空間幾何體與點(diǎn)、直線、平面

空間幾何體與點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一、單選題1?在直三棱環(huán)C-學(xué)/】中啟知△亦是等邊三角形力,/分別是^，竹,A1C1的中點(diǎn)，若AAi=AB=2,則直線EF與所成角的余弦值為（）A?丄 B?屈 C?運(yùn) D?施2 5 3 5【答案】D【解析】【分析】連接4Cj,AD，由題可得EF||A—，即直線EF與所成角為ZM/，根據(jù)余弦定理即可求解【詳解】連接4—?AD，由題可得EFH佗?在直三棱柱4肌-AfF】中，因?yàn)橹?朋=2,所以4D=C1D=V5,ACa=2V2，所以cosZM衛(wèi)=（侖卩（2血）匕（侖“=巫，所以直1 1 1 2xV5x2V2 5線EF與C]D所成角的余弦值為五?故選D?1 5【點(diǎn)睛】本題主要涉及內(nèi)容為求異面直線求夾角的問(wèn)題，將異面直線通過(guò)平移其中一條直線或兩條直線的方式轉(zhuǎn)化成平面直線的夾角，利用余弦定理的方式進(jìn)行解決，注意本題中在計(jì)算邊的時(shí)候抓住直三棱柱的性質(zhì)，即側(cè)棱與地面垂直。2?已知四棱錐P-4BCD的底面四邊形4BCD的外接圓半徑為3，且此外接圓圓心到P點(diǎn)距離為2，則此四棱錐體積的最大值為（）A?12 B?6 C?32 D?24【答案】A解析】

分析】先求出h=2，再求出底面四邊形ABCD的面積的最大值，即得錐體體積的最大值iHaX【詳解】由錐體的體積公式v=ish，可知,當(dāng)s和h都最大時(shí)，體積最大?由題得頂點(diǎn)P到底面ABCD的距離h?2?當(dāng)點(diǎn)P在底面上的射影恰好為圓心0時(shí)，即P0丄底面ABCD時(shí)，P0最大=2,即血=2.=「3?3sinZ40B+1-3-3sinZC0B+1-3-3sinZ40D+1-3-3sinZC0D=a(sinZAOB+sinZCOB+sinZAOD+sinZCOD)<2(1+1+1+221)=18,此時(shí)Z40B=ZBOC=ZCOD=Z40D=比即四邊形ABCD為圓內(nèi)接正方形時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，所以此時(shí)四邊形ABCD的面積的最大值=3=18,所以y=1-2-18=12.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查錐體的體積的計(jì)算和最值的求法，考查三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.3．棱錐被平行于底面的平面所截，當(dāng)截面分別平分棱錐的側(cè)棱、側(cè)面積、體積時(shí)，相應(yīng)截面面積為S、s、S，則（）丄 乙 dA?Sj<S2<S3 b?S】>S2>S3C? d.^2>51>S3【答案】A【解析】試題分析：因?yàn)椤?（-）2nS=-S，因?yàn)?=2nS=-S"因?yàn)椋ㄢ遥?=-^S“1 14 1 22 pS° 1考點(diǎn)：棱錐的結(jié)構(gòu)特征．4?已知空間四邊形ABCD,M,N分別是AB,CD的中點(diǎn)，且AC=4,BD=6，則（）A.1<MN<5 B.2<MN<10C?1<MN<5 D?2<MN<5【答案】A【解析】試題分析：取BC的中點(diǎn)E,連接ME,NE,.?.ME=2,NE=3根據(jù)三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，.?.1vMNv5故選A考點(diǎn)：本題主要考查空間兩點(diǎn)的距離。點(diǎn)評(píng)：容易題，注意運(yùn)用三角形的邊與邊的關(guān)系.?如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,圖中畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）D?88D?88+-4）兀A?88+ -2）兀-2-2）兀.【答案】A解析】由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)正方體挖去一個(gè)半圓錐得到的幾何體， 1 兀乂221故所求表面積44446-2x444一丁+2e222故選：A點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.?用與球心距離為1的平面去截球所得的截面面積為T(mén),則球的表面積為A.2n B?4兀 C?8兀 D?*兀3【答案】C【解析】試題分析:截面面積s=nn=n^r=1n球的半徑"=- = —球的表面積j=,= G/1）-=--，故選c.考點(diǎn)：球的結(jié)構(gòu)特征.?某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cm3）是

