，圓心距為d，若兩圓相離，則d的取值范圍是．10．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）已知△ABC的三邊之比為2：3：4，若△DEF與△ABC相似，且△DEF的最大邊長為20，則△DEF的周長為．11．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）在△ABC中，cotA=，cosB=，那么∠C=．12．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）B在A北偏東30°方向（距A）2千米處，C在B的正東方向（距B）2千米處，則C和A之間的距離為千米．13．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）拋物線y=﹣（x﹣3）2+4的對稱軸是．14．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）不經(jīng)過第二象限的拋物線y=ax2+bx+c的開口方向向．15．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）已知點A（x1，y1）、B（x2，y2）為函數(shù)y=﹣2（x﹣1）2+3的圖象上的兩點，若x1＞x2＞1，則y1y2．16．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）如圖，D為等邊△ABC邊BC上一點，∠ADE=60°，交AC于E，若BD=2，CD=3，則CE=．17．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD于M，且M是半徑OB的中點，CD=2，則直徑AB的長為．18．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD=2，AB=BC，AD=1，動點M、N分別在AB邊和BC的延長線運動，而且AM=CN，聯(lián)結(jié)AC交MN于E，MH⊥AC于H，則EH=．三、解答題（78分）19．（8分）（2015?寶山區(qū)一模）計算：+cot30°﹣．20．（8分）（2015?寶山區(qū)一模）如圖，已知M、N分別是平行四邊形ABCD邊DC、BC的中點，射線AM和射線BC相交于E，設(shè)=，=，試用、表示，；（直接寫出結(jié)果）21．（8分）（2015?寶山區(qū)一模）已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（1，0）和點B（0，6），C（4，6），求這個拋物線的表達式以及該拋物線的頂點坐標．22．（8分）（2015?寶山區(qū)一模）如圖，D為等邊△ABC邊BC上一點，DE⊥AB于E，若BD：CD=2：1，DE=2，求AE．23．（10分）（2015?寶山區(qū)一模）如圖，P為⊙O的直徑MN上一點，過P作弦AC、BD使∠APM=∠BPM，求證：PA=PB．24．（10分）（2015?寶山區(qū)一模）如圖，正方形ABCD中，（1）E為邊BC的中點，AE的垂直平分線分別交AB、AE、CD于G、F、H，求；（2）E的位置改動為邊BC上一點，且=k，其他條件不變，求的值．25．（12分）（2015?寶山區(qū)一模）（1）數(shù)學(xué)小組的單思稿同學(xué)認為形如的拋物線y=ax2+bx+c，系數(shù)a、b、c一旦確定，拋物線的形狀、大小、位置就不會變化，所以稱數(shù)a、b、c為拋物線y=ax2+bx+c的特征數(shù)，記作{a，b，c}；請求出與y軸交于點C（0，﹣3）的拋物線y=x2﹣2x+k在單同學(xué)眼中的特征數(shù)；（2）同數(shù)學(xué)小組的尤恪星同學(xué)喜歡將拋物線設(shè)成y=a（x+m）2+k的頂點式，因此堅持稱a、m、k為拋物線的特征數(shù)，記作{a，m，k}；請求出上述拋物線在尤同學(xué)眼中的特征數(shù)；（3）同一個問題在上述兩位同學(xué)眼中的特征數(shù)各不相同，為了讓兩人的研究保持一致，同組的董和諧將上述拋物線表述成：特征數(shù)為{u，v，w}的拋物線沿平行于某軸方向平移某單位后的圖象，即此時的特征數(shù){u，v，w}無論按單思稿同學(xué)還是按尤恪星同學(xué)的理解做出的結(jié)果是一樣的，請你根據(jù)數(shù)學(xué)推理將董和諧的表述完整地寫出來；（4）在直角坐標系xOy中，上述（1）中的拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左邊），請直接寫出△ABC的重心坐標．26．（14分）（2015?浙江模擬）如圖，在△ABC中，AB=BC=10，AC=4，D為邊AB上一動點（D和A、B不重合），過D作DE∥BC交AC于E，并以DE為邊向BC一側(cè)作正方形DEFG，設(shè)AD=x，（1）請用x的代數(shù)式表示正方形DEFG的面積，并求出當邊FG落在BC邊上時的x的值；（2）設(shè)正方形DEFG與△ABC重合部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)及其定義域；（3）點D在運動過程中，是否存在D、G、B三點中的兩點落在以第三點為圓心的圓上的情況？若存在，請直接寫出此時AD的值，若不存在，則請說明理由．

