電勢及其梯度課件

一、靜電場的環(huán)路定理1、點(diǎn)電荷電場點(diǎn)電荷電場中,移動試驗(yàn)電荷電場力所作的功結(jié)論:在點(diǎn)電荷的電場中，電場力對試驗(yàn)電荷所作的功與其移動時(shí)起始位置與終了位置有關(guān)，與經(jīng)歷的路徑無關(guān)。

§4電勢及其梯度Q+DC一、靜電場的環(huán)路定理1、點(diǎn)電荷電場點(diǎn)電荷電場中,移動試驗(yàn)電2、任意帶電體電場中任意帶電體→點(diǎn)電荷系任意點(diǎn)電荷系的電場力所作的功為每一項(xiàng)均與路徑無關(guān)，故它們的代數(shù)和也必然與路徑無關(guān)。3、靜電場的環(huán)路定理(Circulationtheoremofelectrostaticoffield)在真空中，一試探電荷在靜電場中移動時(shí)，靜電場力對它所作的功，僅與試驗(yàn)電荷的電量、起始與終了位置有關(guān)，而與試驗(yàn)電荷所經(jīng)過的路徑無關(guān)。靜電場力也是保守力，靜電場是保守場。2、任意帶電體電場中任意帶電體→點(diǎn)電荷系任意點(diǎn)電荷系的電場力在靜電場中，將試驗(yàn)電荷沿閉合路徑移到一周時(shí)，電場力所作的功為電場力作功與路徑無關(guān)定義：電場強(qiáng)度沿任意閉合路徑的線積分叫電場強(qiáng)度的環(huán)流。靜電場環(huán)路定理：在靜電場中，電場強(qiáng)度的環(huán)流為零。ABCD在靜電場中，將試驗(yàn)電荷沿閉合路徑移到一周時(shí)，電場力所作的功為例、在如圖所示的靜電場中,電場線的形狀是以o點(diǎn)為中心的同心圓弧,證明該部分電場強(qiáng)度與該點(diǎn)離o點(diǎn)的距離r成反比ro解、該部分電場強(qiáng)度具有球?qū)ΨQ性，僅與該點(diǎn)離o點(diǎn)的距離r有關(guān)，方向沿圓弧切線。利用環(huán)路定理，做一閉合回路例、在如圖所示的靜電場中,電場線的形狀是以o點(diǎn)為中心的同心圓二、電勢能

電荷在電場的一定位置上，具有一定的能量，叫做電勢能。CD定義:移動電荷過程中電勢能的減少等于靜電場力對電荷所作的功.電勢能的參考點(diǎn)選擇也是任意的，若取W∞=0，則電場中C點(diǎn)的電勢能為：結(jié)論：試探電荷q0在電場中C點(diǎn)的電勢能，等于把它從C點(diǎn)移到零電勢能處的過程中電場力所作的功。二、電勢能電荷在電場的一定位置上，具有一定的能量，叫做電勢三、電勢差、電勢1、電勢差定義:(1)實(shí)質(zhì):電場中C、D兩點(diǎn)的電勢差在數(shù)值上等于將單位正電荷C點(diǎn)移動至D點(diǎn)電場力所作的功(電勢能的減少)電勢差(2)描述電場本身在C、D兩點(diǎn)的性質(zhì),與電荷無關(guān)三、電勢差、電勢1、電勢差定義:(1)實(shí)質(zhì):電場中C、D兩2、電勢選某點(diǎn)為電勢參考點(diǎn),并令則A點(diǎn)電勢實(shí)質(zhì):電場中某點(diǎn)的電勢在數(shù)值上等于把單位正電荷從該點(diǎn)移到電勢為零的點(diǎn)時(shí)，電場力所作的功。2、電勢選某點(diǎn)為電勢參考點(diǎn),并令則A點(diǎn)電勢實(shí)質(zhì):電場中某點(diǎn)的電勢是標(biāo)量，有正有負(fù)；電勢的單位：伏特1V=1J.C-1；電勢決定于參考點(diǎn)的選擇,是相對量.電勢差是絕對量.參考點(diǎn)選擇是任意的,但必須使積分有意義.當(dāng)帶電體為有限大時(shí),可選擇無窮遠(yuǎn)處的電勢為零；但對于“無限大”或“無限長”的帶電體，只能在有限的范圍內(nèi)選取某點(diǎn)為電勢的零點(diǎn)。在實(shí)際工作中，通常選擇地面的電勢為零。電勢是標(biāo)量，有正有負(fù)；地與無窮遠(yuǎn)等電勢嗎?實(shí)際地球周圍大氣中有一個(gè)方向向下的靜電場,是地球所帶的負(fù)電荷和大氣中的等離子體產(chǎn)生的.若以無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn),地球的電勢

