一種多雙字典稀疏復(fù)原方法

一種多雙字典稀疏復(fù)原方法

1運(yùn)動模糊和噪聲圖像的原位優(yōu)化相機(jī)運(yùn)動是相機(jī)和場景之間相對運(yùn)動的結(jié)果。移動模糊嚴(yán)重影響了圖像的質(zhì)量。減小運(yùn)動模糊的方法有很多種,大體可以分為兩類:硬件補(bǔ)償和圖像復(fù)原。T.Hamamoto和K.Aizawa在文獻(xiàn)中設(shè)計(jì)了一種特殊的CMOS傳感器,它們能在檢測到運(yùn)動的區(qū)域選擇性地停止電荷積分。Ben-Ezra等人組建了一個混合系統(tǒng)獲取相機(jī)運(yùn)動軌跡用來精確估計(jì)模糊核。Raskar等人用一個預(yù)先指定的二進(jìn)制序列快速開關(guān)快門來減小去模糊問題的病態(tài)性,他們的方法減小了高頻信息的丟失。由于產(chǎn)生運(yùn)動模糊的因素非常多,有的通過硬件補(bǔ)償就可以完全消除模糊,但有的并不能消除或者只能部分消除模糊。因此軟件恢復(fù)的方法是非常必要的,并成為當(dāng)今的研究熱點(diǎn)。在點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(PointSpreadFunction,PSF)已知的情況下,用于運(yùn)動模糊復(fù)原的算法有很多種,比如經(jīng)典的維納濾波算法,TV全變分方法等。維納濾波算法簡單且有效,其缺點(diǎn)主要是算法為了抑制噪聲而得到的估計(jì)值過于平滑而丟失很多細(xì)節(jié)。全變分復(fù)原的理論基于連續(xù)模型,處理圖像時(shí)采用什么樣的離散方式能更好逼近全變分模型是一個難點(diǎn),經(jīng)典的全變分復(fù)原方法在噪聲較大的情況下模型的穩(wěn)態(tài)解中有明顯的階梯效應(yīng)。Calvetti等人提出假定圖像的PSF已知,模糊噪聲圖像的復(fù)原問題可以通過解一個線性系統(tǒng)來解決(廣義極小剩余迭代算法,GMRES)。Ribaric等人假定圓周中心和運(yùn)動角速度已知,提出了圓周運(yùn)動產(chǎn)生模糊圖像的復(fù)原方法。在PSF未知的情況下,可以用盲卷積方法來復(fù)原圖像。Li等人提出一種迭代算法不斷修正模糊核使最后圖像恢復(fù)的結(jié)果在視覺效果上達(dá)到最好。LuYuan,JianSun等人利用相機(jī)長時(shí)間曝光晃動時(shí)產(chǎn)生的模糊圖像和短曝光時(shí)間產(chǎn)生的暗噪聲圖像,分別提取信息得到最終清晰的圖像。近年來,稀疏表示模型被廣泛的應(yīng)用于信號和圖像處理等領(lǐng)域。稀疏表示是Olshausen和Field等人在研究人類視覺皮層神經(jīng)元響應(yīng)的稀疏性時(shí)提出的對自然圖像更有效的表示方法。根據(jù)稀疏理論,該模型可以通過一組過完備基或冗余字典中很少量元素的線性組合來描述信號。最近也有稀疏表示在圖像去模糊中的應(yīng)用。Ma設(shè)計(jì)了一種MPST(Multi-PixelSingle-Time)相機(jī),利用泊松奇異積分和Curvelet迭代閾值算法對模糊圖像進(jìn)行復(fù)原。Elad等人在文獻(xiàn)中詳細(xì)闡述了稀疏表示理論在圖像處理,如去噪、去模糊、去水印等方面的應(yīng)用。本文提出一種雙字典稀疏復(fù)原算法對同時(shí)存在運(yùn)動模糊和噪聲的嚴(yán)重退化圖像進(jìn)行復(fù)原的方法,得到很好的效果。通過構(gòu)建Haar冗余字典,求解Haar稀疏最優(yōu)化問題抑制運(yùn)動模糊;由于噪聲并沒有完全收斂和消除,甚至在Haar稀疏的過程中不斷加權(quán)生成噪聲斑(稱之為模糊噪斑),故引入第二個冗余字典通過對圖像滑動分塊進(jìn)行局部的稀疏最優(yōu)化來消除模糊噪斑,最后對各分塊進(jìn)行加權(quán)得到復(fù)原圖像。2圖像退化模型和模型的稀疏表示2.1稀疏表示及正則化圖像去模糊是一個病態(tài)的反問題,可以看成是低通濾波器、向前向后擴(kuò)散或者熱力學(xué)函數(shù)的反問題,所以在圖像復(fù)原過程中,一些小的噪聲或者擾動就會導(dǎo)致很多錯誤。對于運(yùn)動模糊圖像,退化因子包括兩個:模糊算子H和噪聲算子N。對于清晰圖像x,如果噪聲模型用白噪聲來描述,其圖像退化模型可以表示為:y=NHx=Hx+n.(1)1993年Mallat和Zhang首先提出了信號在過完備庫(overcompletedictionary)上分解的思想。