概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章課后習(xí)題答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案第二章1.一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1，2，3，4，5，在其中同時(shí)取3只，以X

表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，寫(xiě)出隨機(jī)變量X

的分布律.【解】X

3,

4,

555C3C333P(

X

3)P(

X

4)P(

X

5)10.10.3C

5C240.6故所求分布律為X345P0.10.30.62222.設(shè)在15只同類(lèi)型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X

表示取出的次品個(gè)數(shù)，求：12X

的分布律；X

的分布函數(shù)并作圖；(3)P{X

1},

P{1

X

3},

P{1X

},

3P{1

X

2}

.【解】151515223512C1

C2X

0,1,

2.C3P(

X

0)

C3

133CC135135C3.P(

X

1)2

1310.P(

X

2)13.故X的分布律為X012P22121353535（2）當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=0當(dāng)0≤x<1時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X=0)=2235當(dāng)1≤x<2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=3435當(dāng)x≥2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=1故X

的分布函數(shù)0,220,

x

1x

0F

(x)35341,

x

210351,x

2(3)3.射手向目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行了

3次射擊，每次擊中率為

0.8，求

3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求

3次射擊中至少擊中

2次的概率.【解】設(shè)X

表示擊中目標(biāo)的次數(shù).則X=0，1，2，3.0.0960.384(0.2)3

0.0083C1

0.8(0.2)2C3

2

(0.8)2

0.2P(

X

0)P(

X

1)P(

X

2)P(

X

3)(0.8)3

0.512故X的分布律為X0123P0.0080.0960.3840.512分布函數(shù)0,0.008,F

(x)x

00

x

10.104,10.488,

2x

2x

3x

31,P

(

X

2)

P

(

X

2)

P

(

X

3)

0.8964.（1）設(shè)隨機(jī)變量

X

的分布律為kP{X=k}=

a

，k!其中

k=0，1，2，…，λ＞0為常數(shù)，試確定常數(shù)

a.（2）設(shè)隨機(jī)變量

X

的分布律為P{X=k}=a/N，

k=1，2，…，N，試確定常數(shù)

a.【解】（1）由分布律的性質(zhì)知k1P(

X

k

)

a0

k

!k

0a

ek故a

e(2)由分布律的性質(zhì)知k

1NN1P(

X

k

)a10a即k

1

Na

1

.5.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為

0.6,0.7,今各投

3次，求：12兩人投中次數(shù)相等的概率;甲比乙投中次數(shù)多的概率.【解】分別令

X、Y

表示甲、乙投中次數(shù)，則

X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)(1)P

(

X

3,Y

3)(0.4)3

(0.3)3

C1

0.6(0.4)2

C1

0.7(0.3)2

+3

3C2

(0.6)2

0.4C2

(0.7)2

0.3 (0.6)3

(0.7)33

30.32076(2)=0.2436.設(shè)某機(jī)場(chǎng)每天有

200架飛機(jī)在此降落，任一飛機(jī)在某一時(shí)刻降落的概率設(shè)為

0.02，且設(shè)各飛機(jī)降落是相互獨(dú)立的.試問(wèn)該機(jī)場(chǎng)需配備多少條跑道，才能保證某一時(shí)刻飛機(jī)需立即降落而沒(méi)有空閑跑道的概率小于

0.01(每條跑道只能允許一架飛機(jī)降落)？【解】設(shè)X

為某一時(shí)刻需立即降落的飛機(jī)數(shù)，則

X~b(200,0.02)，設(shè)機(jī)場(chǎng)需配備

N

條跑道，則有P

(

X

N

)

0.01即200kC

2(000

.02)k

(0.98)200k0.01k

N

1利用泊松近似np

200

0.02

4.e4

4kk

N1

k

!P(

X

N

)0.017.有10查表得

N≥9.故機(jī)場(chǎng)至少應(yīng)配備

9條跑道.一繁忙的汽車(chē)站，每天有大量汽車(chē)通過(guò)，設(shè)每輛車(chē)在一天的某時(shí)段出事故的概率為

0.000

1,在某天的該時(shí)段內(nèi)有1000

輛汽車(chē)通過(guò)，問(wèn)出事故的次數(shù)不小于

2

的概率是多少（利用泊

松定理）？【解】設(shè)X

表示出事故的次數(shù)，則

X~b（1000，0.0

001）8.已知在五重貝努里試驗(yàn)中成功的次數(shù)