A?8 B?8n C?16D?16n【答案】B【解析】【分析】由題意三視圖可知，幾何體是等邊圓柱斜削一半，求出圓柱體積的一半即可?【詳解】由三視圖的圖形可知，幾何體是等邊圓柱斜切一半，所求幾何體的體積為：1x兀22x4=8n.2故選B??在體積為15的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，S是C】C上的一點(diǎn)，三棱錐S-ABC的體積為3，則三棱錐S-AABB］的體積為A.11B.21 C.10 D?92【答案】C【解析】【分析】由S-必上叭的體積等于C-必上叭的體積，結(jié)合棱柱的體積為15，利用分割法可1111得結(jié)果.【詳解】因?yàn)镃CJ/平面44嚴(yán)耳,所以S到平面心嚴(yán)1的距離等于C到平面必嚴(yán)1的距離，所以5-竹眄的體積等于C-竹眄的體積，1%-計(jì)坷=%一】嘰—％-蟲(chóng)心=%一嚴(yán)舊—尹亦-仲心=：%計(jì)心=驚15=10,故選^點(diǎn)睛】空間幾何體體積問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略：（1）若所給的幾何體為柱體錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式求解；（2）若所給定的幾何體是組合體，不能直接利用公式求解，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解；（3）求以三視圖為背景的幾何體的體積時(shí)應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.?（安徽省示范高中（皖江八校）2018屆第八聯(lián)考）某棱錐的三視圖如下圖所示,則該棱錐的外接球的表面積為（）【答案】A【解析】分析：由三視圖可知該幾何體是如圖所示的三棱錐1-BCD，外接球球心0在過(guò)CD中點(diǎn)E且垂直于平面BCD的直線2上，可知0是直御與面。的交點(diǎn)，也是直御與直線MN的交點(diǎn)沒(méi)有此可求三棱錐4-BCD外接球的半徑，得到棱錐的外接球的表面積詳解：由三視圖可知該幾何體是如圖所示的三棱錐4—BCD■外接球球心0在過(guò)CD中點(diǎn)E且垂直于平面BCD的直御上，又點(diǎn)0到A>D距g相等，.??點(diǎn)0又在線段4D的垂直平分面讓，故0是直線2與面0的交點(diǎn)，可知0是直御與直線MN的交點(diǎn),（M,N分別是左側(cè)正方體對(duì)棱的中點(diǎn)）,.0E=NE=3=VOE2+DE2+BD2=殛，故三棱錐4-22BCD外接球的半徑=丘，表面積為S=11仏故選A.2A //;Z-%:Z點(diǎn)睛：本題考查了三棱錐的性質(zhì)、空間幾何位置關(guān)系、三垂線定理、球的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題..設(shè)四面體ABCD各棱長(zhǎng)均相等，S為ad的中點(diǎn)，Q為BC上異于中點(diǎn)和端點(diǎn)的任一點(diǎn)測(cè)SQD在四面體的面BCD上的的射影可能是

A?① BA?① B?② C?③D?④【答案】C解析】試題分析：由于幾何體是正四面體，所以A在DBC上的射影是它的中心，可得到AD在DBC上的射影，因?yàn)镾在AD上，所以考察選項(xiàng)，只有C正確?考點(diǎn)：幾何體的三視圖11?某四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積等于()正視圖 惻視囲帶視圖正視圖 惻視囲帶視圖2A.1B.2C.3D.3【答案】D【解析】由三視圖可知該四棱錐有一側(cè)棱與底面垂直，底面面積為2，高為1,所以V12=x2x1=3 312?在空間四邊形1BCD中，=CD,且異面直線與CD所成的角為60。,E,F分別為邊BC與AD的中點(diǎn)，則異面直線T和所成的角為( )A?30。 B.45。 C?60。 D?30?；?0?！敬鸢浮緿【解析】取AC中點(diǎn)M”則異面直線4B與CD所成的角為直線FM和FM所成的角”異面直線EF和所成的角為直線EF和EM所成的亀因?yàn)楫惷嬷本€AB與CD所成的角為60°,所以ZEMF=6Oo或12Oo，因?yàn)锳B=CD■所以EM=FM，因此ZMEF=3Oo或6Oo,即異面直線EF和朋所成的角為30°或60°，選D.二、填空題13?三棱錐P-ABC的兩側(cè)面PA&PBC都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，AC二譏，則二面角A-PB-C的大小為 .A【答案】+【解析】試題分析：取中點(diǎn)，連接匚丄匚』?Q匕三圧匕電匚均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且為中點(diǎn)，…口_U ?_丄兀即為二面角上-三-匸的平面角.由題意易得丄」=二=忑又.iC=4^, 為正三角形，.一m二E?考點(diǎn)：二面角?14?