圖像的稀疏表示就是圖像在這個過完備庫(支撐集)上線性展開,這個支撐集要滿足大部分基函數(shù)的系數(shù)為零。稀疏表示理論中稱這個支撐集為字典,支撐集中的每個基函數(shù)為原子。若圖像x∈Rn是可稀疏的,即存在變換基D,用一個稀疏信號α就可以表示原圖像xx=Dα,(2)其中D∈Rn×m,α∈Rm。D是一個過完備字典,字典中的每一列稱為原子。因此退化模型可以表示為y=HDα+n.(3)為了得到原圖像的估計(jì)值?x,只需找到能表示圖像x最稀疏的向量α,求解該問題可以用最優(yōu)l0范數(shù)來解決,即?α=argmin∥α∥0s.t.y=ΗDα+n,(4)其中‖α‖0表示稀疏向量α的l0范數(shù),定義為α非零元素的個數(shù)。求解最基本的方法有匹配追蹤算法(MP)、正交匹配追蹤(OMP)算法等,文獻(xiàn)認(rèn)為最優(yōu)l0范數(shù)的求解是一個NP難問題,并證明了可以用l1范數(shù)代替l0范數(shù)求解:?α=argmin∥α∥1s.t.y=ΗDα+n.(5)正則化方法常常用來解決在某種約束條件下,圖像處理中的病態(tài)問題,則帶有稀疏約束條件的正則化形式可表示如下minα∥y-ΗDα∥22+λ∥α∥0,(6)式中第一項(xiàng)是懲罰項(xiàng)以表征恢復(fù)圖像和原始圖像的逼近程度,第二項(xiàng)是稀疏先驗(yàn)信息的正則約束項(xiàng)。如果用l1范數(shù)代替l0范數(shù),則minα∥y-ΗDα∥22+λ∥α∥1,(7)求解的方法有基追蹤(BP)算法和迭代閾值算法(IST)等,本文使用了迭代閾值算法中的PCD(ParallelCoordinateDescent)算法來收斂模糊圖像。2.2基于局部特性的漢字dnoisa冗余字典D的設(shè)計(jì)是稀疏表示理論中最關(guān)鍵的問題,字典的選取影響到稀疏向量的迭代結(jié)果和算法的收斂性。在引言中提到的本文算法包括兩個過程,分別是模糊的抑制和消除及模糊噪斑的去除。和噪聲相比,圖像模糊更多的是像素之間的統(tǒng)計(jì)特性和彼此約束,因此在去除模糊時(shí)可選用包含全局特性的小波冗余字典Dblur,在去除模糊噪斑的時(shí)候選用基于patch訓(xùn)練的含局部特性的字典描述Dnoise。Haar小波是具有緊支撐和對稱性的正交小波,并且具有最優(yōu)的時(shí)(空)域分辨率。本文選用Haar小波作為構(gòu)造字典Dblur時(shí)的基本小波,將其進(jìn)行兩層分解:首先使用濾波器組[0.50.5]和[0.5-0.5]分別在圖像的水平和垂直方向上進(jìn)行濾波得到四幅圖像(LL,LH,HL,HH),其次在LL上應(yīng)用同樣的濾波操作,最后得到七幅圖像,可看出分解后小波系數(shù)矩陣的冗余度達(dá)到7∶1。小波分解過程表示如圖1所示。采用離線訓(xùn)練的方法計(jì)算Dnoise的構(gòu)造。對給定一個標(biāo)準(zhǔn)的圖像集合U,需要找到一個合適的過完備基D,即Dnoise,使之滿足下面優(yōu)化函數(shù),minD,UΜ∑i=1[ui∥αi∥0+∥Dαi-ui∥22],即對U中的每一幅圖像ui都能找到最優(yōu)的稀疏表示。通過訓(xùn)練圖像數(shù)據(jù)庫得到的字典Dnoise可以作為一部通用字典重復(fù)使用。本文從USI-SIPI數(shù)據(jù)庫中選取了100幅標(biāo)準(zhǔn)圖像采樣2×105個patch訓(xùn)練得到的字典如圖3所示。3優(yōu)化函數(shù)的求解迭代收縮(Iterative-Shrinkage/Threshold,IST)算法是信號去噪中經(jīng)典的Donoho-Johnston收縮算法的擴(kuò)展。IST算法的核心就是利用前一次的估計(jì)值和變換域的閾值處理算子來獲得新的估計(jì)值。基于IST的算法例如統(tǒng)計(jì)估計(jì)理論中的EM(Expectation-Maximization)算法,最近鄰點(diǎn)和代理函數(shù),CD(Coordinate-Descent)算法等等。本文應(yīng)用了PCD迭代收縮算法,其收斂速度比較快并且可以應(yīng)用于高維數(shù)據(jù)。