2022屆（全國(guó)乙卷）理科數(shù)學(xué)模擬試卷四（學(xué)生版+解析版）

保密★啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬卷四

（全國(guó)乙卷?理科）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

題號(hào)—二三總分

得分

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡

上.寫在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

評(píng)卷人得分

一、單選題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小

題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.（本題5分）下列選項(xiàng)中，是“0是集合"=｛巾加+2犬+1=0,。“｝的真子集”成立的

必要不充分條件的是（）

A.^e（-oo,0）B.?e（-oo,0]

C.（-oo,llD.ae<-oo,2）

1-i

2.（本題5分）設(shè)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，若一^是實(shí)數(shù)，則』二（）

z+2

A.-2iB.-iC.iD.2i

3.（本題5分）已知｛a〃｝,｛瓦｝是兩個(gè)等差數(shù)列，其中公=3,3=-3,且。2。一岳0=6,

那么〃io—810的值為（）

A.-6B.6C.0D.10

4.（本題5分）已知平面向量聯(lián)工的夾角為（，且立|=2,|后=1，則|>2萬(wàn)=（）

A.4B.2C.1D.76

5.（本題5分）角a終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2+6,1）,若把a(bǔ)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)今后得到夕，則

tan夕=（）

A.3B.>/3C.—3D.—\/3

6.（本題5分）中國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該

幾何體為上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個(gè)如

圖所示的曲池，其高為3,抽，底面，底面扇環(huán)所對(duì)的圓心角為I■JT,弧AO長(zhǎng)度為弧

8c長(zhǎng)度的3倍，且8=2,則該曲池的體積為（)

7.（本題5分）恩格爾系數(shù)（EngersCo辦cie”）是食品支出總額占個(gè)人消費(fèi)支出總額的比重.

居民可支配收入是居民可用于最終消費(fèi)支出和儲(chǔ)蓄的總和，即居民可用于自由支配的收

入.如圖為我國(guó)2013年至2019年全國(guó)恩格爾系數(shù)和居民人均可支配收入的折線圖.

恩格爾系數(shù)

居民人均可支配收入

給出三個(gè)結(jié)論:

①恩格爾系數(shù)與居民人均可支配收入之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系;

②一個(gè)國(guó)家的恩格爾系數(shù)越小，說(shuō)明這個(gè)國(guó)家越富裕;

③一個(gè)家庭收入越少，則家庭收入中用來(lái)購(gòu)買食品的支出所占的比重就越小.

其中正確的是（）

A.①B.②C.①②D.②③

8.（本題5分）若以b、c是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（）

A.若a//6〃c,則a.b.c共面B.若瓦c過(guò)同一點(diǎn)，則。、匕、＜?共面

C.若a_Lc,6_Lc,則a//6D.若a//b,aLc,貝l］）_Lc

9.（本題5分）一條鐵路有〃個(gè)車站，為適應(yīng)客運(yùn)需要，新增了，"個(gè)車站，且知機(jī)＞1,

客運(yùn)車票增加了62種，則現(xiàn)在車站的個(gè)數(shù)為（）

A.15B.16C.17D.18

10.（本題5分）已知函數(shù)〃x）=sin（s+??＞0）,將/（x）的圖象向右平移焉個(gè)單

位得到函數(shù)g（x）的圖象，點(diǎn)A,B,C是“X）與g（x）圖象的連續(xù)相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，若

△ABC是鈍角三角形，則。的取值范圍是（

11.（本題5分）設(shè)x,y,z＞0,?=4x+-,ft=4y+i,c=4z+-,貝！|a也c三個(gè)數(shù)（）

yzx

A.都小于4B.至少有一個(gè)不大于4

C.都大于4D.至少有一個(gè)不小于4

22

12.（本題5分）如圖所示A,B,C是雙曲線0-方=1（。＞0,。＞0）上的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)A,

8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，線段AC經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)尸，若即FAC且忸尸|=|FC|,則該雙曲線的離

C.同D,巫

2

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.體題5分）已知（x-l）3（x+a）2（awZ）的展開式中x的系數(shù)等于8,則a等于

14.（本題5分）正四面體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)表面積是36%的球面上，則該正四面體

的棱長(zhǎng)是.

