第三章 矩陣運(yùn)算

第三章數(shù)值數(shù)組及其運(yùn)算

（矩陣運(yùn)算基礎(chǔ)）數(shù)值數(shù)組（NumericArray)和數(shù)組運(yùn)算（ArrayOperations)是MATLAB的核心內(nèi)容。1、掌握矩陣、數(shù)組的創(chuàng)建方法和它們的算術(shù)、關(guān)系及邏輯運(yùn)算2、掌握矩陣的特殊操作第一節(jié)數(shù)組與矩陣的創(chuàng)建第二節(jié)數(shù)組運(yùn)算和矩陣運(yùn)算第三節(jié)關(guān)系操作和邏輯操作引導(dǎo)數(shù)組：是指由一組實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)排成的長(zhǎng)方陣列（Array）。數(shù)組運(yùn)算：是指無(wú)論在數(shù)組上施加什么運(yùn)算（+、-、×、÷或函數(shù)），總認(rèn)為那種運(yùn)算對(duì)被運(yùn)算數(shù)組中的每個(gè)元素（Element）平等地實(shí)施同樣的操作。MATLAB精心設(shè)計(jì)數(shù)組和數(shù)組運(yùn)算的目的在于：使計(jì)算程序簡(jiǎn)單、易讀，使程序指令更接近于數(shù)學(xué)計(jì)算公式；提高程序的向量化程度，提高計(jì)算效率，節(jié)省計(jì)算機(jī)開銷。例：x=[0:0.1:1]y=x.*exp(-x)plot(x,y)圖解數(shù)組、矩陣的基本運(yùn)算MATLAB語(yǔ)言最基本的特點(diǎn)在于矩陣運(yùn)算，絕大多數(shù)的變量和數(shù)據(jù)都可看成為矩陣變量和矩陣數(shù)據(jù)。應(yīng)用MATLAB語(yǔ)言編程時(shí)，尤其要注意矩陣的階數(shù)和向量的維數(shù)問(wèn)題。標(biāo)量可看作1×1階的矩陣。第一節(jié)數(shù)組與矩陣的創(chuàng)建一維數(shù)組的創(chuàng)建二維數(shù)組的創(chuàng)建多（高）維數(shù)組的創(chuàng)建一維數(shù)組的創(chuàng)建（1）逐個(gè)元素輸入法

x=[2pi/2sqrt(3)3+5i]

（2）冒號(hào)生成法通過(guò)“步長(zhǎng)”設(shè)定，生成一維“行”數(shù)組的方法。通用格式：x=a:inc:b例：x=1:0.1:2；x=2:-0.1:1（3）定數(shù)線性采樣法

在設(shè)定的“總點(diǎn)數(shù)”下，均勻采樣生成一維“行”數(shù)組。通用格式：x=linspace(a,b,n)[說(shuō)明]該指令生成（1×n）數(shù)組，其作用與x=a:(b-a)/(n-1):b同例：

z=linspace(1,2,11)z=1.00001.10001.20001.30001.40001.50001.60001.70001.80001.90002.0000（4）Matlab函數(shù)生成法例如：rand(m,n)產(chǎn)生m×n的隨機(jī)數(shù)組ones(m,n)產(chǎn)生m×n的全1數(shù)組y=ones(1,4)c=rand(1,5)生成“列”向量z=linspace(1,2,11)’行向量的轉(zhuǎn)置x=(1:0.1:2)'一維數(shù)組的子數(shù)組尋訪和賦值例1：子數(shù)組的尋訪（Address）。

例2：子數(shù)組的賦值（Assign）。x=(1:0.1:2)x(2)x(2)=4x=1.00001.10001.20001.30001.40001.50001.60001.70001.80001.90002.0000ans=1.1000x=1.00004.00001.20001.30001.40001.50001.60001.70001.80001.90002.0000

二維數(shù)組的創(chuàng)建二維數(shù)組：是由實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)排列成矩形而構(gòu)成的。從數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上看，矩陣和二維數(shù)組沒(méi)有什么區(qū)別。在MATALB中一維數(shù)組稱為矢量，二維數(shù)組或多維數(shù)組稱為矩陣。直接輸入法

