分形理論在巖石力學(xué)中的應(yīng)用

分形理論在巖石力學(xué)中的應(yīng)用

0巖石構(gòu)造特性為復(fù)雜介質(zhì)的力學(xué)行為提供了新的研究思路巖石是由各種礦物結(jié)晶、空隙和結(jié)構(gòu)物組成的綜合體。經(jīng)過億萬年的地質(zhì)演變和多次復(fù)雜的構(gòu)造運動,使巖石含有不同階次的隨機分布的微觀孔隙和裂紋。在宏觀尺度上天然巖體又為多種地質(zhì)構(gòu)造面(節(jié)理、斷層和弱面等)所切割。這些重要特征表明巖石是一種很特殊的復(fù)雜材料,它不是離散介質(zhì)(仍是結(jié)晶材料),也不是連續(xù)介質(zhì),因其存在著宏、細、微觀的不連續(xù)性。巖石材料實質(zhì)上是似連續(xù)又非完全連續(xù),似破斷又非完全破斷的介質(zhì)。所以巖石是結(jié)構(gòu)極其復(fù)雜的非連續(xù)和非均質(zhì)體,無論從微觀到宏觀都呈現(xiàn)出強烈的非連續(xù)、非均勻特征,表現(xiàn)出非線性、各向異性、隨機性和流變性等復(fù)雜力學(xué)行為。由于巖石材料的復(fù)雜性和特殊性,建立在均勻性、連續(xù)性假設(shè)基礎(chǔ)上的固體力學(xué)理論引進到巖石力學(xué)中是十分局限的。巖石構(gòu)造上的特點決定了我們不能完全從經(jīng)典的固體力學(xué)理論出發(fā)去研究巖石斷裂和破碎問題,必須要從認識上進行研究思路變革,最重要的一點就是對巖石構(gòu)造特性的描述,所以我們應(yīng)該發(fā)展新的理論和用新的方法來準確描述巖體這種材料的本質(zhì)特征及其斷裂和破碎等力學(xué)行為。法國數(shù)學(xué)家Mandelbrot創(chuàng)立的分形幾何為自然界乃至社會活動中廣泛存在的復(fù)雜無序而又具有某種內(nèi)在規(guī)律的系統(tǒng)提供了定量化描述的方法,為人們從局部認識整體,從無限認識有限提供了新方法。分形幾何突破了傳統(tǒng)歐氏空間的框架,將經(jīng)典幾何整數(shù)維的理想和簡化描述拓展到分數(shù)維空間的真實描述,從而在更本質(zhì)、更深刻的層面上刻畫了自然界中真實的物體和現(xiàn)象的本質(zhì)特征。分形幾何的誕生,為研究巖石這種復(fù)雜介質(zhì)的力學(xué)行為提供了全新的方法。從20世紀80年代起,我們引進分形幾何描述巖石微結(jié)構(gòu)的不規(guī)則性,系統(tǒng)地研究了巖石微觀斷裂機制、裂紋分形擴展、巖石分形節(jié)理力學(xué)、巖石分形統(tǒng)計強度理論、分形損傷與分形破碎等一系列巖石力學(xué)關(guān)鍵問題,在巖石力學(xué)研究方法上取得了突破,并將成果成功地應(yīng)用到采礦工程實踐中,逐漸開拓出巖石力學(xué)與工程的分形幾何研究新領(lǐng)域。本文總結(jié)了我們在巖石斷裂與破碎方面的研究成果。1巖石微結(jié)構(gòu)裂紋臨界擴展力經(jīng)典斷裂力學(xué)的一個根本假設(shè)是將巖石斷裂軌跡視為直線型平面模型,而現(xiàn)場實測和實驗觀測均表明,無論在晶粒尺度上還是在斷層尺度上,巖石的斷裂面都是非常不規(guī)則和粗糙的,難以用一個平直面來近似模擬。