15.（本題5分）己知數(shù)列｛叫滿足41k+也=2+。m，且q=l,1=1,則｛q｝的通項(xiàng)

4n3

16.（本題5分）蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)運(yùn)算體系的研究，最

終找到了簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算的有效工具，發(fā)明了對(duì)數(shù)，這是數(shù)學(xué)史上的大事件.他的朋友布

里格斯構(gòu)造了現(xiàn)在常用的以10為底的常用對(duì)數(shù)Igx,并出版了常用對(duì)數(shù)表，以下是部

分?jǐn)?shù)據(jù)（保留到小數(shù)點(diǎn)后三位），瑞士數(shù)學(xué)家歐拉則在1770年指出了“對(duì)數(shù)源于指數(shù)”,

根據(jù)下表中的參考數(shù)據(jù)和指對(duì)數(shù)之間關(guān)系，判斷下面的結(jié)論，其中正確的序號(hào)是

①在區(qū)間（此⑹）內(nèi)；

②250是15位數(shù);

③若=kx10m（l<k<10,meZ）,則，〃=—9；

④若W0°（m€N*）是一個(gè)70位正整數(shù)，則m=5.

參考數(shù)據(jù)如下表：

真數(shù)X235711131719

1gX（近似值）03010.4770.6990.8451.0411.1141.2301.279

評(píng)卷人得分三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟，第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、

23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）

（一）必考題：共60分

17.（本題12分）已知△ABC中，asinA=Z>sinB.

（1）證明：a=b；

（2）若c=LacosA-sinC,求△ABC的面積.

18.（本題12分）正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景，生產(chǎn)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中很多隨機(jī)變量的概

率分布都可以近似地用正態(tài)分布來(lái)描述.例如，同一種生物體的身長(zhǎng)、體重等指標(biāo).隨

著“綠水青山就是金山銀山'’的觀念不斷的深入人心，環(huán)保工作快速推進(jìn)，很多地方的環(huán)

境出現(xiàn)了可喜的變化.為了調(diào)查某水庫(kù)的環(huán)境保護(hù)情況，在水庫(kù)中隨機(jī)捕撈了100條魚

稱重.經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，魚的重量x（單位：kg）近似服從正態(tài)分布X~N（2Q2）,

如圖所示，已知尸(x<0.5)=0.04,P(x<1.5)=0.26.

(1)若從水庫(kù)中隨機(jī)捕撈一條魚，求魚的重量在［2.5,3.5］內(nèi)的概率;

(2)從捕撈的100條中隨機(jī)挑出6條魚測(cè)量體重，6條魚的重量情況如表.

重量范圍(單位：kg)[0.5,1.5)[1.5,2.5)[2.5,3.5]

條數(shù)132

①為了進(jìn)一步了解魚的生理指標(biāo)情況，從6條魚中隨機(jī)選出3條，記隨機(jī)選出的3條魚

中體重在［2.5,3.5］內(nèi)的條數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

②若將選剩下的94條魚稱重微標(biāo)記后立即放生，兩周后又隨機(jī)捕撈1000條魚，發(fā)現(xiàn)其

中帶有標(biāo)記的有2條.為了調(diào)整生態(tài)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)種群的優(yōu)化，預(yù)備捕撈體重在［2.5,3.5］

內(nèi)的魚的總數(shù)的40%進(jìn)行出售，試估算水庫(kù)中魚的條數(shù)以及應(yīng)捕撈體重在［253.5］內(nèi)的

魚的條數(shù).

19.(本題12分)如圖，在四棱錐中，ABLCE,AE±CD,BC//AD,AB=3,

CD=4,AD=2BC=1Q.

(1)證明：NAE。是銳角；

(2)若AE=10,求二面角4-8E-C的余弦值.

,2

20.(本題12分)已知橢圓G：二+與=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為6、瑪，P為橢

a~h-

圓上的一點(diǎn)，△PK鳥的周長(zhǎng)為6,過(guò)焦點(diǎn)的弦中最短的弦長(zhǎng)為3；橢圓c的右焦點(diǎn)為拋

物線G：V=2px的焦點(diǎn).

(1)求橢圓C1與拋物線C?的方程;

(2)過(guò)橢圓G的右頂點(diǎn)。的直線/交拋物線G于A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)。為原點(diǎn)，射線。4、

。8分別交橢圓于C、。兩點(diǎn)，的面積為，，以A、C、。、8為頂點(diǎn)的四邊形的

面積為邑，問(wèn)是否存在直線/使得邑若存在，求出直線/的方程；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

jr

21.(本題12分)已知函數(shù)/(x)=or2_cosx,xe0,—.

(1)當(dāng)。=-；時(shí)，求的值域；

(2)討論/(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(二)選考題:共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做.則按所做

的第一題計(jì)分.

[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

(x=2cos，

22.(本題10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為4."(。為參數(shù))，直

[y=4sin0

fx=-l+fcosa

線/的參數(shù)方程為C.(f為參數(shù)).

[y=2+fsina

(1)求C和/的普通方程；

(2)若曲線C截直線/所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2),求/的斜率.

[選修4—5:不等式選講]

23.(本題10分)已知函數(shù)〃x)=k+d+2k-1].

