一種基于curvee閾值的圖像復(fù)原和分解新模型

一種基于curvee閾值的圖像復(fù)原和分解新模型

1圖像變分與圖像重構(gòu)圖像分解是處理圖像中最近出現(xiàn)的重要和挑戰(zhàn)的任務(wù)，可以概括為數(shù)學上的反問題類別。假設(shè)已知圖像f：r可以分為兩個部分：u和v（即f.u和v）。其中u是圖像的f結(jié)構(gòu)，其中包含圖像的主要幾何特征信息。這項任務(wù)首次被Meyer從理論的角度進行闡明,建立了基于ROF全變差極小化框架下的振蕩函數(shù)建模理論.該理論認為有界變差函數(shù)空間(簡稱BV空間)對紋理圖像不是理想的函數(shù)空間,必須通過與BV空間在一定意義上的對偶空間來對紋理進行建模.然而,由于Meyer的這種理論模型沒有標準的Euler-Lagrange方程,因此在實際應(yīng)用中很難直接求解.2002年,Vese-Osher在文章中第一次提出了逼近Meyer理論模型的方法(簡稱VO模型):式中,f∈L2(Ω),Ω?R2,v=divg,其中g(shù)=(g1,g2),g1,g2∈Lp(Ω).同時,Osher等人繼續(xù)拓展VO模型,建議用H-1范數(shù)來刻畫v(簡稱OSV模型),假設(shè)p=2,則v可用下式表達:接著,Lieu-Vese提出用更一般的H-s范數(shù)刻畫v:(∫Ω(1+|ξ|2)-s|?v|2dξ)1/2=∥v∥Η-2(Ω),s＞0(3)由式(2)的假設(shè),式(1)可簡化為:但是,遺憾的是這些模型的極小化通常需要求解復(fù)雜的非線性偏微分方程(PDE).因此,為了降低數(shù)值復(fù)雜度,Daubechies-Teschke建議在小波域中求解問題(4)(簡稱DT模型):即用Besov半范數(shù)|·|B11,1(Ω)來取代全變差范數(shù)∫Ω|?u|,有擴展式(5)的應(yīng)用范圍:用式(3)的H-s范數(shù)代替H-1范數(shù),有:infu,vFf(u,v)=∥f-Κ(u+v)∥2L2(Ω)+γ∥v∥2Η-s(Ω)+2α|u|B11,1(Ω)(6)其中,α和γ是調(diào)整參數(shù),s>0.式(6)是在小波域中求解變分問題.但是,利用小波對圖像進行多分辨率分解時,存在著兩個主要問題:(1)二維小波基具有正方形的支撐區(qū)間,用小波逼近奇異曲線最終表現(xiàn)為用“點”來逼近“線”的過程,為滿足一定的精度,必須采用更多的小波系數(shù)來表示奇異曲線,而采用Curvelet來逼近奇異曲線時,只需要少數(shù)幾個系數(shù)就可以達到所需要的精度.(2)對于二維圖像,常用的二維小波是一維小波的張量積,而二維小波基是“各向同性”的,因此無法精確地表達邊緣的方向.解決這個問題途徑之一是尋找更適合圖像分析的多分辨率分解與重構(gòu)方法,其中之一是Curvelet框架.Curvelet變換(第一代Curvelet變換)是由Candès等人提出的,其變換的核心是Curvelet基支撐區(qū)間滿足width≈length2,也就是說Curvelet基支撐區(qū)間表現(xiàn)為“長條形”,其實際是“方向性”的一種體現(xiàn),從而使得用更少的Curvelet變換系數(shù)來逼近奇異曲線.本文研究的是二代Curvelet變換,它比一代Curvelet形式上更簡單,更容易實現(xiàn).眾所周知,小波擴展的稀疏性可以用Besov空間的光滑模來度量,但是,Curvelet的頻域分解不同于小波的二進分解,因此Curvelet擴展的稀疏性不能在經(jīng)典的光滑空間(Besov)里描述.本文根據(jù)文獻中定義的分解空間Gβp,q和Besov空間之間的嵌入關(guān)系,以及Curvelet系數(shù)的稀疏性可以在空間Gβp,q上刻畫這個性質(zhì),將變分問題(6)在Curvelet域下研究,提出了一種新模型,克服了DT模型出現(xiàn)的圖像邊緣模糊的不足.整篇文章是按照下面的結(jié)構(gòu)組織的.在第二節(jié)中,給出了第二代Curvelet的構(gòu)造以及它所對應(yīng)的稀疏空間.第三節(jié)主要是提出了一種基于Curvelet閾值的變分圖像復(fù)原和分解方法.在第四節(jié)中,用新模型給出了圖像分解、去噪和去模糊的實驗結(jié)果,并且將新方法與傳統(tǒng)的分解方法作了比較.