均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

3．3．2一、選擇題1．將[0,1]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)a1轉(zhuǎn)化為[－2,6]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)a，需實(shí)施的變換為()[答案]C[解析]∵0≤a1≤1，∴0≤8a1≤∴－2≤8a1－2≤2．小紅隨意地從她的錢包中取出兩枚硬幣，已知她的錢包中有1分、2分幣各兩枚，5分幣3枚，則她取出的幣值正好是7分的概率是()\f(1,7) \f(2,7)\f(3,7) \f(4,7)[答案]B[解析]共有取法6＋5＋4＋3＋2＋1＝21種，其中幣值正好為7分的必有一枚5分幣，故有3×2＝6種，∴概率P＝eq\f(6,21)＝eq\f(2,7).3．從正六棱錐P－ABCD的側(cè)棱和底邊共12條棱中任取兩條，能構(gòu)成異面直線的概率為()\f(1,11) \f(2,11)\f(4,11) \f(8,11)[答案]C[解析]共能組成11＋10＋9＋…＋1＝66對(duì)，其中為異面直線的有6×4＝24對(duì)(∵側(cè)棱都共面，底面多邊形的邊當(dāng)然共面，∴異面的只有一條側(cè)棱和底面的一條邊的情形，一側(cè)棱可與底面多邊形的4條邊構(gòu)成異面直線)，∴P＝eq\f(24,66)＝eq\f(4,11).4．在棱長為3的正方體內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)到各面的距離都大于1的概率為()\f(1,3) \f(1,9)\f(1,27) \f(3,4)[答案]C[解析]在正方體內(nèi)到各面的距離都大于1的點(diǎn)的集合是以正方體的中心為中心、棱長為1的正方體，所以所求概率P＝eq\f(V小正方體,V大正方體)＝eq\f(1,33)＝eq\f(1,27).5．某人利用隨機(jī)模擬方法估計(jì)π的近似值，設(shè)計(jì)了下面的程序框圖，運(yùn)行時(shí)，從鍵盤輸入1000，輸出值為788，由此可估計(jì)π的近似值約為()A． B．C． D．[答案]C[解析]由條件知，投入1000個(gè)點(diǎn)(a，b)，－1≤a≤1，－1≤b≤1，其中落入x2＋y2≤1內(nèi)的有788個(gè)．∵eq\f(圓面積,正方形面積)＝eq\f(π,4)，∴eq\f(π,4)≈eq\f(788,1000)，∴π≈.6．在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P，則△PBC的面積大于eq\f(S,3)的概率為()\f(1,3) \f(2,3)\f(1,9) \f(4,9)[答案]B[解析]如圖所示，作AD⊥BC于D，PE⊥BC于E，對(duì)于事件W＝“△PBC的面積大于eq\f(S,3)”，有eq\f(1,2)·BC·PE>eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·BC·AD，即PE>eq\f(1,3)AD，∴BP>eq\f(1,3)AB，∴由幾何概型的概率計(jì)算公式得P(W)＝eq\f(\f(2,3)AB,AB)＝eq\f(2,3).7．利用隨機(jī)模擬法近似計(jì)算下圖中陰影部分曲線y＝2x與x＝±1及x軸圍成的圖形的面積時(shí)，設(shè)計(jì)了如下算法：設(shè)事件A為“隨機(jī)向正方形內(nèi)投點(diǎn)，所投的點(diǎn)落在陰影部分”．S表示陰影部分的面積．S1：用計(jì)數(shù)器n記錄做了多少次投點(diǎn)試驗(yàn)，用計(jì)數(shù)器m記錄其中有多少次(x，y)滿足－1<x<1,0<y<2x(即點(diǎn)落在陰影部分)．首先置n＝0，m＝0；S2：用變換rand()*2－1產(chǎn)生－1～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)x表示所投的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；用變換rand()*2產(chǎn)生0～2之間的均勻隨機(jī)數(shù)y表示所投的點(diǎn)的縱坐標(biāo)；S3：判斷點(diǎn)是否落在陰影部分，即是否滿足y<2x，如果是，則計(jì)數(shù)器m的值加1，即m＝m＋1，如果不是，m的值保持不變；S4：表示隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)的計(jì)數(shù)器n的值加1，即n＝n＋1，如果還要繼續(xù)試驗(yàn)，則返回步驟S2繼續(xù)執(zhí)行；S5：S＝____①____；S6：輸出S，結(jié)束．