同時巖體中的斷裂路徑總是彎彎曲曲的,而且還包含著斷裂分叉,這種彎曲和分叉還可以相互嵌套,因此要真實刻畫巖石斷裂的性態(tài),需要解決兩個問題,一是巖石中裂紋擴展軌跡的不規(guī)則程度在數(shù)學(xué)上如何定量描述,二是這種不規(guī)則性對巖石宏觀斷裂力學(xué)性能產(chǎn)生什么樣的影響。為此,首先要研究巖石微結(jié)構(gòu)的特征。在斷裂力學(xué)中,為了探討材料的斷裂性能,Griffith和Irwin提出了著名的裂紋臨界擴展力準則,裂紋臨界擴展力定義為:式中rs為單位宏觀量度斷裂面積的表面能,這里裂紋被假設(shè)是沿直線路徑擴展的。但是對于巖石斷裂,用上式計算臨界擴展力是相當(dāng)粗糙的。大量的掃描電鏡實驗和斷口分析表明,巖石是一種粗晶粒的多相結(jié)晶材料,巖石微結(jié)構(gòu)中包含大量裂隙和孔洞,同時又含有夾雜、沉淀、弱面等其它缺陷,巖石的斷裂,既有微裂紋的成核與擴展,也有微孔洞的匯合與貫通。巖石中的裂紋總是以Y形或Z字型向前擴展的,其真實的斷裂面積A實要大于表觀平直斷裂面積A宏,對于單位厚度斷裂面積可以認為:式中L0(ε)為裂紋軌道的表觀長度,L(ε)為不規(guī)則路徑長度,ε為測量碼尺(圖1所示)。因此,裂紋臨界擴展力應(yīng)推廣為:根據(jù)Mandelbrot(文獻)分形曲線長度的估計式:式中為裂紋路徑的直線長度,D為不規(guī)則擴展路徑的分形維數(shù)。取度量碼尺為晶粒尺寸l,則(3)式可表示為:可近似地選擇ε≈r,r是自相似比。這樣(5)式可近似表示為:根據(jù)巖石斷口形貌分析,通?？梢詫r石微觀斷裂分為穿晶斷裂、沿晶斷裂以及沿晶穿晶耦合斷裂3種形式。這幾種斷裂形式的裂紋擴展均是不規(guī)則的,且可以考慮為統(tǒng)計自相似的,所以可以用分形來模擬。1.1拉格蘭尼t(yī),gcrit,n對于巖石類材料,晶粒間粘結(jié)力低于晶粒本身強度,使得巖石材料易于發(fā)生沿晶脆性斷裂,如圖2所示。沿晶斷裂有2種類型,根據(jù)分形維數(shù)的基本定義:圖2(a)中:N=2,1.26;圖2(b)中:N=4,相應(yīng)的裂紋臨界擴展力可按(6)式計算:圖2(a)中:Gcrit=1.7320.26×2rs=1.15×rs;圖2(b)中:Gcrit=30.26×2rs=1.33×2rs?？梢?沿晶斷裂模式(a)較模式(b)耗散能量小,容易發(fā)生。1.2斷裂表面特征:自然分布,河流面,自然結(jié)晶平面上形成的,自穿晶斷裂是晶體材料中最脆的一種斷裂形式,穿晶或解理斷裂系原子鍵的簡單破裂而沿結(jié)晶面直接拉開,因此,斷裂表面經(jīng)常出現(xiàn)臺階狀、不規(guī)則紋路和河流狀花樣,它們的主要特征是在一個結(jié)晶平面上形成一個節(jié)理裂紋的相對不平的面。穿晶斷裂分形模型如圖3(a)所示,可以得到:裂紋臨界擴展力同樣按(6)式計算得:上式表明,巖石的穿晶斷裂比任何一種沿晶斷裂均要耗散更多的能量。1.3斷裂表面應(yīng)力在任何一個巖石斷口上,總能找到沿晶斷裂和穿晶斷裂兩種斷裂花樣。