假設(shè)當(dāng)前稀疏解為α0,要更新其第i條值,g(z)=12∥y-ΗDα0-di(z-α0[i])∥22+λ∥z∥1,(8)其中di是字典D的第i列,若?y=y-ΗDα0+α0[i]di,則優(yōu)化函數(shù)變?yōu)間(z)=12∥?y-diz∥22+λ∥z∥1=12∥?y∥22-?yΤdiz+12∥di∥22?z2+λ∥z∥1=∥di∥22(12(z-dΤi?y∥di∥22)2+λ∥z∥1∥di∥22)+C,(9)那么優(yōu)化后的z值可通過式(10)求解zopt=Sλ/∥di∥22(dΤi?y∥di∥22)=Sλ/∥di∥22(1∥di∥22dΤi(y-ΗDα0)+αi[i]).(10)當(dāng)優(yōu)化一個函數(shù)時(shí),會有幾個不同的收斂方向,他們的組合也必定是收斂的。因此把m次式所述的優(yōu)化組合起來,可得到v=m∑i=1ei?Sλ/∥di∥22(1∥di∥22dΤi(y-ΗDα0)+α0[i])=[Sλ/∥d1∥22(1∥d1∥22dΤ1(y-ΗDα0)+α0)?Sλ/∥di∥22(1∥di∥22dΤi(y-ΗDα0)+α0[i])?Sλ/∥dm∥22(1∥dm∥22dΤm(y-ΗDα0)+α0[m])]=SW(W-1(y-ΗDα0)+α0),(11)其中W=diag((HD)THD)-1包含了HD中所有列向量的范數(shù),用于計(jì)算反投影誤差(HD)T(b-HDα0)和收斂算子。關(guān)于W的計(jì)算,在文獻(xiàn)中,作者提出用一組隨機(jī)向量和(HD)T相乘計(jì)算得到的范數(shù),根據(jù)此算法W的收斂情況如圖4所示。4次稀疏變換及分塊經(jīng)過PCD迭代算法進(jìn)行復(fù)原后得到的圖像模糊已經(jīng)減弱,但是噪聲在去模糊過程中不斷得到加權(quán)而放大,如圖5所示。為了消除噪斑,對復(fù)原的圖像進(jìn)行了第二次稀疏變換,引入第二個字典D2即用D2將復(fù)原得到的圖像進(jìn)行線性表示。如2.2節(jié)中所述,字典D2是通過一組圖像進(jìn)行訓(xùn)練得到的。對于3節(jié)所述算法去模糊后的圖像f通過分塊矩陣P進(jìn)行分塊。設(shè)塊的大小為n,則需解決如下優(yōu)化問題,minD,U{∑ijμij∥αij∥0+∑ij∥Dαij-Ρijf∥22+λ∥y-f∥},(12)(1)首先，固定y.f，只更新minD,U{∑ijμij∥αij∥0+∑ij∥Dαij-Ρijf∥22}.(2)噪聲方差去模糊minαij∥αij∥0s.t.∥Ρijf-Dαij∥22≤Cσ2,式中σ為去模糊后噪聲方差,噪聲方差去模糊前和去模糊后存在一定的關(guān)系,在此假定C=σ/σ0,本文取C值為0.8。(3)jdij-ijf32+y-fminD,U{∑ijμij∥αij∥0+∑ij∥Dαij-Ρijf∥22+λ∥y-f∥}解析解為:f^=(λΙ+∑ijΡijΤΡij)-1(λy+∑ijΡijΤDα^ij).(13)5運(yùn)動模糊退化半徑在實(shí)驗(yàn)中,選取圖像的分辨率為256×256,分別用平移運(yùn)動模糊算子對圖像進(jìn)行退化處理,并引入高斯白噪聲得到嚴(yán)重降質(zhì)的圖像,如圖6所示。兩組實(shí)驗(yàn)中,PCD迭代收斂30次,噪聲分塊收斂3次。實(shí)驗(yàn)分別與經(jīng)典的維納濾波復(fù)原算法和經(jīng)典全變分復(fù)原方法進(jìn)行了比較。圖7組實(shí)驗(yàn)為標(biāo)準(zhǔn)的Cameraman圖片,運(yùn)動模糊退化半徑為20pixel,角度為45°,噪聲方差為40,圖8組實(shí)驗(yàn)為飛機(jī)停留在跑道上的圖像,運(yùn)動模糊退化半徑為15pixel,角度為45°,噪聲方差為40。分別用維納復(fù)原算法和全變分方法對降質(zhì)圖像進(jìn)行了復(fù)原,并和本文的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比?？梢郧宄乜吹?當(dāng)圖像經(jīng)過迭代閾值收縮后,模糊和噪聲已經(jīng)得到有效抑制,圖像質(zhì)量明顯改善。從仿真結(jié)果可以看出,維納濾波復(fù)原算法對噪聲比較敏感,噪聲方差的選取誤差會嚴(yán)重影響復(fù)原的質(zhì)量,這對于參數(shù)估計(jì)的復(fù)原是致命缺陷;經(jīng)典全變分復(fù)原由于算法在對模糊去除的時(shí)候,噪聲點(diǎn)作為局部特征參與了梯度運(yùn)算,因此造成了復(fù)原圖像和原圖像的明亮度差異明顯,并且復(fù)原效果的階梯效應(yīng)嚴(yán)重。從以上兩組實(shí)驗(yàn)可以看出,用本文提出的算法對圖像復(fù)原后,復(fù)原圖