則①處應(yīng)為()A．m \f(m,n)C．4m \f(4m,n)[答案]D[解析]∵陰影部分的面積為S，正方形的面積為4，由幾何概型計(jì)算公式得P(A)＝eq\f(S,4).所以eq\f(m,n)＝eq\f(S,4).所以S＝eq\f(4m,n)即為陰影部分面積的近似值．8．下面是隨機(jī)模擬擲硬幣試驗(yàn)的程序框圖．其中a＝0表示正面向上，a＝1表示反面向上，則運(yùn)行后輸出的是()A．正面向上的頻數(shù)B．正面向上的頻率C．反面向上的頻數(shù)D．反面向上的頻率[答案]D二、填空題9．若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)m、n作為P點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)P在圓x2＋y2＝25外的概率為______．[答案]eq\f(7,12)[解析]基本事件的總數(shù)為6×6＝36(個(gè))，記事件A＝“點(diǎn)P(m，n)落在圓x2＋y2＝25外”，即m2＋n2>25，當(dāng)m取1、2、3時(shí)，n只能取5或6，有2×3＝6種；當(dāng)m取4時(shí)，n只能取4、5、6有3種；當(dāng)m取5或6時(shí)，n可取1至6的任何值，有2×6＝12種．∴事件A包含的基本事件數(shù)共有6＋3＋12＝21個(gè)，∴P(A)＝eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).10．任意一個(gè)三角形ABC的面積為S，D為△ABC內(nèi)任取的一個(gè)點(diǎn)，則△DBC的面積和△ADC的面積都大于eq\f(S,3)的概率為________．[答案]eq\f(1,9)[解析]在AB上取三等分點(diǎn)E、F，過點(diǎn)E作EM∥BC交AC于M，過點(diǎn)F作FN∥AC交BC于N，則當(dāng)點(diǎn)D在△AEM內(nèi)時(shí)，滿足S△DBC>eq\f(S,3)，在△BFN內(nèi)時(shí)，滿足S△DAC>eq\f(S,3)，設(shè)EM與FN的交點(diǎn)為G，則當(dāng)點(diǎn)D在△EFG內(nèi)時(shí)，同時(shí)滿足S△DBC>eq\f(S,3)，S△DAC>eq\f(S,3)，∴所求概率P＝eq\f(S△EFG,S△ABC)＝eq\f(1,9).11．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax－b.若a、b都是區(qū)間[0,4]內(nèi)的數(shù)，則f(1)>0成立的概率是________．[答案]eq\f(9,32)[解析]∵0≤a≤4,0≤b≤4，∴點(diǎn)(a，b)構(gòu)成區(qū)域?yàn)檎叫蜲BDE及其內(nèi)部，∵f(1)＝－1＋a－b>0，∴a－b>1，滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成區(qū)域?yàn)椤鰽BC及其內(nèi)部，其中A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，S△ABC＝eq\f(9,2)，所求概率P＝eq\f(S△ABC,S四邊形OBDE)＝eq\f(\f(9,2),4×4)＝eq\f(9,32).三、解答題12．向邊長為2的正方形內(nèi)投飛鏢，用隨機(jī)模擬方法估計(jì)飛鏢落在中央邊長為1的正方形內(nèi)的概率．[解析]用幾何概型概率計(jì)算方法可求得概率P＝eq\f(S小正方形,S大正方形)＝eq\f(1,4).用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬這個(gè)試驗(yàn)步驟如下：S1用計(jì)數(shù)器n記錄做了多少次飛鏢試驗(yàn)，用計(jì)數(shù)器m記錄其中有多少次投在中央的小正方形內(nèi)，置初始值n＝0，m＝0；S2用函數(shù)rand()*4－2產(chǎn)生兩組－2～2的隨機(jī)數(shù)x，y，x表示所投飛鏢的橫坐標(biāo)，y表示所投飛鏢的縱坐標(biāo)；S3判斷(x，y)是否落在中央的小正方形內(nèi)，也就是看是否滿足|x|<1，|y|<1，如果是則m的值加1，即m＝m＋1；否則m值保持不變；S4表示隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)的記數(shù)器n的值加1，即n＝n＋1，如果還需要繼續(xù)試驗(yàn)，則返回步驟S2，否則，程序結(jié)束．程序結(jié)束后，飛鏢投在小正方形內(nèi)發(fā)生的頻率eq\f(m,n)表示概率的近似值，全班同學(xué)一塊試驗(yàn)，看頻率是否在eq\f(1,4)附近波動(dòng)，次數(shù)越多，越有可能穩(wěn)定在eq\f(1,4)附近．