因為巖石內(nèi)部晶粒的微孔隙、微裂紋、夾雜和第二相等可引起局部應(yīng)力集中而導(dǎo)致穿晶斷裂,一般情況會沿晶斷裂(因耗散較少的能量)。所以,巖石斷裂表面一般多是沿晶和穿晶斷裂的耦合體,沿晶穿晶耦合斷裂的分形模型如圖4所示。由圖4(a)可得:其相應(yīng)的裂紋臨界擴展力根據(jù)(6)式計算:將以上結(jié)果和相應(yīng)實測值列于表1中,可以看出,分析結(jié)果與實測值基本相符,并且同一晶粒尺寸下的脆性斷裂最容易出現(xiàn)的形式是沿晶斷裂和沿晶與穿晶的耦合斷裂。雖然這一現(xiàn)象人們已經(jīng)定性了解了很多年,但是只有使用分形的概念,才能給出定量的解釋。1.4裂紋叉的幾何非規(guī)則性裂紋分叉是巖石材料斷裂的普遍現(xiàn)象,研究表明:裂紋分叉與斷口形態(tài)和斷裂表面的粗糙性緊密相關(guān),裂紋分叉可明顯地增大材料斷口的不規(guī)則性。Smith(1989)從理論上研究了裂紋分叉的非規(guī)則性對脆性材料斷裂韌性的影響,指出分叉可使斷裂韌性值增加。因此,裂紋分叉的幾何非規(guī)則性是材料的物理力學(xué)、變形破壞和微結(jié)構(gòu)效應(yīng)的綜合反映。巖石裂紋分叉的幾何模型如圖5(a)所示,假設(shè)分叉是這樣形成的,在第i+1步的新的裂紋分叉是從前一步第i步裂紋分叉群基礎(chǔ)之上連續(xù)生成的子群。這種分叉具有自相似特征,可以用分形幾何進行模擬。建立裂紋分叉的分形模型如圖5(b)所示,則臨界斷裂能可以表示為:式中l(wèi)為晶粒尺寸,r為相似比。由斷裂力學(xué)原理可知其斷裂韌性K與Gcrit存在如下關(guān)系:式中K0為沒有考慮分叉不規(guī)則性的材料斷裂韌性?？紤]裂紋分叉的分形模型,則由(8)式得:E.Smith用復(fù)變函數(shù)法得到該問題的理論解為:可以看到,式(10)與E.Smith公式[式(11)]的計算結(jié)果具有一致的趨勢。但Smith給出的結(jié)果具有明顯的波動性,這與實際不符,而分形分析結(jié)果與實驗具有很好的一致性,即分叉角越小,分叉斷裂越易發(fā)生,裂紋分叉使材料斷裂韌性提高。2裂紋擴展速度與應(yīng)力強度因子的關(guān)系材料動靜態(tài)裂紋擴展的研究無論在理論上還是工程應(yīng)用上都具有重要意義,是材料破壞力學(xué)的重要內(nèi)容,其研究難度也相當(dāng)大。Freunel(1990)對裂紋擴展問題的研究進展進行了全面的總結(jié),并指出在動態(tài)斷裂領(lǐng)域,實測結(jié)果與理論分析結(jié)果一直存在較大差距,大多數(shù)材料的實測裂紋速度V0明顯低于理論預(yù)測的裂紋速度(Rayleigh波速Cr),在高應(yīng)力速率下,理論預(yù)測的動態(tài)應(yīng)力強度因子K(L(D,t),V)很難與其實測值達到一致,這是困擾學(xué)術(shù)界的一個難題。大量研究表明,在快速斷裂中,即便是脆性材料也會產(chǎn)生粗糙的斷裂表面和不規(guī)則的擴展路徑。我們根據(jù)建立的裂紋擴展分形模型(圖1)導(dǎo)出相應(yīng)的裂紋擴展速度V,可表示為:式中V0為表觀裂紋擴展速度,V為分形裂紋擴展速度,Δα為裂紋擴展步長,d為巖石晶粒尺寸?？