江西省贛州市六校聯(lián)盟2022-2023學年高二下學期5月聯(lián)合測評數(shù)學試題

2023年高二5月聯(lián)合測評卷數(shù)學考試時間：120分鐘；滿分：150分注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦于凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在等比數(shù)列中，，則的值為（）A.48 B.72 C.147 D.192【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質即可求解.【詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，則，，故．故選：C．2.某班學生的一次數(shù)學考試成績（滿分：100分）服從正態(tài)分布：，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，結合題設條件，即可求解.【詳解】因為數(shù)學考試成績服從且，所以，又因為，所以．故選：B3.已知是空間的一個基底，則可以與向量，構成空間另一個基底的向量是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間基底、空間向量共面等知識確定正確答案.【詳解】因為，，，所以向量，，均與向量，共面．故選：C4.已知命題：直線與平行，命題，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行滿足的關系可得命題等價于或，結合充分不必要條件的判斷即可求解.【詳解】直線與平行，則，解得或，所以命題等價于或，命題．則由命題不能得到命題，但由命題可得到命題，則是的充分不必要條件．故選：A．5.已知，則（）A0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求導函數(shù)，把代入求得，然后求得.【詳解】由已知，則，即，所以．故選：D．6.如圖所示，點是雙曲線的左、右焦點，雙曲線的右支上存在一點滿足與雙曲線的左支的交點平分線段，則雙曲線的漸近線斜率為（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設，則，由雙曲線的定義得，，根據(jù)，列出方程求得，在直角中，利用勾股定理求得，進而求得雙曲線的漸近線．【詳解】設，則，由雙曲線的定義得，，又由得，即，解得，所以，在直角中，由勾股定理得，即，整理得，則，雙曲線的漸近線斜率為．故選：B．7.已知是數(shù)列的前項和，若，數(shù)列的首項，則（）A. B. C.2023 D.【答案】A【解析】【分析】通過對二項展開式賦值求解出的值，然后通過所給的條件變形得到為等差數(shù)列，從而求解出的通項公式，進而即得.【詳解】令，得.又因為，所以.由，得，所以，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故選：A.8.已知實數(shù)滿足，則的最小值為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用轉化思想，將代換，代換，則，滿足：，即，再以代換，可得點，滿足．因此求的最小值，即為求曲線上的點到直線的距離的最小值的平方．利用導數(shù)的幾何意義，研究曲線和直線平行的切線性質即可得出答案．【詳解】解：代換代換，則滿足：，即，以代換，可得點，滿足.因此求的最小值，即為求曲線上的點到直線的距離的最小值的平方.設直線與曲線相切于點，，則，解得，切點為.點到直線距離，則的最小值為.故選B.【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究曲線的切線性質、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，問題轉化是解題的關鍵，屬于中檔題．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)的導函數(shù)為，若的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.在上單調遞增 B.在上單調遞減C.在處取得極小值 D.在處取得極大值【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)導函數(shù)與函數(shù)的單調性和極值的關系求解.【詳解】當時，單調遞增，由圖可知時，，單調遞增，故A正確；當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，故B錯誤；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以在處取得極小值，故C正確；當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以在處取得極大值，故D正確.