X

滿足

P{X=1}=P{X=2}，求概率

P{X=4}.【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為

p，則故所以4

1

4

2

103

3

243P(

X

4) C5

(

).9.設(shè)事件

A

在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為

0.3，當(dāng)

A

發(fā)生不少于

3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)，12進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；進(jìn)行了

7次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.【解】（1）設(shè)X

表示

5次獨(dú)立試驗(yàn)中

A

發(fā)生的次數(shù)，則

X~6（5，0.3）5P(

X

3)

k

C

(0.k

3)

(05.7k

)0.163085k

3(2)令Y

表示

7次獨(dú)立試驗(yàn)中

A

發(fā)生的次數(shù)，則

Y~b（7，0.3）7P(Y

3)

kC

(0.k3)

(0.7

7k)0.352937k

310.某公安局在長(zhǎng)度為

t

的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)

X

服從參數(shù)為（1/2）t

的泊松分布，而與時(shí)間間隔起點(diǎn)無(wú)關(guān)（時(shí)間以小時(shí)計(jì)）.（1）求某一天中午

12時(shí)至下午

3時(shí)沒(méi)收到呼救的概率；（

2）求某一天中午

12時(shí)至下午

5時(shí)至少收到

1次呼救的概率.3

5【解】（1

）

P(X0)

e2P(

X

1)

1

P(

X

0)

1e

2211.設(shè)P{X=k}=(C2)k

pk

(1p)2kk,=0,1,2P{Y=m}=C

m

pm

(1

p)44m

,

m=0,1,2,3,45分別為隨機(jī)變量

X，Y

的概率分布，如果已知

P{X≥1}=，試求

P{Y≥1}.95

49【解】因?yàn)?/p>

P(

X

1).而，故

P(

X

1)9P(

X

1)

P(

X

0)

(1

p)2故得即(1

p)24

,91從而p.365P(Y

1)

1

P(Y

0)

1 (1

81p)4

0.80247得e

2

255!12.某教科書(shū)出版了

2000冊(cè)，因裝訂等原因造成錯(cuò)誤的概率為

0.001，試求在這

2000冊(cè)書(shū)中恰有

5冊(cè)錯(cuò)誤的概率.【解】令X

為2000冊(cè)書(shū)中錯(cuò)誤的冊(cè)數(shù)，則

X~b(2000,0.001).利用泊松近似計(jì)算,np

2000

0.001

2P(

X

5)0.001813.進(jìn)行某種試驗(yàn)，成功的概率為

3

，失敗的概率為

1

.以X

表示試驗(yàn)首次成功所需試驗(yàn)的次4

4數(shù)，試寫(xiě)出

X

的分布律，并計(jì)算

X

取偶數(shù)的概率.【解】

X1,

2, ,

k

,1(k

)1

34

4P(

X

k

)P

(

X

2)

P

(

X

4)

P

(

X

2

k

)1

3 1

3

34

41

2k13(

)(

)41244

43

414

11(

)

541014.有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn).在一年中每個(gè)人死亡的概率為

0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在

1月1日須交

12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取

2000元賠償金.求：12保險(xiǎn)公司虧本的概率;保險(xiǎn)公司獲利分別不少于

10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來(lái)考慮.（1）在1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為

2500×12=30000元.設(shè)

1年中死亡人數(shù)為

X，則

X~b(2500,0.002)，則所求概率為P(2000X

30000)

P

(

X

15)

1

P

(

X

14)由于

n

很大，p

很小，λ=np=5，故用泊松近似，有5

5kk

!14

eP(

X

15)

1k

0(2)P(保險(xiǎn)公司獲利不少于

10000)0.00006910P(30000

2000X10000)

P

(

X

10)!k

010

5

kke

50.986305即保險(xiǎn)公司獲利不少于

10000元的概率在

98%以上P（保險(xiǎn)公司獲利不少于

20000）P(30000

2000X

20000)

P

(

X

5)5

5kk

!k

05

e0.615961即保險(xiǎn)公司獲利不少于

20000元的概率約為

62%15.已知隨機(jī)變量

X

的密度函數(shù)為f(x)=Ae求：（1）A

值；（2）P{0<X<1};

