江西省南昌市等5地2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

江西省高一期末聯(lián)考數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3．考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4．本卷命題范圍：北師大版必修第二冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則，再結(jié)合虛部的概念即可得到答案．【詳解】由，則，所以的虛部為．故選：A．2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩角差的余弦公式求解即可【詳解】．故選：C．3.如圖，在正六邊形中，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)與平面向量加法運(yùn)算法則即可得答案.【詳解】連接，，交于點(diǎn)，由正六邊形的性質(zhì)可知，六個小三角形均為全等的正三角形，所以且，，故選：C4.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：由，得，故選：B．5.設(shè)l，m是不同的直線，，是不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】B【解析】【分析】對于A，C與D，可通過舉反例的方式說明其錯誤性，B選項(xiàng)可以直接證明其正確性.【詳解】對于A，若，，，此時與可能相交，如下圖所示：對于C與D，若，，，則與均可能發(fā)生，如下圖所示：對于B，若，，則，又因?yàn)?，?故選：B.6.將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，然后將所得圖像向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)伸縮得出解析式，再結(jié)合平移得出函數(shù)的解析式即可.

【詳解】由題意將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的得，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍得,

將所得圖像向右平移個單位長度，即．故選:A．7.位于某港口A小艇要將一件重要物品送到一艘正在航行的海輪上.在小艇出發(fā)時，海輪位于港口A北偏東30°且與該港口相距30海里的B處，并正以20海里/時的速度沿正西方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與海輪相遇.若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇的航行速度（單位：海里/時）應(yīng)為（）A. B.20 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用垂線段最短，結(jié)合三角函數(shù)值求出最小距離，即可求出答案.【詳解】如圖所示，，，，當(dāng)時，即小艇往正北方向航行時航行的距離最小，最小值為海里，從而海輪航行的距離為海里，故航行時間為小時，所以小艇的航行速度海里/時.故選：D.8.如圖，已知正四棱錐的所有棱長均為4，平面經(jīng)過，則平面截正四棱錐的外接球所得截面圓的面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接、交于，連接，求出，，可得點(diǎn)即為正四棱錐外接球球心，取中點(diǎn)，連接，當(dāng)時，截面圓的面積最小，線段也即此時截面圓的直徑，求出截面圓的面積即可．【詳解】連接，交于，連接，則底面且是中點(diǎn)，，，所以到，，，，的距離均為，點(diǎn)即為正四棱錐的外接球球心，取中點(diǎn)，連接，分析可知，當(dāng)時，截面圓的面積最小，線段也即此時截面圓的直徑，所以截面圓的面積的最小值為．故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列各式中值為1是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】利用三角函數(shù)恒等變換公式逐個計(jì)算判斷即可【詳解】對于A，，所以A錯誤；對于B，，所以B錯誤；對于C，，所以C正確；對于D，，所以D正確．故選：CD．10.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則下列說法正確的是（）A.若，則在第二象限B.若為純虛數(shù)，則在虛軸上C.若，則點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形的面積為D.若，且，則為實(shí)數(shù)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)的周期性、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算等知識直接判斷各個選項(xiàng).【詳解】對于A，因?yàn)椋?，所以在坐?biāo)軸上，故A錯誤；對于B，若為純虛數(shù)，則在虛軸上，故B正確；對于C，若，則點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形是半徑為3的圓及其內(nèi)部，面積為，故C錯誤；對于D，，則為實(shí)數(shù)，故D正確．故選：BD11.已知向量，，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.存在，使得C. D.當(dāng)時，在上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)公式即可判斷A；根據(jù)平面線路垂直的坐標(biāo)表示即可判斷B；根據(jù)向量的模的坐標(biāo)計(jì)算即可判斷C；根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可判斷D.【詳解】對于A，若，則，解得，故A錯誤；對于B，若，則，即，方程無解，所以不存在，使得，故B錯誤；對于C，，所以，故C正確；對于D，當(dāng)時，，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為，故D正確.故選：CD.12.如圖，將一副三角板拼成平面四邊形，將等腰直角△ABC沿BC向上翻折，得三棱錐．設(shè)CD＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱BC，BD的中點(diǎn)，M為線段AE上的動點(diǎn)．下列說法正確的是（）A.存在某個位置，使B.存在某個位置，使C.當(dāng)三棱錐體積取得最大值時，AD與平面ABC成角的正切值為D.當(dāng)AB＝AD時，CM+FM的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】利用面面垂直的性質(zhì)定理即可判斷A；先假設(shè)存在，利用線面垂直的判定定理可得平面ABD，可得，即△ACD是以CD為斜邊的直角三角形，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，互相矛盾，即可判斷B；由三棱錐體積取得最大值時知面面垂直，得出線面垂直，即可求出線面角，即可判斷C；由側(cè)面展開圖及余弦定理可判斷D【詳解】解：對于A：存在平面平面，使得，證明如下：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，則平面，因?yàn)槠矫?，所以，故存在平面平面，使，故A正確，對于B：若，又平面，則平面ABD，因?yàn)槠矫鍭BD，則，則是以CD為斜邊的直角三角形，因?yàn)?，所以，，又由題意知，故不存在某個位置，使，故B錯誤；對于C：當(dāng)三棱錐體積取得最大值時，平面平面BCD，即AE是三棱錐的高，又，平面平面BCD＝BC，平面BCD，所以平面ABC，所以∠DAC是直線AD與平面ABC所成的角，所以，故C正確；對于D：當(dāng)時,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，則，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以，所以，如圖將沿旋轉(zhuǎn)，得到，使其與在同一平面內(nèi)且在內(nèi)，則當(dāng)三點(diǎn)共線時，最小，即的最小值為，在中，，則，所以在中，由余弦定理得，所以的最小值為，故D正確，故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.兩條異面直線所成的角為，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)異面直線的定義求出的取值范圍，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)得到的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)閮蓷l異面直線所成的角為，所以，所以.故答案為：14.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的值為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化，計(jì)算求值.【詳解】根據(jù)正弦定理可知，，所以，而，所以.故答案為：15.如圖所示的斜截圓柱是用一個平面從圓柱上截取而來，其側(cè)面可看成圓柱側(cè)面的一部分，已知圓柱底面的半徑為，母線長最短，最長，則該斜截圓柱的側(cè)面積為______．【答案】【解析】【分析】將兩個相同的斜截圓柱拼截在一起構(gòu)成一個圓柱求解.【詳解】將相同的兩個幾何體，對接為圓柱，則所求幾何體的側(cè)面積是新圓柱側(cè)面積的一半，則所求側(cè)面積為，故答案為：.16.函數(shù)的一個單調(diào)減區(qū)間為__________．（答案不唯一）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合正切兩角差公式、正切型函數(shù)的和符合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，要使函?shù)有意義，則有，所以，解得：，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，由?fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù)的一個單調(diào)減區(qū)間為

