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文檔簡(jiǎn)介
2.3
拉普拉斯展開定理返回2.3
拉普拉斯展開定理k階子式：矩陣A中任取k行、k列，位于這k行、k列交點(diǎn)上的k2個(gè)元按原來的相對(duì)位置組成的k階行列式S,稱為A的一個(gè)k階子式.S的余子式:在A中劃去S所在的k行、k列，余下的元按原來的相對(duì)位置組成的n-k階行列式M,
稱為S的余子式.S的代數(shù)余子式:設(shè)S的各行位于A中第i1,…,ik,S的各列位于A中第
j1,…,jk列，稱A
(
1)(i1
ik
)
(j1
jk)
M為S的代數(shù)余子式.0
1
2S2
1
1
12
2
21S
02
0
1
0
20
1
1
1
10
2
2
1
21
0
1
0
1A
0
1
1
2
1111
11
0
1M
0
1
20
1
12
1
00
1M111M
M
,A
1
1
3
2
3222M
M
.A
1
1
3
4
2
3
5例如，5階行列式detA中，取子式a52
a54S
a22
a24則其代數(shù)余子式為a11
a13
a15(
1)(
2
5)
(
2
4)
a
a
a31
33
35a41
a43
a45拉普拉斯定理在行列式D中任取k(1≤k≤n-1)行（列），由這k行（列）元所組成的一切k階子式分別與它們的代數(shù)余子式的乘積之和，等于行列式D.OA**det
det
A
det
B
det
Bn
n
m
mBn
n
Am
m
OA
(det
A1
)
(det
At
),(Ai為方陣)
t
det
A1例1(基本結(jié)論)2
0
1
0
21
0
1
0
1例2
計(jì)算
D
0
1
1
2
10
2
2
1
20
1
1
1
11
,211
2
1
1S
S
211
2
1
3A
(
1)0002
01
2
3
51
11
2
12
1 2
0，A
(
1)1
1
1所以，D
=0.解
按1，2行展開，不為零的二階子式為例3
設(shè)A,
B為n階可逆矩陣，證明如下矩陣可逆，并求其逆：
.B
OA
D
C解det
D
(
1)n
n
(det
A)(det
B)
0，所以可逆.1
2
.
1
X
3
X4
X
X設(shè)D432
1
O I
I
O
2BX21BX1CX
AXCX
AXX4
X
B
O
X
3C
A
X1DD
BX
O
CX
AX
O1BX2
I2
4
CX1
AX3
I
2143
B
1XX
O
X
A
1
X
A
1CB
1
1
A
1CB
1
A
1B
1
OD
為什么？det
D
(
1)1
2
n
(
n
1)
(
n
2)
(
n
n)
(det
A)(det
B)2(det
A)(det
B)2
n(
n
1)
n
n
(
1)
(
1)n
n
(det
A)(det
B)回憶（要非常熟悉）：A
(det
A1)
(det
At
),(Ai為方陣)
t
det
A1
t t
t
t
A
B
B
A
A1B1
B1
A1
kt
kt
A
A
kA
1
A1
t
A
可逆的充要條件是
A1i(A
為方陣)A1，
，At
可逆
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