(3)|x|,

∞<x<+∞,F(x).【解】（1）由f

(

x

)dx1得Ae|x|0dx

2

Aex

dx

2A1故12A.2

x(2)

p(0

X

1)2

0

11e

dx11(1

e

)2(3)當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)

(x)1

exx2x

1

e

dx21

e0

2當(dāng)x≥1

0時(shí)x，F(xiàn)

(x)|x|dx1exdxe

dxx0x故2x12

ex

,

x

0121

2

1

exF

(x)1e

x

016.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命

X

的密度函數(shù)為f(x)=100

,x

100,x

20,

x

100.1求：（1）在開(kāi)始

150小時(shí)內(nèi)沒(méi)有電子管損壞的概率；在這段時(shí)間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；F（x）.【解】150

100100

x

2（1）

P(

X

150)dx3.10127p

[P(

X3150)]3

2

3(

)

8122

31

2

43

3

9(2)

p

C (

)(3)當(dāng)x<100時(shí)F（x）=0x當(dāng)x≥100時(shí)F

(x

)f

(t)dt100100xf

(t)dtf(t)dtx

100100

t

2100dt

x

1故1F

(

x

)x100

,x

1000,x

017.在區(qū)間［0，a］上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以

X

表示這質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)這質(zhì)點(diǎn)落在［0，a］中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長(zhǎng)度成正比例，試求

X

的分布函數(shù).【解】

由題意知

X~∪[0,a]，密度函數(shù)為1

,

0

x

aaf

(

x

)0,其他故當(dāng)

x<0時(shí)F（x）=0x

x當(dāng)0≤x≤a

時(shí)

F

(x)

f

(t)dt0當(dāng)x>a

時(shí)，F(xiàn)（x）=1即分布函數(shù)f

(t)dx

t1

x

dt0

a

a0,xF

(x)a,x

00

x

ax

a1,18.設(shè)隨機(jī)變量

X

在[2，5]上服從均勻分布.現(xiàn)對(duì)

X

進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，求至少有兩次的觀測(cè)值大于

3的概率.【解】X~U[2,5]，即1

,

2

x

53

0,f

(

x

)其他53

31

dx3P(

X

3)2故所求概率為2

2

2

1203

33

273C23

3(

)p

C3

(

)19.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間

X（以分鐘計(jì)）服從指數(shù)分布

E

(15).某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過(guò)

10分鐘他就離開(kāi).他一個(gè)月要到銀行

5次，以Y

表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開(kāi)窗口的次數(shù)，試寫(xiě)出

Y

的分布律，并求

P{Y≥1}.1【解】依題意知

X

~

E()，即其密度函數(shù)為5x1e

5

,

x

050,

x

0f

(x)該顧客未等到服務(wù)而離開(kāi)的概率為110

5x10P(

X

10)e

5

dx

e2Y

~

b(5,e

2

),即其分布律為P(Y

k

)P(Y

1)

15Ck

(e

2

)k

(1 e

2

)5P(Y

0)

1

(1

ek

,

k

0,1,

2,3,

4,52

)5

0.516720.某人乘汽車(chē)去火車(chē)站乘火車(chē)，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時(shí)間

X

服從N（40，102）；第二條路程較長(zhǎng)，但阻塞少，所需時(shí)間

X

服從

N（50，42）.12若動(dòng)身時(shí)離火車(chē)開(kāi)車(chē)只有1小時(shí)，問(wèn)應(yīng)走哪條路能乘上火車(chē)的把握大些？又若離火車(chē)開(kāi)車(chē)時(shí)間只有

45分鐘，問(wèn)應(yīng)走哪條路趕上火車(chē)把握大些？【解】（1）若走第一條路，X~N（40，102），則1010P(

X

60)

Px

40

60

40(2)

0.97727若走第二條路，X~N（50，42），則4X

50

4

60

50P(

X

60)

P(2.5)0.9938

++故走第二條路乘上火車(chē)的把握大些.（2）若X~N（40，102），則10X40

1045

40P(

X

45)

P若X~N（50，42），則(0.5)0.691544P(

X

45)

