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文檔簡介

§4.3

平面曲線的曲率問題:

如何定量化的刻畫曲線的彎曲程度及其計算10曲率的概念BAA

B

BA（1）（3）可以看出：(2)AB（a）對于等長的弧段，轉(zhuǎn)角大，則彎曲程度也大問題在于:

S>S,即兩弧段不等長,稱為

AB的平均曲率稱為曲線在A點的曲率（2）的弧段AB的彎曲程度>(1)的弧段AB的彎曲程度（b）弧AB與AB的轉(zhuǎn)角相等，但AB的彎曲程度>AB的彎曲程度所以刻畫一段弧的彎曲程度應考慮它的平均彎曲程度才是合理的絕對值稱為曲線在A點的曲率即當B沿弧段趨于A點時，平均曲率的極限的下面考慮如何計算曲率K解

由于

=曲率

求半徑為R的圓的平均曲率與曲率例設則ABR每一點都相等）并且與半徑R呈倒數(shù)關(guān)系

即圓在任一點處的曲率都是相等的（即彎曲程度一般地，設平面曲線為并假定

x(t)

,y(t)

在

,

上有連續(xù)的導數(shù)

在曲線L上，取一定點P，并選取曲線的一方向作為曲線的正向?qū)τ谇€上的一點A,若PA與曲線的正向一致，反之取負值-

PA.弧的概念：而且是t的單調(diào)函數(shù)于是s=s(t),t則s取正值

PA，xy即若曲線的正向與t

上升描繪圖形的方向一致時,s(t)單調(diào)增加,反之s(t)單調(diào)減少至此我們有下對應關(guān)系:xy

則AB=s設

s

對應于點A,s+

s

對應于B,

我們把切線上向著弧s增加的方向叫做切線的正方向

(正切向)

記切線

A與

x

軸正向的夾角為

(s),切線

B與x

軸正向的夾角為

(s+s)即曲率由于下面考慮計算弧微分ds設t

A(x,y),t+tB(x

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