故函數(shù)的一個單調(diào)減區(qū)間為.故答案為：（答案不唯一）.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，夾角為，且，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）由向量數(shù)量積的運(yùn)算律及定義計(jì)算；（2）把模平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積計(jì)算．【小問1詳解】因?yàn)橄蛄?，的夾角為，且，，所以．所以．【小問2詳解】．18.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，交于點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）設(shè)是棱上一點(diǎn)，過作，垂足為，若平面平面，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理證得結(jié)果；（2）由面面平行的性質(zhì)定理得及平行線對應(yīng)線段成比例得出結(jié)果.【小問1詳解】證明：因?yàn)榈酌妫矫?，故，又，，，平面，故平面又平面，故平面平面．【小?詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，因?yàn)?，且，所以在中，由，，得，即?9.已知角，，角和的終邊分別與單位圓交于，兩點(diǎn)．（1）若，求的值；（2）若，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的值．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）由，得，再結(jié)合的范圍可得，然后代入式子利用誘導(dǎo)公式化簡即可；（2）對化簡可得，由點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，結(jié)合任意角的三角函靈敏的定義可求出的值，再利用兩角和與差的正余弦公式可求出，從而可求出的值．【小問1詳解】由，得，又，，所以，所以，【小問2詳解】由，得，，又，所以，則因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，，所以20.在銳角△中，角的對邊分別為，且．（1）求角的大??；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理以及兩角和的正弦公式求解；（2）利用正弦定理將邊化角，用三角函數(shù)求取值范圍.【小問1詳解】，由余弦定理可得，整理得，∴,∵，∴，∴，∴．【小問2詳解】由正弦定理可知△的外接圓半徑為，∴，∴，∴．∵△為銳角三角形，∴即∴,∴，∴，∴,即的取值范圍為．21.已知函數(shù)，且．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點(diǎn)，求的取值范圍和的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱得出，即得函數(shù)解析式;（2）在區(qū)間上恰有3個零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與在的圖像上恰有3個交點(diǎn)求參數(shù)即可，再數(shù)形結(jié)合根據(jù)函數(shù)的對稱軸即可計(jì)算求值【小問1詳解】．由知，的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，得．因?yàn)椋?，即函?shù)．【小問2詳解】，當(dāng)時，．函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點(diǎn)，令，則在上有3個不相等的根．即與在的圖像上恰有3個交點(diǎn)，作出與的圖像，如圖所示，由圖可知，，且，所以．故取值范圍為的值為．22.如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，為上的動點(diǎn)，在上，且滿足.現(xiàn)延長至點(diǎn)，使得.（1）若二面角的平面角為，求的長；（2）若三棱錐的體積為，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）利用二面角平面角的定義及等邊三角形和等腰三角形性質(zhì)作出平面角，在直角三角形中求解長度即可；（2）利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，根據(jù)線面角的定義即可求解正弦值.【小問1詳解】據(jù)題意延長至點(diǎn)，使得，連接，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以，由得，所以為等邊三角形，