故選：ACD.10.在等差數(shù)列中，．現(xiàn)從數(shù)列的前10項中隨機抽取3個不同的數(shù)，記取出的數(shù)為正數(shù)的個數(shù)為．則下列結論正確的是（）A.服從二項分布 B.服從超幾何分布C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質可得前10項中有6個正數(shù)，即可求解從而可判斷服從超幾何分布，即可判斷ABC,由超幾何分布的期望計算即可判斷D.【詳解】依題意，等差數(shù)列公差，則通項為，由得，即等差數(shù)列前10項中有6個正數(shù)，的可能取值為的事件表示取出的3個數(shù)中有個正數(shù)，（）個非正數(shù)，因此，不服從二項分布，服從超幾何分布，不正確，B正確；錯誤；由題正確．故選：．11.已知數(shù)列滿足，其中，為數(shù)列的前項和，則下列四個結論中，正確的是（）A.數(shù)列的通項公式為：B.數(shù)列為遞減數(shù)列C.D.若對于任意的都有，則【答案】BC【解析】【分析】先求出，根據(jù)前項和與項關系，推得時，，檢驗，即可得出通項公式，判斷A項；作差法，即可判斷數(shù)列的單調性；裂項可得，求和即可得出；由C項，可知，即可判斷D項.【詳解】對于A項，由可得：當時，；當時，有，，兩式相減得：，即.當時，滿足，綜上所述：，故A項錯誤；對于B項，，當時恒成立，故，即數(shù)列為遞減數(shù)列，故B項正確；對于C項，因為，所以，故C項正確；對于D項，因為對任意恒成立，故，所以對于任意的都有，則，故D項錯誤.故選：BC.12.已知函數(shù)是其導函數(shù)，恒有，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】令，求導后可判斷函數(shù)為增函數(shù)，利用單調性可依次判斷各選項.【詳解】由題意得：令，于是其導數(shù)．又函數(shù)是其導函數(shù)，恒有，即，所以，即函數(shù)為增函數(shù)．對于選項A：由，有，即，于是，故A正確；對于選項B：由，有，即，于是，故B正確；對于選項C：由，有，即，于是，無法比較與的大小關系，故C錯誤；對于選項D：由，有，即，于是，即，故D正確.故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知、的對應值如下表所示：02468111若與線性相關，且回歸直線方程為，則_______．【答案】【解析】【分析】求出、，根據(jù)回歸直線方程經(jīng)過樣本中心點，代入計算可得.【詳解】由表可知，，因為回歸直線方程經(jīng)過樣本中心點，所以，解得．故答案為：．14.將甲、乙、丙、丁四人排成一行，其中甲不排第一，乙不排第二，丙不排第三，丁不排第四，滿足要求的不同排法有______種．【答案】【解析】【分析】按照分步乘法原理分步驟進行安排即可得答案.【詳解】甲不排第一，所以第一個位置排乙、丙、丁有3種情況，如果第一個位置排乙，不論二、三、四哪個位置安排甲，丙、丁也就確定了，也對應于3種情況，根據(jù)乘法原理可得不同的排法有（種）.故答案為：.15.設等差數(shù)列，的前n項和分別為，，且，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質化簡計算作答.【詳解】等差數(shù)列，的前n項和分別為，，所以.故答案為：16.若關于x的不等式恒成立，則的最小值是________________.【答案】【解析】【分析】由函數(shù)的定義域進行參變分離可得恒成立，設，利用導數(shù)求函數(shù)的最大值，即可求出的最小值.【詳解】由于，則原不等式可化為，設，則，當時，，遞增；，，遞減，可得在處取得極大值，且為最大值.所以，則a的最小值為.故答案為:.【點睛】本題考查了函數(shù)的導數(shù)等基礎知識，考查抽象概括、運算求解等數(shù)學能力，考查化歸與轉化、數(shù)形結合等思想方法.本題的關鍵是將不等式恒成立問題轉化成求函數(shù)的最值問題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)在處取得極值14.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)在上的最值.【答案】（1）（2）最小值為14，最大值18【解析】【分析】（1）由極值和極值點，利用導數(shù)求出未知系數(shù)，再利用導數(shù)的幾何意義求切點處切線的方程.（2）利用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間，根據(jù)單調性求函數(shù)在區(qū)間上的最值.【小問1詳解】因，故由于在處取得極值14，故有，化簡得，解得，經(jīng)檢驗，時，符合題意，所以.則，，故.所以曲線在點處的切線方程為：，即【小問2詳解】，，解得或；解得，即函數(shù)在上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增，，因此在的最小值為.