梢?裂紋擴展速度比V/V0取決于晶粒尺寸、裂紋擴展步長和裂紋擴展路徑的分形維數(shù)或粗糙度,在分形裂紋擴展中,(d/Δα)<1,1—D<0,所以分形裂紋擴展速度V隨D的增加而增大。在中等裂紋表面粗糙度時(D=1.2?1.3),局部裂紋速度V就能達到表觀裂紋擴展速度V0的2倍,這就是目前實測速度值與理論預(yù)測存在較大差距的原因之一。根據(jù)Freunel(文獻)動態(tài)斷裂理論,動態(tài)應(yīng)力強度因子由遞推方法得出:這里h(V)是裂紋速度的普適函數(shù),Cd為彈性膨脹波速。根據(jù)分形插值理論,當(dāng)Δt→0時,曲線L(t)趨于分形裂紋頂端連線L(D,t),Vk→V。根據(jù)Freunel理論推導(dǎo),Δt→0時裂紋擴展運動L(t)的應(yīng)力強度因子可近似為裂紋頂端運動L(D,t)的應(yīng)力強度因子,于是我們可以得出:這表明沿分形路徑擴展裂紋的動態(tài)應(yīng)力強度因子等于瞬時分形裂紋速度的普適函數(shù)與沿分形路徑擴展的準靜態(tài)(平衡)應(yīng)力強度因子的乘積。將式(13)代入(14)中,得:根據(jù)分形理論,K(L(D,t),0)中包含分形裂紋擴展的兩個靜態(tài)效應(yīng)。第一就是分形裂紋的彎折效應(yīng),第二就是分形裂紋不規(guī)則擴展的長度效應(yīng)。讓K(L(t),0)表示準靜態(tài)應(yīng)力強度因子,則有:K(L(D,t),0)=(d/Δa)(1-D)/2K*(L(D,t),0)(16)上式第一項表示分形裂紋的長度效應(yīng),第二項K*(L(D,t),0)表示裂紋擴展的彎折效應(yīng)(即裂紋彎折而引起的應(yīng)力集中效應(yīng))。由斷裂力學(xué)最大應(yīng)變能釋放率定義為:圖6給出了K((L(D,t),V)/K(L(D,t),0)隨V0/Cr和θ/100的變化趨勢。分形裂紋擴展分析表明,K(L(D,t),V)/K(L(D,t),0)在分維為D=1.365時,僅當(dāng)V0/Cr.=0.5就趨于零;而對D=1.263,僅當(dāng)V0/Cr=0.6,K(L(D,t),V)/K(L(D,t),0)就趨于零。裂紋擴展的分形模型不僅考慮了不規(guī)則裂紋的長度效應(yīng),也考慮了裂紋擴展的彎折效應(yīng),更好地描述了分形裂紋擴展中裂紋速度、裂紋長度和裂紋彎折角對動態(tài)應(yīng)力強度因子的影響。表2給出了裂紋擴展速度實驗值與不同理論結(jié)果的對比,從中可以看出,我們根據(jù)分形模型給出的理論結(jié)果與實驗值十分一致,該結(jié)果很好地解釋了大多數(shù)實驗觀察到的裂紋擴展速度僅是Rayleigh波速Cr的一半左右的實驗現(xiàn)象,揭示了實驗測定裂紋速度V0總是明顯低于Rayleigh波速Cr的物理本質(zhì)。3小破裂材料的自相似性巖石宏觀破碎是其內(nèi)部缺陷不斷萌生發(fā)育、擴展、聚集和貫通的最終結(jié)果,這個從細觀損傷發(fā)展到宏觀破碎的過程是能量耗散過程,并具有分形性質(zhì)。