2015年上海市寶山區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每題4分，共24分）1．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=，下列判斷正確的是（）A．∠A=90° B．∠A=45° C．cotA= D．tanA=【考點】特殊角的三角函數(shù)值．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出tanA的值，進而可得出結(jié)論．【解答】解：∵在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=，∴tanA===．故選D．【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．2．（4分）（2015?巴東縣模擬）如圖，△ABC中，D、E分別為邊AB、AC上的點，且DE∥BC，下列判斷錯誤的是（）A．= B．= C．= D．=【考點】平行線分線段成比例．【分析】如圖，證明△ADE∽△ABC，得到；證明，即可解決問題．【解答】解：如圖，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴C、D正確．∵DE∥BC，∴，故選B．【點評】該題主要考查了平行線分線段成比例定理及其應(yīng)用問題；觀察圖形、數(shù)形結(jié)合，正確寫出比例式是解題的關(guān)鍵．3．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）如果在兩個圓中有兩條相等的弦，那么（）A．這兩條弦所對的圓心角相等B．這兩條線弦所對的弧相等C．這兩條弦都被與它垂直的半徑平分D．這兩條弦所對的弦心距相等【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；垂徑定理．【分析】在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等，但在不同圓中則應(yīng)另當別論．【解答】解：A、這兩條弦所對的圓心角不一定相等，原說法錯誤，故本選項錯誤；B、這兩條弦所對的弧不一定相等，原說法錯誤，故本選項錯誤；C、這兩條弦都被垂直于弦的半徑平分（垂徑定理），原說法正確，故本選項正確；D、這兩條弦所對的弦心距不一定相等，原說法錯誤，故本選項錯誤；故選C．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，注意在同圓和等圓這個條件，不要盲目解答．4．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）已知非零向量、、，下列命題中是假命題的是（）A．如果=2，那么∥ B．如果=﹣2，那么∥C．如果||=||，那么∥ D．如果=2，=2，那么∥【考點】*平面向量．【分析】根據(jù)平行向量的性質(zhì)，可得A，B，D均正確；由向量模的意義，可知C錯誤．【解答】解：A、如果=2，那么∥，且方向相同；故正確；B、如果=﹣2，那么∥，且方向相反；故正確；C、如果||=||，不能判定∥；故錯誤；D、如果=2，=2，那么∥；正確．故選C．【點評】本題考查了平面向量的知識．此題難度不大，注意理解平行向量與模的意義是解此題的關(guān)鍵．5．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）已知⊙O半徑為3，M為直線AB上一點，若MO=3，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相切 B．相交 C．相切或相離 D．相切或相交【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系：若d＜r，則直線與圓相交；若d=r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．【解答】解：因為垂線段最短，所以圓心到直線的距離小于等于3．此時和半徑3的大小不確定，則直線和圓相交、相切都有可能．故選D．【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，判斷直線和圓的位置關(guān)系，必須明確圓心到直線的距離．特別注意：這里的3不一定是圓心到直線的距離．6．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）如圖，邊長為3的等邊△ABC中，D為AB的三等分點（AD=BD），三角形邊上的動點E從點A出發(fā)，沿A→C→B的方向運動，到達點B時停止，設(shè)點E運動的路程為x，DE2=y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．【考點】動點問題的函數(shù)圖象．【分析】根據(jù)題意求出在0≤x≤3和3≤x≤6時y與x的函數(shù)關(guān)系式，選擇適合的圖象．【解答】解：當0≤x≤3時，如圖1，作DF⊥AC于F，∵D為AB的三等分點，AB=3，∴AD=1，又∠A=60°，∴DF=，AF=，∵AE=x，∴EF=x﹣，y=（x﹣）2+（）2=x2﹣x+1當3≤x≤6時，如圖2，作DH⊥BC于H，∵∠B=60°，BD=2，∴DH=，BH=1，y=x2﹣10x+28，故選：B．