利用M文件創(chuàng)建和保存數(shù)組

直接輸入法對(duì)于較小數(shù)組，從鍵盤上直接輸入最方便。二維數(shù)組必須有以下三個(gè)要素：整個(gè)輸入數(shù)組必須以方括號(hào)“[]”為其首尾；數(shù)組的行與行之間必須用分號(hào)“；”或回車鍵【Enter】隔離；數(shù)組元素必須由逗號(hào)“，”或空格分隔。實(shí)例:

A=[123;456]

利用M文件創(chuàng)建和保存數(shù)組對(duì)于今后經(jīng)常需要調(diào)用的數(shù)組，尤其是比較大而復(fù)雜的數(shù)組，為它專門建立一個(gè)M文件是值得的。M文件的創(chuàng)建過(guò)程實(shí)例利用數(shù)組編輯器、Matlab函數(shù)創(chuàng)建數(shù)組（書P100，表3.2-1）w=zeros(2,3)

w=

000

000eye(2,2)

ans=

10

01diag([2,2,2,2,2],0)ans=2000002000002000002000002二維數(shù)組元素的標(biāo)識(shí)（編號(hào)）

“全下標(biāo)”標(biāo)識(shí)

“單下標(biāo)”標(biāo)識(shí)“邏輯1”標(biāo)識(shí)

“全下標(biāo)”標(biāo)識(shí)“全下標(biāo)”標(biāo)識(shí)法：即指出是“第幾行，第幾列”的元素。優(yōu)點(diǎn)：幾何概念清楚，引述簡(jiǎn)單。對(duì)于二維數(shù)組來(lái)說(shuō)，“全下標(biāo)”標(biāo)識(shí)由兩個(gè)下標(biāo)組成：行下標(biāo)，列下標(biāo)。例:矩陣A=[12345 678910 1112131415] 則A(2，3)=8,A(3，2)=12 A(3，5)=15,A(1，5)=5“單下標(biāo)”標(biāo)識(shí)“單下標(biāo)(LinearIndex)”標(biāo)識(shí)：就是“只用一個(gè)下標(biāo)來(lái)指明元素在數(shù)組中的位置”?！耙痪S編號(hào)”：先設(shè)想把二維數(shù)組的所有列，按先左后右的次序、首尾相接排成“一維長(zhǎng)列”；然后，自上往下對(duì)元素位置進(jìn)行編號(hào)。例:矩陣A=[12345 678910 1112131415] 則A(2)=6,A(5)=7

,A(8)=8,A(12)=14“單下標(biāo)”與“全下標(biāo)”的轉(zhuǎn)換關(guān)系：以(m×n)的二維數(shù)組A為例，若“全下標(biāo)”元素位置是“第r行，第c列”，那么相應(yīng)的“單下標(biāo)”為l=(c-1)×m+r。MATLAB有兩個(gè)指令可實(shí)現(xiàn)以上表示方法間的轉(zhuǎn)換：Sub2ind據(jù)全下標(biāo)換算出單下標(biāo)。Ind2sub據(jù)單下標(biāo)換算出全下標(biāo)。Sub2ind([3,5],2,3)ans=8[a,b]=Ind2sub([3,5],8)a=2b=3“邏輯1”標(biāo)識(shí)所謂“邏輯1”標(biāo)識(shí)法是：通過(guò)與原數(shù)組A同樣大小的邏輯數(shù)組L中“邏輯值1”所在的位置，指出A中元素的位置。L的元素或是0或是1，它是“邏輯數(shù)組(LogicalArray)”。是一種特殊的數(shù)據(jù)類型。例二維數(shù)組的子數(shù)組尋訪和賦值

子數(shù)組尋訪和賦值格式匯總表不同賦值方式示例子數(shù)組尋訪和賦值格式匯總表

多（高）維數(shù)組的定義數(shù)組的第一維稱為“行（Row）”，第二維稱為“列（Column）”，第三維稱為“頁(yè)（Page）”，第四維稱為“箱（Box）”，……多（高）維數(shù)組的創(chuàng)建創(chuàng)建多維數(shù)組最常用的四種方法：直接通過(guò)全下標(biāo)元素賦值方式創(chuàng)建多維數(shù)組；由若干同樣大小的低維數(shù)組組合成多維數(shù)組；

