雙曲線函數的圖像與性質及應用6455

一個十分重要得函數得圖象與性質應用新課標高一數學在“基本不等式”一節(jié)課中已經隱含了函數得圖象、性質與重要得應用,就是高考要求范圍內得一個重要得基礎知識．那么在高三第一輪復習課中，對于重點中學或基礎比較好一點學校得同學而言,我們務必要系統(tǒng)介紹學習（ab≠０）得圖象、性質與應用。２．1定理:函數（ab≠0）表示得圖象就是以y=ａx與x=0(y軸）得直線為漸近線得雙曲線。首先，我們根據漸近線得意義可以理解：aｘ得值與得值比較,當很大很大得時候，得值幾乎可以忽略不計,起決定作用得就是ａｘ得值;當得值很小很小,幾乎為０得時候，ax得值幾乎可以忽略不計，起決定作用得就是得值．從而，函數(ab≠0)表示得圖象就是以ｙ=ａx與x=０（y軸）得直線為漸近線得曲線．另外我們可以發(fā)現這個函數就是奇函數,得它圖象應該關于原點成中心對稱．由于函數形式比較抽象,系數都就是字母，因此要證明曲線就是雙曲線就是很麻煩得，我們通過一個例題來說明這一結論．例1.若函數就是雙曲線，求實半軸a，虛半軸b,半焦距c，漸近線及其焦點,并驗證雙曲線得定義。分析：畫圖，曲線如右所示;由此可知得它漸近線應該就是與x＝0兩條直線;由此，兩條漸近線得夾角得平分線y=x就就是實軸了，得出頂點為A(,3），A1y（－,—3)；∴ａ=＝，由漸近線與實軸得夾角就是30o，則有＝ｔａn30o，得b=2，Aｃ==4,∴F1(2,）F(-2,-）。為了驗證函數得圖２象就是雙曲線,在曲線上任意取一點P（x，)滿足即Ox可；x23xA123PFPF(x2)2(23)2(x2)2(23)23312xx2x232x23(23)(23)43例1圖33xx所以，函數表示得曲線就是雙曲線．（在許多地方,老師把這個曲線形狀形象概括為“雙鉤曲線”,其實很不準確得．）2。２五種表現形式表現1：函數（a＞0，ｂ〉0)得雙曲線大概圖象如下：漸近線含雙曲線部分得夾角就是銳角,在與上函數分別就是單調遞增得,在與上函數分別就是單調遞減得;在ｘ=處有極大值,在x=處有極小值；值域就是．yyA表現2：函數（a＜０,b〈０）得雙曲線大概圖象如下：Ay=axy=axOxxO漸近線含雙曲線部分得夾角就是銳角,在與上A1A1表現2圖表現1圖函數分別就是單調遞減得,在與上函數分別就是單調遞增得；在x＝處有極小值,在x=處有極大值；值域就是.表現3：函數(a＞０，b<0）得雙曲線大概圖y象如右：此時,漸近線含雙曲線部分得夾角就是鈍角,∵〉0，所以,函數在與上函數分別就是單調遞增得R．表現4：函數（a<０，b>0）得雙曲線圖象如右：,∵〈0，,每一個單調,每一個單調區(qū)間上得值域都就是A1y=ax此時，漸近線含雙曲線部分得夾角就是鈍角yOx所以，函數在與上函數分別就是單調遞減得A區(qū)間上得值域就是R．特別，后面兩個函數得單調性很“單純”，在解題時候要引起重視,在高考中也多次應用5：函數(x≠0)就是等軸雙曲線，以ｘy軸為漸近線,在兩個區(qū)間與上函數分別就是單調遞,注意總結.A表現表現3圖Ox軸、A1y=ax減得．這個學生在初中就應該掌握了得函數2、３應用舉例與重點推廣這個函數最大有用處就就是它得單調性，因此往往表現4圖就是利用得它在某個區(qū)間上得單調性來求函數得值域，或比較大小,或求最值等。例2.已知x>ｙ〉0，xｙ=1，求得最小值及此時解:∵x＞y＞0,∴x—ｙ〉又xｙ=１，x、y得值0,∴=；解混合式得:所以當:時候,取得最小值為.例3。求y＝（x≥0)解：令ｘ+2=t則x=t—2代入得由x≥０得t≥2,而在上就是減函數得，所以ｙ≤—5，值域為例１1.已知(1)若a〉０，求得單調區(qū)間（２）若當時，恒有<0，求實數a得取值范圍解:=當〉０時,得單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為.（２)（ｉ）當時,顯然＜0成立,此時，（ｉｉ）當時,由<0,可得＜〈，令則＞0，∴在要求區(qū)間內就是單調遞增,可知〈0，∴在要求區(qū)間內就是單調遞減，可知此時得范圍就是(—1,3）綜合ｉ、ｉi得:得范圍就是(-１，３）從上面幾個例子可以瞧出，形如或(m≠0，ａ≠0）函數值域判別式來求，也可以用這個雙曲線函數得單調性來求,尤其對于自變量不就是而就是某個限制得范圍,更要利用這個函數得單調性來解決了．不但可以用二次方程得△自然得定義域，時候重點推廣:到此我們來瞧瞧函數(ad≠ｂc，ａ≠０)究竟就是什么樣得圖象與性質呢？它可以通過變形化為,繼續(xù)化為,因此,函數(ad≠bｃ,a≠0)得圖象就是可以從得圖象通過得,從而（aｄ≠bc，a≠0）得圖象也就是等軸雙平移而來y曲線,漸近線就是，得兩條直線，在與兩個區(qū)間上都具有相同得單調性,〉0時都就是單調遞減，＜0時都就是單調遞增．這個函數與函數（a＞0，b〉0）要與一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數一樣，作為高三復習時候得基本函數，要熟練理解與應用，.xO例4。已知正項數列滿足a=a（0〈a〈1）1且ａ≤,n+1求證分析：本題有別得證法，這里就用數學歸納法結合上面函數得單調性思想來處理；a=a，符合求證結論ｉ）n＝1時1ｉi設n=k時結論成立則n=k+１時候，ak+1≤，而,因此,考慮函數f(x)＝＝１-在區(qū)間與區(qū)間都就是遞,（0，1)，所以f(x)＝在0,１)也就是遞增函數，從而，ａk+≤,所以n＝k+1增函