【點評】本題考查的是動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)題意求出各個取值范圍內(nèi)的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，解答時，注意勾股定理的運用．二、填空題（每題4分，共48分）7．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）已知線段b是線段a、c的比例中項，且a=1、b=2，那么c=4．【考點】比例線段．【分析】根據(jù)比例中項的定義可得b2=ac，從而易求b．【解答】解：∵線段b是線段a、c的比例中項，∴b2=ac，即22=1×c，∴c=4．故答案是4．【點評】本題考查了比例線段，解題的關(guān)鍵是理解比例中項的定義．8．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）兩個相似三角形的相似比為2：3，則它們的面積之比為4：9．【考點】相似三角形的性質(zhì)．【專題】探究型．【分析】直接根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行解答即可．【解答】解：∵兩個相似三角形的相似比為2：3，∴它們的面積之比為4：9．故答案為：4：9【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，即相似三角形面積的比等于相似比的平方．9．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）已知兩圓半徑分別為3和7，圓心距為d，若兩圓相離，則d的取值范圍是0≤d＜4或d＞10．【考點】圓與圓的位置關(guān)系．【分析】若兩圓相離，則可能外離或內(nèi)含，據(jù)此考慮圓心距的取值范圍．【解答】解：若兩圓相離，則可能外離或內(nèi)含，外離時的數(shù)量關(guān)系應(yīng)滿足d＞10；內(nèi)含時的數(shù)量關(guān)系應(yīng)滿足0≤d＜4．故答案為：0≤d＜4或d＞10．【點評】考查了兩圓的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系之間的等價關(guān)系，牢記兩圓的半徑與圓心距之間的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．10．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）已知△ABC的三邊之比為2：3：4，若△DEF與△ABC相似，且△DEF的最大邊長為20，則△DEF的周長為45．【考點】相似三角形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得△DEF的三邊比，再結(jié)合條件可分別求得△DEF的三邊長，可求得答案．【解答】解：∵△DEF∽△ABC，△ABC的三邊之比為2：3：4，∴△DEF的三邊之比為2：3：4，又∵△DEF的最大邊長為20，∴△DEF的另外兩邊分別為10、15，∴△DEF的周長為10+15+20=45，故答案為：45．【點評】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵．11．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）在△ABC中，cotA=，cosB=，那么∠C=90°．【考點】特殊角的三角函數(shù)值．【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得∠A，∠B，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得答案．【解答】解：由△ABC中，cotA=，cosB=，得∠A=60°，∠B=30°．由角形的內(nèi)角和定理，得∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣30°=90°，故答案為：90°．【點評】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．12．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）B在A北偏東30°方向（距A）2千米處，C在B的正東方向（距B）2千米處，則C和A之間的距離為2千米．【考點】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．【分析】過點B作BD⊥AC于點D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAD=∠BCD=30°，AD=CD，再由AD=AB?cos30°即可得出AD的長，進而得出結(jié)論．【解答】解：如圖所示，過點B作BD⊥AC于點D，∵B在A北偏東30°方向，∴∠BAE=60°，∴∠ABC=180°﹣60°=120°．∵AB=BC=2，∴∠BAD=∠BCD=30°，AD=CD，∴AD=AB?cos30°=2×=，∴AC=2AD=2（千米）．故答案為：2．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．13．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）拋物線y=﹣（x﹣3）2+4的對稱軸是x=3．