最后,在第五節(jié)中給出了結(jié)論.2curelet空間假設(shè)v是一個偶的、光滑的窗函數(shù),它的支撐區(qū)間在[-π,π].當θ∈[0,2π],它滿足:|v(θ)|2+|v(θ-π)|2=1當j≥0,l=0,1,…,2?j/2」-1時,定義vj,l(θ)=v(2?j/2」θ-πl(wèi)).假設(shè)w是一個光滑的緊支撐函數(shù),滿足|w0(t)|2+∑j≥0|w(2-jt)|2=1,t∈R其中w0是一個支撐在原點鄰域的光滑函數(shù).當j≥2,l=0,1,…,2?j/2」-1,令定義μ=(j,l,k):j≥0為尺度參數(shù);l=0,1,…,2?j/2」-1為方向參數(shù);k=(k1,k2),k1,k2∈Z為平移參數(shù).令指標集J=(j,l),旋轉(zhuǎn)角θj=π,l,2-?j/2」.當j≥2時,w(2-j|ξ|)vj,l(2?j/2」θ)的支撐區(qū)間包含在一個矩形Rj=I1j×I2j里,其中:Lj=δ1π2j,lj=δ22π2j/2.設(shè)?Ι1j=±Ι1j,定義?Rj=?Ι1j×Ι2j,則L2(?Rj)的正交基為:最后,定義:??μ′(ξ)=kJ(ξ)uj,k(RΤθjξ),μ′=(j,l,k)其中:μ′:={λ=(j,l,k):j≥2,l=-2?j/2」,…,2?j/2」-1,k∈Z2},RθJ為角度θJ的旋轉(zhuǎn)矩陣.令?^μ1(ξ)=2πk1(ξ)uk(ξ),其中:μ1:={λ=(1,0,k):k∈Z2},k12(ξ)=w02(|ξ|)+w2(|ξ|)+w2(|ξ|/2),uk(ξ)=(2πδ0)-1·ei(k1ξ1/δ0+k2ξ2/δ0),δ0>0為常數(shù).對任意函數(shù)f∈L2(R2),有下面的等式成立:∑μ|〈f,?μ〉|2=‖f‖L2([ΚX(]R[ΚX)]2)2(7)因此Curvelet系統(tǒng){?μ}μ是L2(R2)上的一個緊框架,并且有重構(gòu)公式f=∑μ〈f,?μ〉?μ.在文中,Borup-Nielsen重構(gòu)了一類Curvelet類型的緊框架,這類緊框架形成了Curvelet類型的分解空間-Gp,qβ的原子分解.值得注意的一點是這類緊框架與第二代Curvelet非常相似,它們相對應(yīng)的稀疏空間是相同的,因此Curvelet系數(shù)的稀疏性可以在分解空間-Gp,qβ上刻畫:‖f‖Gβp,q≈(∑(j,l)2jq(β+32(12-1p))(∑k|〈f,?j,l,k〉|p)q/p)1/q(8)其中:0<p≤∞,0<q<∞,β∈R.眾所周知,Besov空間是用一個適應(yīng)二進頻率帶{x∈R2:2j≤|x|<2j+1}的單位分割定義的,而Curvelet頻率空間的分割可看作是Besov空間的一個改進,下面給出這兩個空間之間的嵌入關(guān)系:引理1對于0<p≤∞,0<q<∞和β∈R,有下面的嵌入關(guān)系式成立Bp,qβ+s(R2)|→Gp,qβ(R2)其中s=1/(2q).同樣地,Gp,qβ(R2)|→Bp,qβ-s′(R2)其中s′=(max(1,1/p)-min(1,1/q))/2.由泛函空間的知識知:當p=q=2時,Besov空間B2,2β(Ω)就是Bessel勢位空間Hβ(Ω).類似于Bessel勢位空間Hβ(Ω)的特殊情況,Besov空間Bβp,p(Ω)在β<0時可以看作是Bp′,p′β′(Ω)的對偶空間,其中,β′=-β,1/p+1/p′=1.本文我們所感興趣的空間是B1,11(Ω)和H-s(Ω)=B2,2-s(Ω).由引理1可得出這兩個空間與分解空間Gp,qβ之間的嵌入關(guān)系:G1,11(Ω)|→B1,11(Ω)|→G1,11/2(Ω)以及G2,21/4-s(Ω)|→B2,2-s(Ω)|→G2,2-s-1/4(Ω).3cur巖-s-1/4條件下的變分問題因為空間G1,11/2和G2,2-s-1/4比空間B1,11和H-s大,并且有較弱的范數(shù),所以在這里用空間1,11/2和G2,2-s-1/4分別代替空間B1,11和H-s(Ω),得到Curvelet框架下的變分問題:infu,vFf(u,v)=∥f-Κ(u+v)∥L2(Ω)2+γ∥v∥G2,2-s-1/4(Ω)2+2α∥u∥G1,11/2(Ω)(9)下面分兩種情形對式(9)進行求解:(1)K為恒等算子(2)K不是恒等算子.3.1ffu,v/ffu,v/ffu.