估算地球的帶電量:電離層(60km)與地球表面的電勢差:約30

0000V,晴天地表附近平坦地面處，電場強(qiáng)度100-200v/m地與無窮遠(yuǎn)等電勢嗎?實(shí)際地球周圍大氣中有一個(gè)方向向下的靜電場3、討論：電場力推動下電荷的運(yùn)動趨勢電場力推動下:3、討論：電場力推動下電荷的運(yùn)動趨勢電場力推動下:例1.計(jì)算點(diǎn)電荷電場的電勢.解:選無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)例1.計(jì)算點(diǎn)電荷電場的電勢.解:選無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)四、電勢疊加原理1、點(diǎn)電荷系電場的電勢電場由幾個(gè)點(diǎn)電荷q1，q2，…，qn產(chǎn)生點(diǎn)電荷系所激發(fā)的電場中某點(diǎn)的電勢，等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)的電勢的代數(shù)和。2、連續(xù)分布電荷電場的電勢線分布面分布體分布四、電勢疊加原理1、點(diǎn)電荷系電場的電勢電場由幾個(gè)點(diǎn)電荷q13、電勢的計(jì)算利用電勢的定義式(1)要注意參考點(diǎn)的選擇；(2)積分路徑上的場強(qiáng)的函數(shù)形式已知或可求。利用電勢的疊加原理(1)已知電荷的分布；(2)適用于電荷分布在有限的區(qū)域.步驟：(1)先算場強(qiáng)(2)選擇合適的路徑L(3)積分(計(jì)算)步驟(1)把帶電體分為無限多dq(2)由dq

dU(3)