在如圖所示的棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A^qD】中，作與平面ACD】平行的截面，則截得的三角形中，面積最大的值是 ；截得的平面圖形中，面積最大的值【答案】2" 3呂【解析】截得的三角形中面積最大是以正方體的表面正方形的對(duì)角線所構(gòu)成的等邊三角形，如圖中的△A1C1B,?.?正方體ABCD-AF&D］的棱長(zhǎng)為2,^A1C1=C1B=A1B=^-'2^SaA1C1B=2x2"2x~2x2、2-2\.；3如圖平面a截正方體所得截面為正六邊形，此時(shí)，截面面積最大，其中MN=2?邁,GH=邁,OE=$+2仝截面面積S=2x亙字2xOE=3爲(wèi)故答案為(1)?2J3 ⑵.3、3點(diǎn)睛：本題考查了正方體的截面圖形的面積計(jì)算，關(guān)鍵是判斷截面的形狀，根據(jù)形狀計(jì)算面積．15．一個(gè)球的體積在數(shù)值上等于其表面積的2倍，則該球半徑為 【答案】6【解析】試題分析：由題意可知1兀R3=4兀R2X2：.R=63考點(diǎn)：球的表面積體積16?已知空間四面體ABCD中，AB=CD=,J6,AC=AD=BC=BD=2，則四面體ABCD的外接球的表面積是【答案】7

解析】試題分析：法一：（補(bǔ)形）發(fā)現(xiàn)四面體對(duì)棱相等，可將四面體放在一個(gè)長(zhǎng)方體（長(zhǎng)寬高為V3^.；3，1），故外接球半徑為：為V3^.；3，1），故外接球半徑為：R- 2匕，所以外接球表面積為7S=4兀-=7兀.4★注：事實(shí)上，只要四面體對(duì)棱相等，都可以將其放置在長(zhǎng)方體中，其棱長(zhǎng)恰為長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng).法二：利用對(duì)棱中點(diǎn)：注意到四面體有一對(duì)棱長(zhǎng)為厲，其余均為2，故作AB,CD的中點(diǎn)E,F，由對(duì)稱性得知球心必在EF的中點(diǎn)上；故外接球半徑R二OC上.2考點(diǎn)：球的組合體及球的表面積公式.方法點(diǎn)睛：本題主要考查了有關(guān)球的內(nèi)接三棱錐的性質(zhì)及球的表面積的計(jì)算，充分考查了學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理、運(yùn)算能力，屬于中檔試題，正確把握球內(nèi)接三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，梳理球內(nèi)接組合體的數(shù)量關(guān)系是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵，本題的解答中四面體放在一個(gè)長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于外接球的直徑何求得球的半徑R或利用四面體的性質(zhì)，根據(jù)對(duì)稱性得知球心必在EF的中點(diǎn)上，求得球的半徑R,代入公式即可求解球的表面積.三、解答題17.如■，已知三棱柱4BC—ABC，E、F分別為CC“、BB上的點(diǎn)，且EC=BF，ill 1 1 1過(guò)點(diǎn)B做截面BMN，使得截面交線段AC于點(diǎn)M,交線段企于點(diǎn)M1(1)若肌=3BF，確定M、N的位置,使面BMN//面AEF，并說(shuō)明理由；(2)K、R分別為4州、―耳中點(diǎn)，求證：KR//面AEF.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】分析(1)做出當(dāng)她=EN=1時(shí)，MN//AE,BN//EF,由線面平行得到面面平行；(2)ACNC3連接Bq交FE于點(diǎn)Q，連接QR，證明AQ//KRnKR//面AEF.詳解：(1)當(dāng)仙=EK=丄時(shí)面BMN||面AEFACNC3證明：AC2=AB2+BC2=32nPA2+AC2=PdnPA丄AC,又PA丄AB,nPA丄面ABCEN=1EC,BF=1BCnEN=BF且EN//BFn四邊形BFEN為3 3nBN//EF因?yàn)橄?E^nMN//AEACNCMN、BN匸面BMN,且MNQBN=N因?yàn)锳E^EFQ面AEF,且AEQEF=E所以面PMN//面AEF(2)連接阻交FE于點(diǎn)Q，連接QR1因?yàn)?BQF=ACQEnBQ=COnQR//BB.且QR=^BB“nQR//AK且QR=AK11121連接4QnAQ//KRnKR//面AEF點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了線面平行的證明，面面平行的證明。一般證明線面平行是從線線平行入手，通過(guò)構(gòu)造平行四邊形，三角形中位線，梯形底邊等，找到線線平行，再證線面平行。證明面面平行也可以從線面平行入手。18?