(1)當(dāng)。=2時(shí)，求不等式/(對(duì)44的解集；

(2)若上?1,2],使得不等式〃x)>d成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

保密★啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬卷四

（全國(guó)乙卷?理科）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

題號(hào)—二三總分

得分

注意事項(xiàng)：

i.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡

上.寫在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

評(píng)卷人得分

一、單選題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小

題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.（本題5分）下列選項(xiàng)中，是“0是集合/={*|浸+2X+1=0,4€1<}的真子集”成立的

必要不充分條件的是（）

A.a€（-oo,0）B.ae（Y?,0]

C.ae（^x>,l]D.aG（^X>,2）

【答案】D

【分析】

由題意可知M蠱，即方程62+2、+1=0有實(shí)數(shù)解，當(dāng)。=0時(shí)，符合題意，當(dāng)4H0時(shí)，

由A=4-4心0解得。的范圍即為“0是集合M={x|加+2x+l=0,aeR}的真子集”成

立的充要條件，即為所選選項(xiàng)的真子集，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

【詳解】

若“0是集合M={x|加+2x+l=0,aeR}的真子集”

所以M=^x\ax2+2x+l=0,aeR10,

所以方程加+2x+l=0有實(shí)數(shù)解，

當(dāng)。=0時(shí)，由2x+l=0可得x=符合題意，

當(dāng)4H0時(shí)，由AMd—daNO可得aWl,

所以。工1且Q工0,

綜上所述：M=｛x|ar2+2x+l=O,aeR｝H0的充要條件為awl；

即“0是集合M=｛x|加+2x+l=0,aeR｝的真子集”成立充要條件為。41；

所選集合是的必要不充分條件，貝應(yīng)是所選集合的真子集,

由選項(xiàng)判斷A,B,C都不正確，選項(xiàng)D正確;

故選：D.

l-i

2.（本題5分）設(shè)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，若是實(shí)數(shù)，則4=（)

z+2

A.-2iB.—iC.iD.2i

【答案】D

【分析】

設(shè)2=加（"€氏人工0）,由二是實(shí)數(shù)得到b=_2,即得解.

【詳解】

設(shè)z=bi(beR,6w0),

1-zl-i(l-i)(2-/?i)_2-h-(2+b)i,

所以

z+2一例+2(2+方)(2—6)--4+P正

所以2+b=0,「.b=-2.

所以z=-2i,/.z=2i.

故選：D

3.（本題5分）已知｛a〃｝,｛瓦｝是兩個(gè)等差數(shù)列,其中〃1=3,3=-3,且3）一岳o=6,

那么aio一從0的值為（）

A.-6B.6C.0D.10

【答案】B

【分析】

由于｛〃〃｝,｛/M都是等差數(shù)列，所以｛?！ㄒ??！ǎ彩堑炔顢?shù)列，由已知條件可得｛小一?！ǎ?/p>

常數(shù)列，從而可求得答案

【詳解】

由于｛〃〃｝,仍〃｝都是等差數(shù)列，所以｛為一小）也是等差數(shù)列，

而0—〃]=6,〃20—岳0=6,所以｛?！ㄒ怀穑浅?shù)列，

故00—。|0=6.

故選：B.

4.（本題5分）已知平面向量之工的夾角為?，且|i=2,4|=1，貝iJ|>2升=（）

A.4B.2C.1D.R

【答案】B

【分析】

先求解|￡-2功的平方，因?yàn)閨Z-2訐=,-2勾’利用平面向量相關(guān)的運(yùn)算法則求解出

結(jié)果，開方后求得|。-2坂|

【詳解】

|&-2邸=（。-2石）-a-4ab-\-4b-4|a|?|fe|cosy+4|fe|~

因?yàn)橄蛄?力的夾角為且|/=2,向=1，

所以|。一28『=4-4x2xg+4=4,|a-2b\=2

故選：B

5.體題5分）角。終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)-2+61）,若把a(bǔ)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)彳后得到夕，則

tan/=（）

A.3B.\/3C.-3D.—^3

【答案】B

【分析】

-JT

先求出tana的值，由條件可得尸=a+f,由正切的和角公式可得答案.

4

【詳解】

角a終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（2+6,1）.則tana=五%=2-6

把a(bǔ)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)涓得到幾所以￡

1+tana1+2-G

所以tan/?=tan=下)

1-tana1-(2-

故選：B

6.（本題5分）中國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該

幾何體為上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個(gè)如

TT

圖所示的曲池，其高為3,蝴J?底面，底面扇環(huán)所對(duì)的圓心角為,，弧A。長(zhǎng)度為弧

BC長(zhǎng)度的3倍，且CD=2,則該曲池的體積為（）

11〃

C.-----D.57r

2

【答案】B

【分析】

利用柱體體積公式求體積.