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】直接利用頂點式的特殊性可求對稱軸．【解答】解：∵拋物線y=﹣（x﹣3）2+4是頂點式，∴頂點坐標為（3，4），對稱軸是x=3，故答案為：x=3．【點評】主要考查了求拋物線的對稱軸的方法，牢記二次函數(shù)的頂點式的形式是解答本題的關(guān)鍵，難度不大．14．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）不經(jīng)過第二象限的拋物線y=ax2+bx+c的開口方向向下．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合其圖象的位置直接回答即可．【解答】解：當二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象不經(jīng)過第二象限時可能是其圖象完全在x軸的下方或位于一、三、四象限，故不經(jīng)過第二象限的拋物線y=ax2+bx+c的開口方向向下，故答案為：下．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的方法是解決本題最好的方法．15．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）已知點A（x1，y1）、B（x2，y2）為函數(shù)y=﹣2（x﹣1）2+3的圖象上的兩點，若x1＞x2＞1，則y1＜y2．【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式確定出對稱軸為直線x=1，再根據(jù)二次函數(shù)圖象上的點，x＞1時，y隨x的增大而減小解答．【解答】解：∵y=﹣2（x﹣1）2+3，∴拋物線的開口向下，二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1，∵x1＞x2＞1，∴y1＜y2．故答案為：＜．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，主要利用了二次函數(shù)的增減性，求出對稱軸解析式是解題的關(guān)鍵．16．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）如圖，D為等邊△ABC邊BC上一點，∠ADE=60°，交AC于E，若BD=2，CD=3，則CE=．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【分析】如圖，證明AB=5，∠B=∠C=60°；證明△ABD∽△DCE，得到，求出CE即可解決問題．【解答】解：如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴AB=BC=2+3=5，∠B=∠C=60°；∵∠ADE=60°，∴∠BAD+∠ADB=∠ADB+∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，而∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE，∴，解得：CE=．故答案為．【點評】該題以等邊三角形為載體，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用等問題；牢固掌握定理是靈活運用、解題的關(guān)鍵．17．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD于M，且M是半徑OB的中點，CD=2，則直徑AB的長為4．【考點】垂徑定理；勾股定理．【分析】先根據(jù)垂徑定理求出CM的長，再根據(jù)M是半徑OB的中點得出OM=OC，再根據(jù)勾股定理即可得出OC的長，進而得出結(jié)論．【解答】解：∵⊙O的直徑AB垂直弦CD于M，∴CM=CD=．∵M是半徑OB的中點，∴OM=OC，∴CM2+OM2=OC2，即（）2+（）2=OC2，解得OC=2，∴AB=2OC=4．故答案為：4．【點評】本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．18．（4分）（2015?寶山區(qū)一模）如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD=2，AB=BC，AD=1，動點M、N分別在AB邊和BC的延長線運動，而且AM=CN，聯(lián)結(jié)AC交MN于E，MH⊥AC于H，則EH=．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；直角梯形．【分析】過點M作BC的平行線交AC于點F，由于AB=BC，MF∥BC，得到AM=FM，因為MH⊥AC，H是AF的中點，再證△MFE≌△NCE，得到FE=EC，所以E是FC的中點，所以EH=AC，即可解答．【解答】解：過點M作BC的平行線交AC于點F，∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA，∵MF∥BC，∴∠AFM=∠ACB，∴∠AFM=∠BAC，∴AM=FM，∵MH⊥AC，∴H是AF的中點，∵AM=CN，∴FM=CN，∵MF∥BC，∴∠FME=∠N，在△MFE和△NCE中，，∴△MFE≌△NCE，∴FE=EC，∴E是FC的中點，∴HE=HF+EF=AF+FC=（AF+FC）=AC，在Rt△ADC中，AC=，∴HE=．