（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD丄底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn).⑴求證：PAII平面BDE;⑵求證：平面BDE丄平面PBC.【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）要證明線面平行，就是要在待證的平面內(nèi)找一條直線與之平行，一般是過(guò)直線作一個(gè)平面與要證的平面相交交線就是我們要找的平行線設(shè)ACIBD=0,則平面BDEI平面PAC=E0，而由中位線定理知E0//PA;（2）要證面面垂直，就是要證明一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一平面的的一條垂線，題中兩平面的交線為BE，首先由PD二DC,E是PC中點(diǎn)得DE丄PC，另外由PD丄底面ABCD，知DE在底面ABCD上的射影是DC，而DC丄BC，因此有BC丄DE（可通過(guò)證明BC丄平面PDC得此結(jié)論），從而有DE丄平面PBC，即得面面垂直.試題解析：（1）連接AC，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,連接0E.?.?在△PCA中，0E是△PCA的中位線，.?.PAllOE.又PA不在平面BDE內(nèi)，.PAll平面BDE.(2)tPD丄底面ABCD°.?.CB丄PD?又BC丄DC,PDIDC=D,.BC丄平面PDC?DEu平面PDC,.?.DE丄BC在"DC中,PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，.DE丄PC?PCIBC=C,因此有DE丄平面PBC??DEU平面BDE,???平面BDE丄平面PBC.考點(diǎn)：線面平行，面面垂直?19?如圖，四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形，M為PC中點(diǎn).求證：BAii平面PCD;求證：AP11平面MBD.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知BC//&D,結(jié)合直線與平面平行的判定定理可得結(jié)論；(2)?4C^BD=H,S&EH，由平行四邊形的性質(zhì)可知MH為4PM中位線，從而得到MH//PA，利用線面平行的判定定理，即可證出P4//平面MBD?【詳解】(2)設(shè)A5BD=H，連接MH,???H為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，???H為AC中點(diǎn)，XvM為PC中點(diǎn)，.?.MH為aPAC中位線，可得MHIIPA,MHu平面MBD,PAG平面MBD,所以PAII平面MBD.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理，屬于中檔題證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行?②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面?20?如圖的幾何體中，AB丄平面ACD,DE丄平面ACD,VACD為等邊三角形，AD二DE二2AB,F為CD的中點(diǎn)，G為ED的中點(diǎn).求證：平面AFGP平面BCE；(2)求證：平面BCE丄平面CDE.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析【解析】試題分析(1)由中位線定理可得FG//1CE，可得FGII平面BCE，由=2線面垂直的性質(zhì)及線段長(zhǎng)度可證明而四邊形四邊形abeg為平行四邊形為平行四邊形，從而可得出AG//平面BCE，從而可得結(jié)論(2)取CE的中點(diǎn)H■連接BH,FH,先證明AFPBH■再證明AF丄平面CDE，可得BH丄平面CDE，從而平面BCE丄平面CDE.試題解析：(1)丁AB丄平面ACD,DE丄平面ACDABPDE?又G為ED的中點(diǎn)，DE二2AB.??四邊形ABEG為平行四邊形????AGPBE?而F為CD的中點(diǎn)，G為ED的中點(diǎn)，F(xiàn)GPCE，又AGcFG=G.?平面AFGP平面BCE取CE的中點(diǎn)H，連接BH,FH，由(1)知,ABPDE且AB二1DE,2???ABHF為平行四邊形，AFPBH，而VACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，所以AF丄CD，又AF丄DE，所以AF丄平面CDE，所以BH丄平面CDE，從而平面BCE丄平面CDE.【方法點(diǎn)晴】本題主要考査線面平行的判定定理、面面平行的判定定理，屬于中檔題證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理,使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中