【詳解】

不妨設(shè)弧A。所在圓的半徑為心弧BC所在圓的半徑為心由弧A。長(zhǎng)度為弧8c長(zhǎng)度

的3倍可知R=3r,CD=R-r=2r=2,即r=l.故該曲池的體積

V=^x（/?2-r2）x3=6^.

故選：B

7.（本題5分）恩格爾系數(shù)（E〃ge「sCo助7cM〃）是食品支出總額占個(gè)人消費(fèi)支出總額的比重.

居民可支配收入是居民可用于最終消費(fèi)支出和儲(chǔ)蓄的總和，即居民可用于自由支配的收

入.如圖為我國(guó)2013年至2019年全國(guó)恩格爾系數(shù)和居民人均可支配收入的折線圖.

201220132014201520162017201820192020

給出三個(gè)結(jié)論:

①恩格爾系數(shù)與居民人均可支配收入之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系；

②一個(gè)國(guó)家的恩格爾系數(shù)越小，說(shuō)明這個(gè)國(guó)家越富裕；

③一個(gè)家庭收入越少，則家庭收入中用來(lái)購(gòu)買食品的支出所占的比重就越小.

其中正確的是（）

A.①B.②C.①②D.②③

【答案】C

【分析】

通過(guò)對(duì)2013年至2019年全國(guó)恩格爾系數(shù)和居民人均可支配收入的折線圖的分析，了解

兩者間的相關(guān)性而作出判斷.

【詳解】

由折線圖可知，恩格爾系數(shù)在逐年下降，居民人均可支配收入在逐年增加，

故兩者之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系，結(jié)論①正確；

恩格爾系數(shù)越小，居民人均可支配收入越多，經(jīng)濟(jì)越富裕，結(jié)論②正確；

家庭收入越少，人們?yōu)榻鉀Q溫飽問(wèn)題，收入的大部分用來(lái)購(gòu)買食品，結(jié)論③錯(cuò)誤.

故選：C

8.（本題5分）若a,"c是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（）

A.若a〃萬(wàn)〃c,則a、/c共面B.若a、"c過(guò)同一點(diǎn)，則。,"c共面

C.若a_Lc,，_Lc,則a//bD.若a"b”c,則人_Lc

【答案】D

【分析】

ABC三項(xiàng)舉出反例即可說(shuō)明，D選項(xiàng)結(jié)合線線關(guān)系即可判定.

【詳解】

A設(shè)“力確定的平面為a,當(dāng)c//a時(shí)，瓦。不共面，故A錯(cuò)誤；

B不妨設(shè)a*、c為三棱錐的三條側(cè)梭所在直線，顯然a、Rc共點(diǎn)，但是a*、c不共面，

故B錯(cuò)誤；

C若a,b為平面a內(nèi)的兩條直線，且c，a,顯然滿足,但是不一定平行，

故C錯(cuò)誤；

D若則b_Lc,故D正確；

故選：D.

9.（本題5分）一條鐵路有〃個(gè)車站，為適應(yīng)客運(yùn)需要，新增了相個(gè)車站，且知

客運(yùn)車票增加了62種，則現(xiàn)在車站的個(gè)數(shù)為（）

A.15B.16C.17D.18

【答案】C

【分析】

由題意得A",-A；=62,化簡(jiǎn)計(jì)算可得〃=衛(wèi)-咚1,由于機(jī)>1,〃>o,可得名>=

從而可求出1<〃?W8,經(jīng)驗(yàn)證可得答案

【詳解】

原來(lái)九個(gè)車站有A；種車票，新增了，“個(gè)車站，有AL種車票，

由題意得A；+n,-A；=62,gp(m+n)(m+n-1)-n(n-1)=62,

整理得2/WI+，/—m=62,n--------,

m2

Vm>\,n>0,—>----,m2-m-62<0>解得［<〕+'49,即1<加<8.

m22

當(dāng)帆=3,4,5,6,7,8時(shí)，〃均不為整數(shù)，只有當(dāng)帆=2時(shí)，〃=15符合題意，

：.m+n=ll,故現(xiàn)在有17個(gè)車站.

故選：C.

10.(本題5分)已知函數(shù)〃x)=sin(s+??>0),將/(x)的圖象向右平移焉個(gè)單

位得到函數(shù)g(x)的圖象，點(diǎn)A,B,C是與g(x)圖象的連續(xù)相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，若

△ABC是鈍角三角形，則。的取值范圍是(

D.。丁

【答案】D

【分析】

由函數(shù)圖象的平移可得g(x)=cos("v-g),作出函數(shù)的圖象，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與

性質(zhì)、平面幾何的知識(shí)即可得出四<1,即可得解.