故答案為：．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線，過點M作BC的平行線交AC于點F，得到H是AF的中點，E是FC的中點．三、解答題（78分）19．（8分）（2015?寶山區(qū)一模）計算：+cot30°﹣．【考點】特殊角的三角函數(shù)值．【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案．【解答】解：原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=+2．【點評】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．20．（8分）（2015?寶山區(qū)一模）如圖，已知M、N分別是平行四邊形ABCD邊DC、BC的中點，射線AM和射線BC相交于E，設(shè)=，=，試用、表示，；（直接寫出結(jié)果）【考點】*平面向量．【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得==，==，又由M、N分別是平行四邊形ABCD邊DC、BC的中點，即可得==，==，然后由三角形法則求得與的值，再由△ECM∽△EBA，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．【解答】解：四邊形ABCD是平行四邊形，∴==，==，∵M、N分別是平行四邊形ABCD邊DC、BC的中點，∴==，==，∴=+=+，=+=+，∵AB∥CD，M是CD中點，∴△ECM∽△EBA，CM=CD=AB，∴EM：EA=CM：AB=1：2，∴=2=+2．【點評】本題考查了平面向量及平行四邊形的性質(zhì)，解答本題注意利用平行線分線段成比例的知識，難度一般．21．（8分）（2015?寶山區(qū)一模）已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（1，0）和點B（0，6），C（4，6），求這個拋物線的表達式以及該拋物線的頂點坐標．【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．【分析】把點A（1，0）和點B（0，6），C（4，6）代入y=ax2+bx+c，即可求出二次函數(shù)的解析式及它的圖象的頂點坐標．【解答】解：設(shè)拋物線的表達式為y=ax2+bx+c，把點A（1，0）和點B（0，6），C（4，6）代入得，解得，所以拋物線的表達式為y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，所以頂點的坐標為（2，﹣2）．【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．22．（8分）（2015?寶山區(qū)一模）如圖，D為等邊△ABC邊BC上一點，DE⊥AB于E，若BD：CD=2：1，DE=2，求AE．【考點】解直角三角形；等邊三角形的性質(zhì)．【分析】由等邊三角的性質(zhì)可得：AB=BC，∠B=60°，由DE⊥AB于E，可得：∠DEB=90°，∠BDE=30°，由直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可得：BD=2BE，然后由勾股定理可求BE和BD的值，再由BD：CD=2：1，可求CD的長，進而確定BC的長，由AB=BC即可求出AE的長．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠B=60°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB=90°，∴∠BDE=30°，∴BD=2BE，在Rt△BDE中，設(shè)BE=x，則BD=2x，∵DE=2，由勾股定理得：（2x）2﹣x2=（2）2，解得：x=2，所以BE=2，BD=4，∵BD：CD=2：1，∴CD=2，∴BC=BD+CD=6，∵AB=BC，∴AB=6，∵AE=AB﹣BE∴AE=6﹣2=4．【點評】此題考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是：利用直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，得到：BD=2BE．23．（10分）（2015?寶山區(qū)一模）如圖，P為⊙O的直徑MN上一點，過P作弦AC、BD使∠APM=∠BPM，求證：PA=PB．【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】證明題．【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)求出OE=OF，根據(jù)勾股定理求出AE=BF，PE=PF，即可得出答案；【解答】解：過O作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，連接OB、OA，∵∠APM=∠BPM，∴OE=OF，∴在Rt△AEO和Rt△BFO中，OF=OE，OA=OB，由勾股定理得：AE=BF，在Rt△PEO和Rt△PFO中，OF=OE，OP=OP，由勾股定理得：PE=PF，∴PA=PB．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)和作出輔助線構(gòu)建直角三角形是本題的關(guān)鍵．