無論是結(jié)構(gòu)演化的幾何特征,還是其力學(xué)量或物理量演變的數(shù)字特征,均表現(xiàn)出較好的統(tǒng)計自相似性,如微結(jié)構(gòu)斷裂模式、裂紋密度、斷裂韌性、斷裂表面形貌等。實驗觀察表明,材料的宏觀破碎是由小破裂群體集中而形成的,小破裂又是由更小的裂隙演化和集聚而來,這種自相似性的行為必然導(dǎo)致破碎后碎塊塊度和能量耗散也具有自相似的特征。目前人們已廣泛用分形來模擬和描述材料破碎的自相似性。3.1塊度分布分形維數(shù)巖石塊度分布的分形性可以從兩方面去理解,一方面實驗證明,破碎過程與巖塊形狀具有自相似性,碎塊尺度分布具有冪律特征,是統(tǒng)計意義上的分形;另一方面,巖石微結(jié)構(gòu)分析表明,巖石細觀結(jié)構(gòu)中孔洞、裂隙為分形分布,而碎塊是裂隙擴展的直接結(jié)果,因此,分形孔隙巖石結(jié)構(gòu)導(dǎo)致分形破碎塊度分布具有內(nèi)在的、必然的聯(lián)系。令R為巖塊的特征尺度,N為特征尺度大于等于R的巖塊數(shù)目,假設(shè)塊度分布是分形分布,則按尺度—頻率關(guān)系有:式中N0是具有最大特征尺度Rmax的碎塊數(shù),D即為塊度分布分形維數(shù)。設(shè)碎塊的質(zhì)量—頻率關(guān)系為:式中M是碎塊質(zhì)量,N是質(zhì)量大于等于M的碎塊數(shù),N0是具有最大質(zhì)量Mmax的碎塊數(shù),b是質(zhì)量—頻率分布指數(shù)。注意到質(zhì)量與塊度尺寸的相關(guān)性:M∝R3,得由Weibull分布得:式中M(r)是直徑小于R的碎塊累積質(zhì)量,MT是總質(zhì)量,σ為與平均尺寸相關(guān)的量。如果R/σ?1,則上式可表示為冪律關(guān)系:從而得到:因此我們只要能測定質(zhì)量—頻率分布指數(shù)α或b,就可以計算出塊度分布分維。圖7給出了幾個巖樣單軸壓縮破壞實驗的塊度分布數(shù)據(jù),從結(jié)果可以看出,logN與log(Mmax/M)呈線性正比關(guān)系,這說明這些巖樣破碎后的塊度分布具有很好的自相似性,即是一個分形分布。在實驗中我們發(fā)現(xiàn),分形維數(shù)大的試件,碎塊多,體積小,破碎程度高;分形維數(shù)小的試件,碎塊少,體積大,破碎程度較低。因此塊度分布分維直觀地定量反映了巖石破碎的程度。為了驗證巖石塊度分維是否體現(xiàn)了巖石的破碎程度,可以從理論上對構(gòu)造分形破碎模型進行分析。令試件(巖樣)為零級碎元,假設(shè)材料破碎過程是嚴格自相似的,即各級碎元均以破壞概率Pc破碎為幾個子碎元,且相鄰級碎元尺度的相似比是r,則對k級碎元碎塊總數(shù)為:對(k+1)級碎元,其碎塊總數(shù)為:由于假設(shè)了構(gòu)造的破碎過程是嚴格自相似的,則由分形的基本定義得:因為k?1,且假定(nPc)>1,則可得到:由式(28)可知,塊度分布的分維,不僅與破壞概率Pc有關(guān),也與每級碎元產(chǎn)生的子碎元數(shù)有關(guān),它是巖石破碎程度恰當(dāng)?shù)亩攘?。對于?guī)則形狀碎元,有:結(jié)合式(28)和(29)兩式得:這里d為碎塊所屬空間的歐幾里德維數(shù),取為3;r(<1)為相鄰碎元尺度相似比。