兀

【詳解】

由條件可得，g(x)=cos(0x—1),作出兩個(gè)函數(shù)圖象，如圖：

山對(duì)稱性可得△ABC是以￡）3為頂角的等腰三角形，AC=T=—=2CD.

co

由COSGX=COS（/X-,^3.Wcosa）x=y/3sincox,得cosGX二土牛，

則%=—%=*,所以5D=2|yJ=6,

TT

要使“IBC為鈍角三角形，只需NAC8<：即可，

4

由tanNACB=<1,所以0<（y<無(wú)無(wú).

DC7i3

故選：D.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理轉(zhuǎn)化條件，得到

關(guān)于。的不等式，運(yùn)算即可.

11.（本題5分）設(shè)x,y,z>0,a=4x+-,/>=4y+-,c=4z+-,則a,b,c三個(gè)數(shù)（）

yzx

A.都小于4B.至少有一個(gè)不大于4

C.都大于4D.至少有一個(gè)不小于4

【答案】D

【分析】

由題意知利用反證法推出矛盾，即可得正確答案.

【詳解】

假設(shè)三個(gè)數(shù)4x+1<4且4y+1<4且4z+L<4,相加得：

yzx

T+4x+：+4），+!+4z<12,由基本不等式得：

—+4x.4；—+4y..4.-+4z..4；

xyz

相加得：-+4^+-+4y+-+4z..l2,與假設(shè)矛盾；

xyz

所以假設(shè)不成立，

三個(gè)數(shù)4彳+上、4)，+,、4z+L至少有一個(gè)不小于4.

yzx

故選￡).

【點(diǎn)睛】

本題考查反證法和基本不等式的應(yīng)用，屬于?簡(jiǎn)單題.

22

12.(本題5分)如圖所示A,B,C是雙曲線,一方=l(a>0,6>0)上的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)A,

8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，線段AC經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)/，若BF_LAC且忸尸|=|尸C|,則該雙曲線的離

【答案】D

【分析】

分別設(shè)出AC坐標(biāo)利用幾何條件將C坐標(biāo)表達(dá)出后代入雙曲線方程，整理出離心率表

達(dá)式，并代入選項(xiàng)驗(yàn)證即可得解

【詳解】

由題意可得在直角三角形ABE中，。尸為斜邊AB上的中線，所以

\AB\=2\OA[=2\OF\=2C

m2+n2=c2'-----,

設(shè)且在第一象限，貝I滿足小n2解得m=/"#=匚

----r=lcc

ac

..（a\]c2+b2/]fayJc2+b2b2）,、

所以A-------,B---------------,--—F（c,OM）設(shè)C（x,y）

-----OA2

因?yàn)?尸J_AC則士----1—=T,化簡(jiǎn)得—-?-;一/,,=-1……(D

x-cJcf2+b-x-cc2+Vc2+&2

--a-y--------C

C

，1~~2?2Y/,2、2

|BF|=|FC|則c+aslC++—=(x-c)，V將①代入后可分別化簡(jiǎn)得

Ic)

b2+C1c2+ay/c2+h2m+c2c'++b~

CcIcc)

將c好半逵代入雙曲線方程，可化簡(jiǎn)為)。2+從(從-/)="3

\7

因?yàn)樵陔p曲線中廿=’2一",《=￡所以上式為

a

(b2-a2)=ylc2+c2-a2(c2-a2-a2)=y[2c^(c2-2a2)=a3

即J2c2—/(土卻)=1整理為(e2_2)J(2e2T=1

aa2V

將選項(xiàng)代入驗(yàn)證，D選項(xiàng)滿足等式

故選：D

評(píng)卷人得分

二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.(本題5分)已知已-l)3(x+a)2(awZ)的展開式中x的系數(shù)等于8,則。等于

【答案】2

【分析】

把(kip和(x+a『(aeZ)展開，根據(jù)展開式中X的系數(shù)等于8,求出。的值.

【詳解】

解：；(x-l)3(x+a)2=(x3-3x，+3x-l)(x2+1ax+a2),

4

所以展開式中x的系數(shù)等了3/一2a=8，解得a=2或a=-：,

因?yàn)閍eZ,所以a=2.

故答案為：2.

14.(本題5分)正四面體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)表面積是36%的球面上，則該正四面體

的棱長(zhǎng)是.

【答案】2"

【分析】

將正四面體還原為一個(gè)正方體，由正四面體和正方體內(nèi)接同一球求解.

