第13立體幾何初步復(fù)習(xí)提升課

1 下列說法正確的是( 【解析】棱柱的結(jié)構(gòu)特征是：有兩個平面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，這些面所圍成的幾何體叫作棱柱，故A錯誤；四棱錐的四個側(cè)面都可以是直角三角形，B正確，如圖所示：PA⊥底面棱的延長線不相交于一點，則不是棱臺，C錯誤；由于棱臺是用平行于底面的平面截棱錐得到的，所以棱臺的各側(cè)棱延長后一定交于一點，D錯誤．故選B．【答案】如圖所示的組合體，其結(jié)構(gòu)特征是 2 分別在BC，CD上，且BG∶求證：(1)E，F(xiàn)，G，H【證明】(1)因為BG∶所以EF∥BD，所以EF∥GH，所以EF≠GH.EGFH不平行，EG?平面ABC

所以M∈AC.又因為E∈α，H∈α，所以α∩β＝EH.Gαβ3 【解 (1)證明：由已知得

MS＝RE，所以RS∥ME.在△DEC中，ED＝EC，MCD的中點，所以EM⊥DC.BC⊥平面CDE.所以EM⊥BC.因為BC∩CD＝C，因為EM∥RS，PABCD中，PAMAB的中點PA⊥CM，PA∩AB＝A，PA，AB?PAB，所以CM⊥平面PAB．所以 14 如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝23【解 (1)在四棱錐PABCD中，因為底面ABCD是矩形，所以AD＝BC角．又因為AD⊥PD，在Rt△PDA中，tan PDPE⊥ABCD.由此得∠PBEPBABCD所成的角．在△PDC中，PD＝CD＝2，PC＝23，可得Rt△PEC中，PE＝PCsin30°＝3.Rt△PCB中 PC2＋BC2＝13Rt△PEB中sin PE＝39 .PBABCD所成角的正弦值為.線面角：求斜線與平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，即確定過PABCDABCDPC所以BPC由平面幾何知識，可求得 1PC＝2，PD＝BD＝5，所以DE＝3PC5 如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°ABCDCl⊥CBl為軸旋轉(zhuǎn)一周．求旋轉(zhuǎn)【解】lABCD旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體如圖所示，ABCD中，∠ABCCD＝cos60°＝2a，AB＝CDsin60°＝3所以所以 1由上述計算知，3a，2a；圓錐的母線長為2a，底面半徑為a.S1＝2π·2a·3a＝43圓柱的底面積S3＝π(2a)2＝4πa2，圓錐的底面積S4＝πa2，S5＝S3－S4＝3πa2，S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(43＋9)πa2.又由題意知形成的幾何體的體積為一個圓柱的體積減去一個圓錐的體積且V＝π·(2a)2·3a＝43

＝·π·a2·3

3 V＝V柱－V錐＝433 11 ＝ πa理．(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用．是1603

則每個截去的四面體的體積為3×2×2×2×2＝48 160 由題意可得8×48 ＝a，解得 40

＝1 于②，相等的線段在直觀圖中不一定相等x軸的線段，長度不變1y軸的線段，變?yōu)樵瓉淼?，所以②③，中不一定相等，如直角坐標(biāo)系內(nèi)兩個相鄰的直角在斜二測畫法內(nèi)是45°和135°，所以③錯誤；對于④，正方形在直觀圖中不是正方形，是平行四邊形，所以④錯誤；綜上，正確題序號是①，共1個.故選A．β 解析：DA錯誤，同時和一個平面平行的兩直線不一定平行，可能相選項B錯誤，兩平面平行，兩平面內(nèi)的直線不一定平行，C錯誤，一個平面內(nèi)垂直于兩平面交線的直線，不一定和另一平面垂直，選項D正確，m⊥α，m∥nn⊥α，n?β，β⊥α，α⊥β.故選SABC中，ESCAC＝23AB＝BC＝2，則異面直線AC與BE所成的角為 BE所成的角因為AC＝23，SA＝SB＝AB＝BC＝SC＝2，所以BE＝EF＝BF＝3，故選已知圓柱的高為1，它的外接球的直徑為2，則該圓柱的表面積為 3 3．