13．已知地鐵列車每10min一班，在車站停1min.用隨機(jī)模擬方法估計(jì)乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車的概率．[解析]地鐵列車每10min一班，在車站停1min可以看作在0～1min這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，車停在停車點(diǎn)，在1～11min這個(gè)時(shí)間段內(nèi)行駛，乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車的條件是他在0～1min這個(gè)時(shí)間段內(nèi)到達(dá)站臺(tái)．設(shè)事件A＝{乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車}．S1用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一組[0,1]區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)a1＝RAND；S2經(jīng)過伸縮變換a＝11*a114．在長為18cm的線段AB上任取一點(diǎn)M，并以線段AM為邊作正方形．用隨機(jī)模擬法估計(jì)該正方形的面積介于36cm2與81cm2之間的概率，并寫出算法．[解析]正方形的面積只與邊長有關(guān)，本題可以轉(zhuǎn)化為在線段AB上任取一點(diǎn)M，使AM的長度介于6cm與9cm之間．設(shè)事件A＝{正方形的面積介于36cm2與81cm2之間}(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一組0到1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)a1＝RAND；(2)經(jīng)過伸縮變換，a＝a1*18;算法為：INPUT“n＝”；nm＝0DOi＝1a＝18*rand()15．如圖，射擊比賽使用的靶子是一個(gè)邊長為50cm的正方形木板，由內(nèi)到外畫了五個(gè)同心圓，半徑分別為5cm,10cm,15cm,20cm,25cm，由內(nèi)到外依次為10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)，7環(huán)，6環(huán)．某人在20m之外向此板射擊，設(shè)擊中線上或沒有擊中靶子時(shí)不算，可重新射擊，假設(shè)擊中靶子上任意位置的可能性相等．用隨機(jī)模擬法估算下列概率：(1)得到8環(huán)以上(包括8環(huán))的概率；(2)得到9環(huán)的概率；(3)得到8環(huán)以下(不包括8環(huán))的概率．[解析]設(shè)事件A＝“得到8環(huán)以上(包括8環(huán))”，事件B＝“得到9環(huán)”，事件C＝“得到8環(huán)以下(不包括8環(huán))”．S1用計(jì)算器產(chǎn)生兩組[0,1]區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù)a1＝RAND，b1＝RAND……；16．利用隨機(jī)模擬法近似計(jì)算圖中陰影部分(曲線y＝9－x2與x軸和y＝x圍成的圖形)的面積．[解析]設(shè)事件A為“隨機(jī)向矩形內(nèi)投點(diǎn)，所投的點(diǎn)落在陰影部分”．(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組0到1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)，x1＝RAND，y1＝RAND；(2)經(jīng)過伸縮平移變換，x＝(x1－*6，y＝y(tǒng)1*9；設(shè)陰影部分的面積為S，矩形的面積為9×6＝54.由幾何概率公式得P(A)＝eq\f(S,54).所以，陰影部分面積的近似值為：S≈eq\f(54N1,N).17．利用隨機(jī)模擬法近似計(jì)算圖中陰影部分(曲線y＝eq\r(x)與直線x＝2及x軸圍成的圖形)的面積．[解析]設(shè)事件A“隨機(jī)向正方形內(nèi)投點(diǎn)，所投的點(diǎn)落在陰影部分”．S1用計(jì)數(shù)器n記錄做了多少次試驗(yàn)，用計(jì)數(shù)器m記錄其中有多少次(x，y)滿足y<eq\r(x)(所投的點(diǎn)落在陰影部分)．首先置n＝0，m＝0；S2用變換rand()*2產(chǎn)生0～2之間的均勻隨機(jī)數(shù)x表示所投點(diǎn)的橫坐標(biāo)；用變換rand()*2產(chǎn)生0～2之間的均勻隨機(jī)數(shù)y表示