【詳解】

如圖所示：

因?yàn)檎拿骟w內(nèi)接于球，則相應(yīng)的一個(gè)正方體內(nèi)接球，設(shè)正方體為4BCO-4BCR

則正四面體為A-cqq,

設(shè)球的半徑為R,則4兀代=36萬(wàn)，

解得R=3,

所以=6則正方體的棱長(zhǎng)為26，

所以正四面體的棱長(zhǎng)為四=2",

故答案為：2屈

15.(本題5分)已知數(shù)列｛q｝滿足也+曝=2+4+|,且4=1，4=：,則｛可｝的通項(xiàng)

an+2an3

公式/=?

2

［答案］而可

【分析】

由已知條件可得-------------------=1,從而有1--------1是以2為首項(xiàng)，1為公

差的等差數(shù)列，-—=2+(n-l)=n+l,最后利用累加法及等差數(shù)列的前

a

??+l?

〃項(xiàng)和公式即可求解.

【詳解】

111c

由4=1,氏=；得------=2,

一3七4

所以「是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列,

U+Ian）

所以^-----=2+（n-l）=n+l,

%冊(cè)

/\n(n+\)

=〃+(〃-1)+…+2+1=—^--

2

所以勺=/.n，

當(dāng)〃=1時(shí)，q=1也適合上式,

2

所以""=許’

2

故答案為：麗?

16.（本題5分）蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)運(yùn)算體系的研究，最

終找到了簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算的有效工具，發(fā)明了對(duì)數(shù)，這是數(shù)學(xué)史上的大事件.他的朋友布

里格斯構(gòu)造了現(xiàn)在常用的以10為底的常用對(duì)數(shù)Igx,并出版了常用對(duì)數(shù)表，以下是部

分?jǐn)?shù)據(jù)（保留到小數(shù)點(diǎn)后三位），瑞士數(shù)學(xué)家歐拉則在1770年指出了“對(duì)數(shù)源于指數(shù)”，

根據(jù)下表中的參考數(shù)據(jù)和指對(duì)數(shù)之間關(guān)系，判斷下面的結(jié)論，其中正確的序號(hào)是

①在區(qū)間（io61。7）內(nèi)；

②250是15位數(shù);

③若3金=4x10ra（l<^<10,weZ）,則，〃=一9；

④若mm（meN*）是一個(gè)70位正整數(shù)，則m=5.

參考數(shù)據(jù)如下表：

真數(shù)X235711131719

1gX（近似值）03010.4770.6990.8451.0411.1141.2301.279

【答案】①④

【分析】

利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出/gN,由此分析求解即可.

【詳解】

解：41°=(22「=22'>,則年4|°=怛22。=201g2=20x0.301=6.02,所以4°式此0)，

故①正確；

因?yàn)閘g250=501g2a50x0.301=15.05,所以2、。式爐加館)，即？5。是16位數(shù)，故②錯(cuò)

誤；

因?yàn)閻?-2。=-201g3?-20x0.477=-9.54,即3口>=10-954=10046xlOl0.所以

3@=kxl0”(l?k<10,meZ),則加=-10,則③錯(cuò)誤；

因?yàn)?g加00=1001g”？，因?yàn)?""("zeN*)是一個(gè)70位正整數(shù)，所以6941001gm<70,

所以0.69Wlg，〃<0.7,所以加=5,故④正確

故答案為：①④

評(píng)卷人得分三、解答題(共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟，第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、

23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.)

(-)必考題：共60分

17.(本題12分)己知△A5C中,6zsinA=Z>sinB.

(1)證明：a=b；

(2)若c=l,acosA=sinC,求△ABC的面積.

【答案】

(1)證明見(jiàn)詳解1

⑵L3或1一3

2424

【分析】

(1)利用正弦定理即可得證；

(2)利用正弦定理求出NC,利用余弦定理求出利用三角形的面積公式可得解.

(1)

證明：在三角形△A8C中，根據(jù)正弦定理二=一二

sinAsinB

XvtzsinA=/?sinB

2=b2,即。=從得證

解：由上式可知。=/?,ZA=ZB

根據(jù)正弦定理

sinAsinC

又,.,<?=1

sinC=sin（萬(wàn)-2A）=sin2A=

acosA=sinC

故NC=J或NC=］

66

根據(jù)余弦定理有a2+h2-2ahcosC=2a2-2a2cosC=c2=1

cosC=—或cosC=-正

22

代入上面式子可得/=2+6或/=2-G

2

所以當(dāng)NC=g時(shí)，S.HC=—absinC=—asinC=-x（2+>/3）x—=1+—

6SHC222224

2

當(dāng)時(shí),S.?c=—a/jsinC=-asinC=—x（2->^）x—=—

6“比222224

18.（本題12分）正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景，生產(chǎn)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中很多隨機(jī)變量的概

率分布都可以近似地用正態(tài)分布來(lái)描述.例如，同一種生物體的身長(zhǎng)、體重等指標(biāo).隨

著“綠水青山就是金山銀山'’的觀念不斷的深入人心，環(huán)保工作快速推進(jìn)，很多地方的環(huán)

境出現(xiàn)了可喜的變化.為了調(diào)查某水庫(kù)的環(huán)境保護(hù)情況，在水庫(kù)中隨機(jī)捕撈了100條魚

稱重.經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，魚的重量x（單位：kg）近似服從正態(tài)分布x?NQQ?）,

如圖所示，已知?（尤<Q5）=0.04,P（x<l.5）=0.26.