24．（10分）（2015?寶山區(qū)一模）如圖，正方形ABCD中，（1）E為邊BC的中點，AE的垂直平分線分別交AB、AE、CD于G、F、H，求；（2）E的位置改動為邊BC上一點，且=k，其他條件不變，求的值．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【分析】（1）如圖1，作輔助線；證明；證明BE=CE，AE=EK，F(xiàn)K=3AF；證明△AGF∽△KHF，得到．（2）如圖2，作輔助線；類比（1）中的解法、思路，即可完成（2）的解答．【解答】解：（1）如圖1，分別延長AE、DC交于點K；∵四邊形ABCD為正方形，∴AB∥CK，△ABE∽△KCE，∴；∵E為邊BC的中點，∴BE=CE，AE=EK；∵GH平分AE，∴EK=AE=2AF，F(xiàn)K=3AF；∵AG∥HK，∴△AGF∽△KHF，∴．（2）如圖2，分別延長AE、DC交于點K；∵四邊形ABCD為正方形，∴AB∥CK，△ABE∽△KCE，∴；∵=k，∴AE=kEK；∵GH平分AE，∴AF=EF=AE=kEK，F(xiàn)K=EK；∵AG∥HK，∴△AGF∽△KHF，∴．【點評】該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形，靈活運用正方形的性質(zhì)等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答．25．（12分）（2015?寶山區(qū)一模）（1）數(shù)學(xué)小組的單思稿同學(xué)認為形如的拋物線y=ax2+bx+c，系數(shù)a、b、c一旦確定，拋物線的形狀、大小、位置就不會變化，所以稱數(shù)a、b、c為拋物線y=ax2+bx+c的特征數(shù)，記作{a，b，c}；請求出與y軸交于點C（0，﹣3）的拋物線y=x2﹣2x+k在單同學(xué)眼中的特征數(shù)；（2）同數(shù)學(xué)小組的尤恪星同學(xué)喜歡將拋物線設(shè)成y=a（x+m）2+k的頂點式，因此堅持稱a、m、k為拋物線的特征數(shù)，記作{a，m，k}；請求出上述拋物線在尤同學(xué)眼中的特征數(shù)；（3）同一個問題在上述兩位同學(xué)眼中的特征數(shù)各不相同，為了讓兩人的研究保持一致，同組的董和諧將上述拋物線表述成：特征數(shù)為{u，v，w}的拋物線沿平行于某軸方向平移某單位后的圖象，即此時的特征數(shù){u，v，w}無論按單思稿同學(xué)還是按尤恪星同學(xué)的理解做出的結(jié)果是一樣的，請你根據(jù)數(shù)學(xué)推理將董和諧的表述完整地寫出來；（4）在直角坐標系xOy中，上述（1）中的拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左邊），請直接寫出△ABC的重心坐標．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】綜合題．【分析】（1）把C坐標代入拋物線解析式求出k的值，確定出拋物線解析式，即可得出拋物線在單同學(xué)眼中的特征數(shù)；（2）把拋物線解析式化為頂點形式，確定出拋物線在尤同學(xué)眼中的特征數(shù)即可；（3）把拋物線解析式化為頂點形式，要使單思稿同學(xué)和尤恪星同學(xué)的理解做出的結(jié)果是一樣的，必須滿足，得到b=0，即可得出董和諧的表述；（4）找出AB的中點，求出AB邊中線方程，同理求出AC邊中線方程，聯(lián)立求出重心坐標即可．【解答】解：（1）把C（0，﹣3）代入拋物線解析式得：k=﹣3，∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3，則該拋物線在單同學(xué)眼中的特征數(shù)為{1，﹣2，﹣3}；（2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴上述拋物線在尤同學(xué)眼中的特征數(shù)為{1，﹣1，﹣4}；（3）y=ax2+bx+c=a（x+）2+c﹣，要使單思稿同學(xué)和尤恪星同學(xué)的理解做出的結(jié)果是一樣的，必須滿足，即b=0，∵y=（x﹣1）2﹣4可以看做y=x2﹣4沿平行于x軸方向向右平移1個單位而成，∴董和諧的表述為：特征數(shù){1，0，﹣4}的拋物線沿平行于x軸方向向右平移1個單位的圖象；（4）對于拋物線解析式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3，令y=0，得到x2﹣2x﹣3=0，即（x﹣3）（x+1）=0，解得：x=3或x=﹣1，即A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∴線段AB中點坐標為（1，0），AB邊的中線方程為y=（x﹣1）=3（x﹣1）=3x﹣3；∵AC邊中點坐標為（﹣，﹣），AC邊的中線方程為y=（x﹣3）=（x﹣3）=x﹣，聯(lián)立得：，解得：，則△ABC的重心坐標為（，﹣1）．【點評】此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段中點坐標公式，直線的點斜式方程，以及新定義，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．26．（14分）（2015?浙江模擬）如圖，在△ABC中，AB=BC=10