當K為恒等算子時,式(9)轉(zhuǎn)化為:infu,vFf(u,v)=∥f-(u+v)∥L2(Ω)2+γ∥v∥G2,2-s-1/42(Ω)+2α∥u∥G1,11/2(Ω)(10)因此有下面的命題成立:命題1假設(shè)給定函數(shù)f∈L2(Ω),則變分問題(10)的最小解是一類由f的Curvelet序列組成的函數(shù)(u?)γ,α和(v?)γ,α:其中:α和γ是兩個正參數(shù),T=α.2-|λ|/4(1+γ.2|λ|(-2s-1/2))/(γ.2|λ|(-2s-1/2)),ST是閾值為T的軟閾值算子.證明:求解變分問題(10)即是要最小化函數(shù)Ff(u,v).根據(jù)式(7)和式(8),Ff(u,v)中的對應(yīng)范數(shù)可表示為:其中:fλ,uλ,vλ是第λ個Curvelet系數(shù).將式(11)代入式(10)中,則Ff(u,v)等價為下列函數(shù)的序列和:3.2類變量al1當K不為恒等算子時,即求解變分問題(9),這將導(dǎo)致一個關(guān)于uλ和vλ耦合的非線性方程.下面引入替代函數(shù)消除K*K(u+v)的影響,其中K*為K的伴隨算子.因為K可以被正則化,所以不失一般性限制‖K*K‖<1.對于函數(shù)a∈L2(Ω),式(9)中變分函數(shù)的替代函數(shù)為:下面通過迭代算法逼近函數(shù)Ff(u,v)的最小值,該迭代算法可表示為:根據(jù)迭代算法式(17),有下面的命題成立:命題2假設(shè)K為線性有界算子,且‖K*K‖<1,函數(shù)f∈L2(Ω),則迭代算法(17)的第n次迭代的最小值(un,γ,α,vn,γ,α)為其中:an-1=un-1,γ,α+vn-1,γ,α,T=α.2-|λ|/4(1+γ.2|λ|(-2s-1/2))/(γ.2|λ|(-2s-1)/2).4dt模型去噪結(jié)果這部分用Matlab編程語言給出Curvelet變分模型(9)在圖像分解、去噪和去模糊中的數(shù)值實驗結(jié)果.首先,對于圖像分解成結(jié)構(gòu)和紋理的實驗,我們選取Barbara的截取圖做代表,如圖1.圖2是新模型(10)、DT模型(5)、OSV模型和VO模型將圖1分解成結(jié)構(gòu)u和紋理v的結(jié)果.由此可見,新模型可以有效地分解圖像;DT模型在邊緣保護方面不如新模型;OSV和VO模型分解后的結(jié)構(gòu)仍含有紋理部分.接下來驗證新模型(10)的去噪性能.選取被高斯白噪聲(σ=20)污染的Lena圖像作代表,見圖3(a)～(b).圖3(c)給出的是新模型(10)選取參數(shù)s=1/2;α=5;γ=0.5后相應(yīng)的去噪圖像u,圖3(d)是DT模型的去噪結(jié)果.由圖3(e)～(f)的局部放大圖可以得出,新模型可以在去噪的同時保持圖像的細節(jié)特征.表1給出的是選擇不同參數(shù)去噪后的均方根誤差(RMSE)、峰值信噪比(PSNR)和運行時間的比較結(jié)果.這些實驗結(jié)果說明:雖然新模型(10)在運行時間上比DT模型有所增加,但它可以有效地去噪,使得去噪后的圖像有著較好的視覺質(zhì)量.假設(shè)輸入圖像的大小為M×M,則文中的均方根誤差(RMSE)和峰值信噪比(PSNR)是按照下式定義:RMSE=∑i=1Μ∑j=1Μ(uˉi,j-ui,j)2/Μ2;PSNR=10lg(2552/RMSE2)其中:uˉ和u分別為原始圖像和處理后的圖像,i=1,2,…,M;j=1,2,…,M.圖4是用迭代算法(17)驗證Barbara截取圖的去模糊結(jié)果.實驗選擇K為1×9高斯卷積算子,模糊圖像的RMSE=29.0098.去模糊后圖像的RMSE=6.1299,選擇的參數(shù)為s=1;α=5;γ=0.5.從視覺效果上看,圖4的去模糊圖像比模糊圖像有較大的提高.最后一個實驗是先對原始的Baboon圖像通過7×7高斯卷積算子進行模糊,然后加上標準差σ=10的高斯噪聲,模擬出既被模糊又被噪聲污染的圖像,模糊圖像的RMSE=27.7081.用新模型得到去模糊后圖像的RMSE=16.4683,選擇的參數(shù)為s=1;α=5;γ=0.5;用DT模型得到去模糊后圖像的RMSE=17.1907,選擇的參數(shù)為α=5;γ=0.5.5cur經(jīng)營的et模型本文提出了一類基于Curvelet閾值的圖