1.523.5x

（1）若從水庫(kù)中隨機(jī)捕撈一條魚，求魚的重量在［2.5,3.5］內(nèi)的概率;

(2)從捕撈的100條中隨機(jī)挑出6條魚測(cè)量體重，6條魚的重量情況如表.

重量范圍(單位：kg)[0.5,1.5)[1.5,2.5)[2.5,3.5]

條數(shù)132

①為了進(jìn)一步了解魚的生理指標(biāo)情況，從6條魚中隨機(jī)選出3條，記隨機(jī)選出的3條魚

中體重在［253.5］內(nèi)的條數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

②若將選剩下的94條魚稱重微標(biāo)記后立即放生，兩周后又隨機(jī)捕撈1000條魚，發(fā)現(xiàn)其

中帶有標(biāo)記的有2條.為了調(diào)整生態(tài)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)種群的優(yōu)化，預(yù)備捕撈體重在［2.5,3.5］

內(nèi)的魚的總數(shù)的40%進(jìn)行出售，試估算水庫(kù)中魚的條數(shù)以及應(yīng)捕撈體重在［253.5］內(nèi)的

魚的條數(shù).

【答案】

(1)0.22；

(2)①分布列見(jiàn)詳解；1；②47000；4136.

【分析】

(1)根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性有

PQ.5<x<3.5)=P(0.5<x<1.5)=P(x<1.5)-P(x<0.5),計(jì)算后即可得出答案；

(2)①隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,根據(jù)超幾何分布的概率求法求出各種

情況的概率，可得到其分布列，再由公式求出數(shù)學(xué)期望；

②設(shè)水庫(kù)中共有N條魚，根據(jù)題意有含=詈，先求出N,又由(1)可知

P(2.5<x<3.5)=0.22,從而可求巾應(yīng)捕撈體重在［2.5,3.5］內(nèi)的魚的條數(shù).

(1)

解：已知魚的重量》(單位：kg)近似服從正態(tài)分布X~N(2Q2),

由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，

P(2.5<x<3.5)=尸(0.5<x<1,5)=P(x<1.5)-P(x<0.5)=0.26-0.04=0.22,

所以從水庫(kù)中隨機(jī)捕撈一條魚，魚的重量在［2.5,3.5］內(nèi)的概率為0.22.

(2)

解：①挑出6條魚中，體重在［2.5,3.5］內(nèi)有2條，則從6條魚中隨機(jī)選出3條,

得隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,

CC：4

尸(X=0)=

-CT=2O：

…喈吟

2]

p（X=2）=^r^C=—4;

c；20'

所以X的分布列為:

X012

4124

P

202020

41?4

數(shù)學(xué)期望E（X）=0x——+lx——+2x——=l.

V7202020

②設(shè)水庫(kù)中共有N條魚，根據(jù)題意有

942

貝i］N=竺四x94=47000（條），

2

所以估計(jì)水庫(kù)中有47000條魚；

由（1）可知P（2.54x43.5）=0.22,

則體重在［2.5,3.5］內(nèi)的魚應(yīng)捕撈47000x0.22x0.4=4136（條）.

19.（本題12分）如圖，在四棱錐E-ABCZ）中，ABVCE,AE1CD,BC//AD,AB=3,

CD=4,AD=2BC=l0.

(1)證明：NAEZ)是銳角；

(2)若AE=10,求二面角A-BE-C的余弦值.

【答案】

(I)證明見(jiàn)解析

g6V109

109

【分析】

(1)延長(zhǎng)AB,DC交于點(diǎn)M,結(jié)合已知條件利用線面垂直判定定理和性質(zhì)證明廊_1平

面ABCD,然后利用勾股定理和余弦定理即可證明；

(2)結(jié)合已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BCE和平面ABE的法向量，然

后利用二面角的空間向量公式求解即可.