? D．(3＋3 1 解析：選C．設(shè)圓柱的底面圓半徑為r，則r＋2＝1，所以r＝

＝2＋3π.故選①AE⊥D1F；②EF∥B1D；③AE⊥平面A1D1F.其中正確的是( GA1D1F為平行四邊形，D1F∥A1G，AA1B1B中，Rt△A1AG≌Rt△ABE，則∠AA1G＝∠BAE，可得∠BAE＋∠A1GA＝90°，即A1G⊥AE，則EFB1D是異面直線，故②ABCDA1B1C1D1中，A1D1題的序號是①③.故選C．ABC＝BC，AC＝2，AA1＝2

解：(1)證明：AB1A1BO，OM.如圖所示．在△B1AC中，M，OAC，AB1的中點，所以O(shè)M∥B1C.所以BM⊥AC.又AA1∩AC＝A.所以AM＝1.AA1＝2.tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝2所以所以A1M⊥AC1.

＝

NBB1的中點

＝2所以BM∥DN. 基礎(chǔ)達標(biāo)由()解析：選D．旋轉(zhuǎn)體如圖，中間是一個圓柱，兩端是相同的圓錐構(gòu)成，故選的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是 1＋A．2＋ B．2＋C． D．1＋解析：選A．如圖，恢復(fù)后的原圖形為一直角梯形所以 1(1＋2＋1)×2＝2＋2.故選 1 D． S ＝πr×2r＝2πr，S

＝2πr2＝2.故選國古代數(shù)學(xué)名《九章算術(shù)中記載的“芻甍”(chumeng)是指底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體．如圖，五面體ABCDEF是一個芻甍，其中△BCF是 解析：選BAB∥CD，CDCDEF內(nèi)，ABCDEF內(nèi)，ABFE∩CDEF＝EF，AB∥EF，故①對；如圖，CDG，連接BG，F(xiàn)G，由AB＝CD＝2EF，DE∥GF，且DE＝GF，不妨設(shè)EF＝1，則BG＝2BC＝2EF＝2，在等腰直角三角形A′BC中，A′B＝BC＝1，M為A′C的中點，沿BM把它折成二面角，折后A與C的距離為1，則二面角BMA的大小為( 解析：選C．如圖所示，A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°，A′C＝2M2A′C的中點，MC＝AM2

2，CM⊥BM，AM⊥BM.所以∠CMA2BM2

2，所以如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長均相等，D為A1C1的中點，則直線AD與平面B1DC所成角的正弦值為 ,得AD＝5＝CD，由等面積法算得 45，所以直線AD與＝ ＝DCB1的正弦值為AG＝45故答案為45

54cm23cm的鐵下降cm.解析假設(shè)鐵球剛好完全浸入水中球的體積 4×π×(23)3＝3234水面高度為43，此時正六棱柱容器中水的體積為V14323π＝(288－323

3×42×6×43288－32 24 ＝(4面下降43－(4 4π)＝ 4 (3π)(cm).故答案為

4π)(cm)，3答案：43已知直二面角lβ，A∈α，AC⊥l，C為垂足，B∈β，BD⊥l，DAB＝2，AC＝BD＝1，則D到平面ABC的距離 解析：如圖，DE⊥BCE，lβ為直二面角，AC⊥l，AC⊥β，進而面積法得DE BDDC 1×2 ＝ ＝ 答案：3(2)E為△PBC的垂心時，求證：△ABCABC，PA⊥AB.PA∩PC＝P，AB⊥PAC.過A，D，N的平面交PC于點M.AD?平面PBC，NPB的中點 1＝EAD的中點 ＝2AD＝2DE＝MN.形．所以EN∥DM.所以BE⊥AD.由(2)所以AN⊥PB. 能力提升①α⊥β?l∥m；②α∥β 解析：選D．由圖可知，命題①α∩β＝m，由圖可知，命題③不正確；確．故選D．如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯誤的 面ACD，QM∥平面BDA，PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QMAC⊥BD，APQ∥AC所成的角，即為45°，故D正確；綜上C是錯誤的．故選C．C1D1，CC1的中點，則下列說法正確的是( A．A，M，N，B四點共面由題意可得△BEN為等邊三角形，則∠EBN＝60°，C正確；對于D，ABCDA1B1C1D1中，ADCDD1C1，AD?三棱錐體積為．P構(gòu)成的幾何體，PABCABC內(nèi)接于半球底面的大圓，頂點P在半球面上，1AO＝PO＝R＝2，AD＝3，AB＝BC＝23S△ABC＝2×23×3＝33

SABC

33×2＝23答案：2