【A；B】要求A，B兩個(gè)矩陣的列數(shù)相同【A，B】要求A，B兩個(gè)矩陣的行數(shù)相同由函數(shù)ones,zeros,rand,randn直接創(chuàng)建標(biāo)準(zhǔn)多維數(shù)組；借助cat,repmat等函數(shù)構(gòu)作多維數(shù)組。cat[2,A,B]≡【A，B】

cat[1,A,B]≡【A；B】repmat(d,10,10)將矩陣d行、列重復(fù)10次多維數(shù)組的標(biāo)識(shí)數(shù)組的維數(shù)（Dimension）和ndims指令指令ndims(A)可直接給出數(shù)組A的維數(shù)。數(shù)組的大小（Size）和size指令不管A數(shù)組的維數(shù)是多少，size(A)可給出A各維的大小，而指令length(A)可給出所有維中的最大長(zhǎng)度。即length(A)等價(jià)于max(size(A))。第二節(jié)數(shù)組運(yùn)算和矩陣運(yùn)算數(shù)組運(yùn)算：是指無(wú)論在數(shù)組上施加什么運(yùn)算（+、-、×、÷或函數(shù)），總認(rèn)為那種運(yùn)算對(duì)被運(yùn)算數(shù)組中的每個(gè)元素（Element）平等地實(shí)施同樣的操作。

對(duì)于(m×n)數(shù)組X=[xij]m×n，函數(shù)f(·)的數(shù)組運(yùn)算規(guī)則為： f(X)=[f(xij)]m×n當(dāng)兩個(gè)數(shù)組具有相同階數(shù)時(shí)，進(jìn)行加、減、乘、除的點(diǎn)運(yùn)算，其運(yùn)算是按元素對(duì)元素方式進(jìn)行的。常用數(shù)學(xué)函數(shù)矩陣運(yùn)算矩陣轉(zhuǎn)置：轉(zhuǎn)置符：’矩陣的乘法矩陣的相除左除，符號(hào)為/右除，符號(hào)為\矩陣的乘方當(dāng)矩陣為方陣時(shí)，可進(jìn)行指數(shù)乘法運(yùn)算。數(shù)組運(yùn)算和矩陣運(yùn)算的區(qū)別從外觀形狀和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上看，二維數(shù)組和（數(shù)學(xué)中的）矩陣沒(méi)有區(qū)別。但是，矩陣作為一種變換或映射算子的體現(xiàn)，矩陣運(yùn)算有著明確而嚴(yán)格的數(shù)學(xué)規(guī)則；數(shù)組運(yùn)算是MATLAB軟件所定義的規(guī)則，其目的是為了數(shù)據(jù)管理方便、操作簡(jiǎn)單、指令形式自然和執(zhí)行計(jì)算的有效。雖然數(shù)組運(yùn)算尚缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理，數(shù)組運(yùn)算本身仍在完善和成熟中，但它的作用和影響正隨著MATLAB的發(fā)展而擴(kuò)大。數(shù)組運(yùn)算和矩陣運(yùn)算指令對(duì)照匯總（一）數(shù)組運(yùn)算和矩陣運(yùn)算指令對(duì)照匯總（二）復(fù)數(shù)數(shù)組復(fù)數(shù)數(shù)組中的元素的虛數(shù)部分用i和j方式來(lái)輸入，顯示時(shí)只用i方式表示。復(fù)數(shù)數(shù)組可以有兩種方式表示：A=[12;34]+i*[56;78]A=[1+5*i2+6*i;3+7*i4+8*i]其顯示結(jié)果是一樣的。特殊數(shù)組非數(shù)NaN“空”數(shù)組（空陣）全0數(shù)組（zeros）單位數(shù)組（eye）全1數(shù)組（ones）隨機(jī)數(shù)組（均勻分布rand、正態(tài)分布randn）其他特殊數(shù)組（對(duì)角形diag、魔方陣magic）非數(shù)NaN按IEEE規(guī)定，0/0，∞/∞，0×∞等運(yùn)算都會(huì)產(chǎn)生非數(shù)（NotaNumber）。該非數(shù)在MATLAB中用NaN或nan記述。根據(jù)IEEE數(shù)學(xué)規(guī)范，NaN具有以下性質(zhì)：NaN參與運(yùn)算所得的結(jié)果也是NaN，即具有傳遞性；非數(shù)沒(méi)有大小概念，因此不能比較兩個(gè)非數(shù)的大小。非數(shù)的功用