最大值為18.2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，在11月21日至12月18日在卡塔爾境內舉行．足球運動是備受學生喜愛的體育運動，某校開展足球技能測試，甲參加點球測試，他每次點球成功的概率均為．現(xiàn)他有3次點球機會，并規(guī)定連續(xù)兩次點球不成功即終止測試，否則繼續(xù)下一次點球機會．已知甲不放棄任何一次點球機會．（1）求甲恰好用完3次點球機會的概率；（2）甲每次點球成功一次，可以獲得50積分，記其獲得的積分總和為，求的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）利用對立事件的概率公式求解即可；（2）由題意可得的所有可能取值為，然后求出各自對應的概率，從而可求出的分布列和數(shù)學期望．【小問1詳解】設事件：恰好用完3次機會，事件：前2次均不成功，依題意得，．【小問2詳解】易知的所有可能取值為，，，，，所以的分布列為050100150所以19.已知正項數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）設，記數(shù)列的前n項和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）分類討論與兩種情況，利用數(shù)列遞推式的性質，結合作差法即可求得；（2）結合（1）中結論，利用錯位相減法求得，由此得證.【小問1詳解】因為，當時，，因為，所以，當時，，兩式相減得，，因為，所以，經(jīng)檢驗，上式對于也適合，所以的通項公式為.【小問2詳解】由（1）得，所以，，兩式相減得，所以，由于，顯然，所以.20.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，，Q為AD的中點，．（1）點M在線段PC上，，求證：平面MQB；（2）在（1）的條件下，若，求直線PD和平面MQB所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于，連接，利用，可得，進而可得，從而根據(jù)線面平行的判斷定理即可證明；（2）在平面內作于，證明平面，以點為原點，建立空間直角坐標系，設直線和平面所成角為，利用向量法即可求解.【小問1詳解】證明：連接交于，連接，因為，所以，所以，所以，又，所以，因為平面，平面，所以平面MQB；【小問2詳解】解：連接，由題意，都是等邊三角形，因為是中點，所以，又，所以平面，，在中，，所以，在平面內作于，則，由平面，所以，又，所以平面，以點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，由，可得，所以，設平面的法向量,則，可取，則，直線的方向向量，設直線和平面所成角為，則，所以，即直線和平面所成角的余弦值等于.21.已知函數(shù)，（其中）．（1）討論的單調性；（2）對于任意，都有成立，求a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）先求出，再討論，，和時導數(shù)的正負及函數(shù)的單調性；（2）由對于任意，都有成立等價于對于任意，，構造，其中，由導數(shù)求出的最大值，即可得出的取值范圍．【小問1詳解】因為函數(shù)，其中，所以，令，得或，當時，，故函數(shù)在單調遞增，當時，當時，，當時，，故函數(shù)在和上單調遞增，在上單調遞減，當，即時，當時，，當時，，故函數(shù)在和上單調遞增，在上單調遞減，當，即時，當時，，當時，，故函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減；綜上所述，當時，函數(shù)在單調遞增，當時，函數(shù)在和上單調遞增，在上單調遞減，當時，函數(shù)在和上單調遞增，在上單調遞減，當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減．【小問2詳解】對于任意，都有成立對于任意，，即對于任意，對于任意，，設，其中，則，因為，所以，所以，所以在單調遞增，所以，所以，即．22.已知的兩頂點坐標．（1）求動點的軌跡的方程；（2）不垂直于軸的動直線與軌跡相交于兩點，定點，若直線關于軸對稱，求面積的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由橢圓的定義即可判斷軌跡為橢圓，即可由橢圓的性質求解方程.（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，由韋達定理，結合斜率公式可得直線經(jīng)過定點，進而由面積公式，結合對勾函數(shù)的性質即可求解.【小問1詳解】由，所以，因此動點的軌跡是以為焦點的橢圓，且去掉橢圓與軸的交點，設橢圓的標準方程為，則，解得，所以動點的軌跡的方程為．小問2詳解】由題意可知直線的斜率不為0，設直線的方程為，點，