第七章 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題

第七章數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題包含兩個(gè)方面:1.數(shù)學(xué)物理方程(又稱(chēng)為泛定方程)物理量在時(shí)空中的變化規(guī)律,并把它寫(xiě)成數(shù)學(xué)形式即為數(shù)學(xué)物理方程.它反映了同一類(lèi)物理問(wèn)題的共性.2.定解條件(包括初始條件與邊界條件)對(duì)具體的實(shí)際問(wèn)題,我們必須考慮體系邊界條件的約束與初始狀態(tài)對(duì)具體物理問(wèn)題演化的影響.它反映了具體物理問(wèn)題的個(gè)性.在求解一具體物理問(wèn)題時(shí),我們就需要寫(xiě)出研究的物理量滿足的數(shù)學(xué)物理方程與定解條件,即寫(xiě)出了定解問(wèn)題,接下來(lái)就是求解問(wèn)題.7.1數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出推導(dǎo)數(shù)學(xué)物理方程的步驟:1.首先要確定研究的物理量u.2.分折體系中任意一小的部分,根據(jù)物理規(guī)律,研究它與鄰近部分的相互作用,(例如在力學(xué)中的隔離體法等)抓住主要矛盾,略去次要因素.(在數(shù)學(xué)上為略去高階小量)3.然后再把物理量u隨時(shí)間,空間的變化通過(guò)算式表示出來(lái).——即得出數(shù)學(xué)物理方程.(一)均勻弦的微小橫振動(dòng)

1)確定弦上點(diǎn)的橫向位移為研究的物理量u,它是位置x與時(shí)間t的函數(shù),故u=u(x,t)2)把弦看一個(gè)連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)系,取其中x→x+Δx一段,用隔離體法.uT2

T1x

XX+ΔX(4)式稱(chēng)為一維波動(dòng)方程,其它的一些波動(dòng)方程.2.均勻桿的縱振動(dòng),滿足的數(shù)學(xué)物理方程為(4)式.3.二維的簿膜振動(dòng),例如我們敲的鼓振動(dòng)滿足二維的波動(dòng)方程:4.三維的波動(dòng)方程:utt－a2Δu=0(6)5.真空中電磁波的波動(dòng)方程:(二)連續(xù)性方程

下面我們將考慮物理上守恒量滿足的方程.以電荷守恒為例,對(duì)空間任一區(qū)域單位時(shí)間內(nèi)區(qū)域內(nèi)電荷的減少量等于表面流出的電量：（1）式稱(chēng)為連續(xù)性方程,一般對(duì)具體的物理過(guò)程其守恒量都滿足(1),例如對(duì)擴(kuò)散問(wèn)題而不牽涉到化學(xué)反應(yīng),質(zhì)量守恒,對(duì)純熱傳導(dǎo)熱能守恒.當(dāng)有化學(xué)反應(yīng)與熱源時(shí),（1)應(yīng)用到輸運(yùn)現(xiàn)象時(shí)應(yīng)修正為:

ν為單位體積單位時(shí)間內(nèi)的產(chǎn)生率.

：

(三)輸運(yùn)方程輸運(yùn)現(xiàn)象主要包括：熱傳導(dǎo)與擴(kuò)散現(xiàn)象.對(duì)熱傳導(dǎo)與擴(kuò)散現(xiàn)象由實(shí)驗(yàn)得出的唯象理論是相同的,對(duì)擴(kuò)散問(wèn)題其物質(zhì)濃度u(x,y,z,t)與擴(kuò)散的物質(zhì)流q之間關(guān)系為:q=－D▽u(1)（其中D為常數(shù)）同樣對(duì)熱傳導(dǎo)問(wèn)題其溫度分布u(x,y,z,t)與熱流q之間關(guān)系為:q=－k▽u(2)（其中k為常數(shù)）且在僅是熱傳導(dǎo)與擴(kuò)散時(shí),熱能與某種物質(zhì)的質(zhì)量守恒,把（1）與（2）代入連續(xù)性方程可得出輸運(yùn)方程.ut－a2Δu=0（3）

歷史上在研究235U的鏈?zhǔn)椒磻?yīng)時(shí),通過(guò)對(duì)中子濃度u產(chǎn)生率與u成正比.得出中子濃度u滿足的方程為:并由此方程求出了鈾的臨界體積,且與后來(lái)的實(shí)際結(jié)果相符.

(四)Laplace方程對(duì)穩(wěn)定的輸運(yùn)現(xiàn)象,ut=0輸運(yùn)方程就變?yōu)椋?/p>

Δu=0（1）（1）式為L(zhǎng)aplace方程.另外對(duì)靜電場(chǎng)的電勢(shì)u滿足方程為：

Δu=－ρ/ε（2）（2）為泊松方程,在沒(méi)有電荷處ρ=0,泊松方程就變?yōu)長(zhǎng)aplace方程.一般也可把Laplace方程看成是齊次的泊松方程.當(dāng)有源時(shí)輸運(yùn)方程可變?yōu)椋簎t

－a2Δu=f(x,y.z.t)（3）

(五)其他的一些數(shù)學(xué)物理方程1.理想流體的歐拉方程2.kdv方程ut+σuux＋uxxx=0上述兩方程都是非線性方程,而本課程主要講授線性方程的求解.

(六)三類(lèi)數(shù)學(xué)物理方程1.波動(dòng)方程:utt－a2Δu=f(r,t)(1)一維形式utt－a2uxx=f(x,t).其中f(x,t)=F(x,t)/ρ,F(x,t)為單位長(zhǎng)度所受外力.2.輸運(yùn)方程:ut－a2Δu=f(r,t)(2)utt－a2uxx=f(x,t)3.泊松方程:

Δu=f(r