U=

dU3、電勢的計(jì)算利用電勢的定義式(1)要注意參考點(diǎn)的選擇；利用例題1，均勻帶電圓環(huán)軸線上P點(diǎn)的電勢。已知電荷q均勻地分布在半徑為R的圓環(huán)上，求圓環(huán)的軸線上與環(huán)心相距x的點(diǎn)的電勢。解：在圓環(huán)上取一電荷元它在場點(diǎn)的電勢為積分得場點(diǎn)的電勢為Ox例題1，均勻帶電圓環(huán)軸線上P點(diǎn)的電勢。已知電荷q均勻地分布例題2，均勻帶電圓盤軸線的電勢。已知電荷q均勻地分布在半徑為a的圓盤上，求圓盤的軸線上與盤心相距x的點(diǎn)的電勢。解：在圓盤上取一半徑為r，寬度為dr的圓環(huán)，其電量為dq=σ2πrdr，在場點(diǎn)的電勢為場點(diǎn)的電勢為當(dāng)x>>a時(shí)把圓盤當(dāng)作一個(gè)點(diǎn)電荷例題2，均勻帶電圓盤軸線的電勢。已知電荷q均勻地分布在半徑為例題3，均勻帶電球殼的電勢。已知電荷q均勻地分布在半徑為R的球殼上，求空間各點(diǎn)的電勢。解：由高斯定理可求出電場強(qiáng)度的分布當(dāng)r>R時(shí),當(dāng)r≤R時(shí)RrVAB··選無窮遠(yuǎn)處為電勢參考點(diǎn)例題3，均勻帶電球殼的電勢。已知電荷q均勻地分布在半徑為R例題4，已知電荷q均勻地分布在半徑為R帶電球體上,求電勢。解：選無窮遠(yuǎn)處為電勢參考點(diǎn),由高斯定理可得電場強(qiáng)度當(dāng)r>R時(shí)當(dāng)r≤R時(shí)AB··例題4，已知電荷q均勻地分布在半徑為R帶電球體上,求電勢。AB··另解:AB··另解:例題5，求無限長均勻帶電直線的電場中的電勢分布。解：假設(shè)電荷線密度為l，則場強(qiáng)為：由此例看出，當(dāng)電荷分布擴(kuò)展到無窮遠(yuǎn)時(shí)，電勢零點(diǎn)不能再選在無窮遠(yuǎn)處。若仍然選取無窮遠(yuǎn)為電勢零點(diǎn)，則由積分可知各點(diǎn)電勢將為無限大而失去意義。選取距帶電直線為rB的B點(diǎn)為電勢零點(diǎn)，則距帶電直線為r的P點(diǎn)的電勢：方向垂直于帶電直線若令例題5，求無限長均勻帶電直線的電場中的電勢分布。解：假設(shè)電荷五、等勢面1、等勢面電場中電勢相等的點(diǎn)所構(gòu)成的面，叫做等勢面。即U(x,y,z)=C，的空間曲面。2、等勢面的性質(zhì)證明：將單位正電荷從等勢面上P點(diǎn)移到N點(diǎn)，電場力做功為零，▲除電場強(qiáng)度為零處外，電場線與等勢面正交?！葎菝孑^密集處場強(qiáng)大,較稀疏處場強(qiáng)小。規(guī)定：兩個(gè)相鄰等勢面的電勢差相等.五、等勢面1、等勢面電場中電勢相等的點(diǎn)所構(gòu)成的面，叫做等勢面3、典型的電場線與等勢面正點(diǎn)電荷負(fù)點(diǎn)電荷勻強(qiáng)電場4、應(yīng)用測量電勢分布，得到等勢面，在根據(jù)等勢面與電場強(qiáng)度的關(guān)系，定性畫出電場線。3、典型的電場線與等勢面正點(diǎn)電荷負(fù)點(diǎn)電荷勻強(qiáng)電場4、應(yīng)用測量六、電場強(qiáng)度與電勢的關(guān)系考慮兩個(gè)靠得很近的等勢面，電勢分別為U和U+ΔU，在等勢面上取兩點(diǎn)A和B，垂直間距為Δn，某點(diǎn)的場強(qiáng)沿任一方向的分量值，等于這一點(diǎn)的電勢沿該方向單位長度的電勢變化率。垂直于等勢面方向變化率最大UU+△UΔnABθ六、電場強(qiáng)度與電勢的關(guān)系考慮兩個(gè)靠得很近的等勢面，電勢分別為直角坐標(biāo)系注意:梯度:矢量的大小等于標(biāo)量函數(shù)在該點(diǎn)的最大變化率,方向沿著標(biāo)量函數(shù)增加的方向.1.電勢為常數(shù)的區(qū)域,電場強(qiáng)度為零.2.電勢等于零的點(diǎn),電場強(qiáng)度不一定為零.反之亦然.UU+△UABθ直角坐標(biāo)系注意:梯度:矢量的大小等于標(biāo)量函數(shù)在該點(diǎn)的最大變化例題1，求均勻帶電細(xì)圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的場強(qiáng)。解：細(xì)圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電勢為式中R為圓環(huán)的半徑。因而軸線上一點(diǎn)的場強(qiáng)為例題1，求均勻帶電細(xì)圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的場強(qiáng)。解：細(xì)圓環(huán)軸線上一例題2，求電偶極子電場中任一點(diǎn)的電勢和電場強(qiáng)度。

解：設(shè)A與+q和-q均在xoy平面內(nèi)，A到+q和-q的距離分別為r+和r-，+q和-q單獨(dú)存在時(shí)，A點(diǎn)的電勢為對于電偶極子，l<<r，所以xy例題2，求電偶極子電場中任一點(diǎn)的電勢和電場強(qiáng)度。解：設(shè)A與討論:電偶極子的延長線上:電偶極子的中垂線上:yo-q+q·x討論:電偶極子的延長線上:電偶極子的中垂線上:yo-q+q·偶極子的電場強(qiáng)度可在球坐標(biāo)系中對上式求梯度得到

偶極子的電場強(qiáng)度可在球坐標(biāo)系中對上式求梯度得到圖3-13電偶極子電力線與等位線分布圖圖3-13電偶極子電力線與等位線分布圖當(dāng)θ=0，cosθ=1時(shí)，電勢能最低，為Ep=-pE

；當(dāng)θ=π/2，cosθ=0時(shí)，電勢能為零；當(dāng)θ=π，cosθ=-1時(shí)，電勢能最大，為Ep=pE。從能量的觀點(diǎn)來看，能量越低，狀態(tài)越穩(wěn)定。因而，電偶極子電勢能最低的位置，即為穩(wěn)定平衡位置。因此，在電場中的電偶極子，總是有使自己轉(zhuǎn)向穩(wěn)定平衡位置的趨勢。例2.電偶極子在電場中的電勢能和平衡位置-q+qF+F-θl當(dāng)θ=0，cosθ=1時(shí)，電勢能最低，為Ep=-pE七、電偶極層+++---σσlθlcosθP電偶極層:兩面帶有符號相反的面電荷±σ,厚度為l的薄層.七、電偶極層+