一般地,塊度分布分形維數(shù)0≤D≤3。當(dāng)Pc=0.5時,則為破碎和未破碎的體積相等時的臨界狀態(tài),此時:這里Dc稱為臨界破碎分維。可見:由此可以看出,塊度分布的分形維數(shù)與巖石細觀結(jié)構(gòu)、加載方式以及試樣形狀尺寸等密切相關(guān),是這些因素的綜合反映。與通常衡量破碎程度的度量—塊率(單位體積的碎塊數(shù))相比,分維D不僅表征了材料的破碎程度,而且包含了更豐富的物理內(nèi)涵。3.2爆破能量釋放的分維數(shù)和破碎量的關(guān)系煤巖體爆破后形成的碎塊在很大的尺度范圍內(nèi)滿足分形分布特征,爆破分形破碎的理論模型建立如下:取原始立方體的邊長為R0,包含的應(yīng)變能為E,首先將原始立方體均勻破裂成k個子級立方體,小立方體的邊長為R1=R0k-1/3。然后隨機選擇p個小立方體,每個小立方體再細分成k個更小立方體,邊長為R2=R0k-2/3(該過程如圖8所示)。以此類推,這樣爆破破碎過程中分形維數(shù)的碎塊構(gòu)成一個分形體,分形維數(shù)的定義為:根據(jù)上述正方體的分形劃分模型,在邊長為R的立方體中具有邊長為r的小立方體數(shù)目為:而在N個小立方體引起能量耗散的立方體個數(shù)為:尺寸為r的碎塊耗散能量的子立方體體積為)Dr3,總體碎塊體積為R3,耗散體與總體積之比為:因此μ=3—D。設(shè)Er為單位體積的平均耗散能,那么:邊長為r的碎塊中,平均耗散能量Er為:將式(38)代入式(37),得到分形能量一尺寸的關(guān)系:在煤體破碎一特定尺度(r=r0)下,變換可得:式中A、B是兩個常數(shù)。上式表明破碎塊度分形維數(shù)與耗散能量密度對數(shù)成正比,可以作為衡量爆破效果的定量指標。堅硬厚煤層的放頂煤開采被認為是煤炭生產(chǎn)技術(shù)的一項難題。影響綜放開采頂煤冒放性主要有以下3個因素:煤層厚度,開采深度,煤體硬度。對于堅硬頂煤在支承壓力作用下難于有效壓裂,從而最終影響了頂煤回收率。因此人為地改變頂煤力學(xué)性態(tài)是實現(xiàn)堅硬厚煤綜放開采的唯一途徑。在實體煤中實施深孔擠壓爆破是弱化堅硬煤層的一種有效方法,通過爆破弱化在頂煤中產(chǎn)生足夠的裂隙,然后隨著工作面推進在支承壓力作用下進行二次破碎,最終形成合理的塊度,達到提高綜放開采頂煤回收率的目的。以上爆破能量釋放的分形理論分析結(jié)果式(40),建立了破碎塊度分布(分維值D)與耗散能量密度(Er)的對應(yīng)關(guān)系,而耗散能量密度Er又與炸藥量存在對應(yīng)關(guān)系,Er=(起爆藥能EDDNP+炸藥能ERDX)/破巖體積V。這樣根據(jù)式(40)來調(diào)節(jié)炸藥量與破碎塊度的效果,即實現(xiàn)破碎塊度控制。在實驗中用不同炸藥量對同一煤樣模型進行爆破測量分析,統(tǒng)計計算結(jié)果如圖9,圖中顯示隨著炸藥單耗對數(shù)值的增加,即耗散能量的增加,塊度的分維數(shù)隨之線性增加,完全證明了我們以上理論分析式(40)的正確性。實驗爆破后的塊度分布隨著炸藥單耗的增加顯得越來越均勻,而破裂的特征尺度逐漸減小,也就是破碎效果越理想。大同礦務(wù)局忻州窖礦8911面是一個典型