(1)

延長(zhǎng)AB、QC交于點(diǎn)M,連接EM,如下圖所示:

因?yàn)锽C〃AO,AD=2BC=]Q,所以8C為AAW的中位線,

從而AB=BM=3,CD=CM=4,BC=5,

所以BA^+C”=8C，故C￡)_LAB,

又因?yàn)锳8_LCE,AE1CD,CEcCD=C,ABC)AE=A,

所以平面CD,平面40E,

因?yàn)镸Eu平面。EM,MEu平面

所以ME_LAB,MEVCD,

因?yàn)??nC￡>=M,所以ME,平面ABC。,

令ME=/>0,AE-=AM2+ME2=36+t2,DE2=DM2+ME2=(A+t2,

所以cosNAEO=----------->0,

2AEDEAEDE

所以NA￡￡>是銳角.

(2)

以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系:

由題意可知，A(0,-6,0),B(0,-3,0),￡(0,0,8),C(-4,0,0),0(-8,0,0),M(0,0,0),

故3〉=(-4,3,0)>BE=(0,3,8)-CD=(T,0,0),

設(shè)平面BCE的法向量為〃=(如必,zj，

BCn=OJ-4x,+3j>,=0

BEn=Q[3y+8Z|=0,令X=8,則%=6,A=-3,

從而n=(6,8,-3),

因?yàn)镃D_L平面4WE,所以0,0)是平面ABE的一個(gè)法向量，

由圖可知，二面角A—BE—C為鈍二面角6，

—>—>

I，\n-CD\6V109

故cos<Q9=_+一

\n\\CD\109

從而二面角A-BE-C的余弦值一5場(chǎng).

109

22

20.(本題12分)已知橢圓C：；+g=l(a>〃>0)的左、右焦點(diǎn)分別為6、F2,尸為橢

圓上的一點(diǎn)，△尸耳傷的周長(zhǎng)為6,過(guò)焦點(diǎn)的弦中最短的弦長(zhǎng)為3；橢圓C1的右焦點(diǎn)為拋

物線C/y2=2px的焦點(diǎn).

(1)求橢圓G與拋物線Cz的方程;

(2)過(guò)橢圓G的右頂點(diǎn)。的直線/交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)。為原點(diǎn)，射線04、

。8分別交橢圓于C、O兩點(diǎn)，AOCD的面積為5，以A、C、D、B為頂點(diǎn)的四邊形的

面積為邑，問(wèn)是否存在直線/使得$2=^E?若存在，求出直線/的方程；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】

(1)橢圓的方程反+$=1,拋物線的方程為V=4x

43

(2)存在直線/,方程為x-y_2=0或者x+y-2=0.

【分析】

(1)由焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)，通徑和橢圓的關(guān)系式可求。，瓦。，進(jìn)而求解G，G；

(2)設(shè)/的方程為x=“y+2,設(shè)A(X],yJ、8(%,%)、C(玉，為)、。(七，乂)，聯(lián)立直

線與拋物線方程，得出關(guān)于M，%的韋達(dá)定理，再通過(guò)直線方程聯(lián)立橢圓方程求

S11OA|.|OB|sinZAOB

出打，兀，結(jié)合正弦面積公式之詈=?---------------------進(jìn)一步化簡(jiǎn)即可求解.

1-1OC|?|OD|sinZCOD

(1)

由題意得

2a+2c=6

a=2

2b2

—=3,解得,<h=y/3

a

c=l

a~2=bi~2+c"2

,>2

所以橢圓的方程上+匯=1，拋物線的方程為V=4x；

43

（2）

山題意得

直線/的斜率存在且不為0,設(shè)直線/的方程為x=my+2,設(shè)A（x,,yJ、3?,%）、

C（演,%）、D（x4,y4）,

x=my+2,）

由、）,得y-4M.y-8=0,必+必=4利，必力=-8,

y=41

-\OA\\OB\sm^AOB

f學(xué)，.?上八,“用\OA\-\OB\%為13

S'^\OC\\OD\sinZCOD\OC\-\OD\%丫4y3y4

v44

:城=4/?,直線OA的斜率為"=一,即直線Q4的方程為尸一兀,

4

y=——x

y,3x64

22，得￡=

dr3y；+64'

J-

[43

3x64

同理可得

3只+64'

3x643x6432x64

_______x_______—__________

3y：+643^+64-48m2+121'

_空

S△A。"__121+48>

9

得ni=±1,

所以存在直線/,方程為x-y-2=0或者x+y-2=0.

71

21.（本題12分）已知函數(shù)〃"）=浸-cosx,xe八0,—.

2

（1）當(dāng)。=一；時(shí)，求/（X）的值域;

（2）討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】

7l2

（1）,一1

8

(2)當(dāng)或時(shí):/(x)無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)一<x<-,時(shí)，/(幻有1個(gè)極大值

27C27C

點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn).

【分析】

(1)通過(guò)求導(dǎo)判斷出了。)的單調(diào)性，即可求出/(X)的值域；

(2)對(duì)參數(shù)。進(jìn)行討論，通過(guò)討論每種情況下的單