P1X

50

45

50(

1.25)(1.25)

0.1056故走第一條路乘上火車(chē)的把握大些.21.設(shè)X~N（3，22），10（1）

求

P{2<X≤5}，P{

4<X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3};（2）確定

c

使P{X＞c}=P{X≤c}.22 3

2

X

3

5

32【解】（1）

P(2X

5)

P12(1)

1

2

(1)

10.8413

1

0.6915

0.5328P(

4

X

10)

P

224

2

3

X

3

10

372

72)

P

(

X

2

2)

P

(

X0.9996P(|

X

|2)2X

3

2

3222PPX

32

311511522220.691510.99380.6977P(

X

3)

P(

X3

23

-

3

)1(0)0.52(2)

c=322.由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度（cm）X~N（10.05,0.062）,規(guī)定長(zhǎng)度在

10.05±0.12內(nèi)為合格品,求一螺栓為不合格品的概率.X

10.05

0.12【解】

P(|

X

10.05

|

0.12)

P0.06

0.06(2)

(

2)

2[110.0456(2)]23.一工廠生產(chǎn)的電子管壽命

X（小時(shí)）服從正態(tài)分布

N（160，σ2），若要求

P{120＜X≤200}≥0.8，允許σ最大不超過(guò)多少？16

X

1600

200

160【解】

P(120

X

200)

P

12040402401

0.8故401.2931.251024.設(shè)隨機(jī)變量

X

分布函數(shù)為A

Be0,xt

,x

(

0,

0),x

0.F（x）=求常數(shù)

A，B；求P{X≤2}，P{X＞3}；求分布密度

f（x）.lim

F

(

x

)

1x

0

x

0A

1B【解】（1）由x

得lim

F

(x) lim

F

(x)1（2）

P(

X

2)

F

(2)

1

eP(

X

3)

1

F

(3)231

(1

e

)

e3ex

,x

00,

x

0(3)

f

(x)

F

(x)25.設(shè)隨機(jī)變量

X

的概率密度為x,f（x）=

2

x,0,0

x

1,1

x

2,其他.求X

的分布函數(shù)

F（x），并畫(huà)出

f（x）及

F（x）.【解】當(dāng)x<0時(shí)F（x）=0x

0xf

(t)dt

f

(t)dt

f

(t)dt0當(dāng)0≤x<1時(shí)F

(x

)x

x

2tdt02x當(dāng)1≤x<2時(shí)F

(x

)f

(t)dt010xf

(t)dt1101321xf

(t)dtf

(t)dttdt(2

t)dt2x2x22x

222x

1x當(dāng)x≥2時(shí)F

(x

)f

(t)dt

1故2x221,0,x2,x

00

x

1F

(x)2x

1,1

x

2x

226.設(shè)隨機(jī)變量

X

的密度函數(shù)為（1）

f(x)=

ae

|x|,λ>0;101(2)

f(x)=bx,

0

x

1,,

1

x

2,x

20,

其他.試確定常數(shù)

a,b，并求其分布函數(shù)

F（x）.【解】（1）由02a

dx|x|aexf

(x)dx2a1知1edx故2a即密度函數(shù)為

e2e

x

2xx,0f

(x)x

012xxxx當(dāng)x≤0時(shí)F

(x)f

(

x)dxe

dxexdx

22x0xex當(dāng)x>0時(shí)F

(x)f

(

x)dx02e

dx11

e2x故其分布函數(shù)1

2

1

e1e

,x

2x

,x

0F

(x)x

01

xb=b1xdx221b

0f

(x)dx211(2)由得1dx2即X

的密度函數(shù)為x

,

0

x

1f

(x)

1

,

1

x

2x20, 其他當(dāng)x≤0時(shí)F（x）=000xx當(dāng)0<x<1時(shí)F

(x

)f

(x)dx

f

(x)dxf

(x)dx0xxdx

x

221xdx02x

11

xx0當(dāng)

1≤x<2

時(shí)

F

(x)

f

(x)dx

0dxdx3

12

x當(dāng)x≥2時(shí)F（x）=1故其分布函數(shù)為0,x2,

0

x

1x

0F

(x)3

21

,

1

x

22

x101,x

227.求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位點(diǎn)，（1） =0.01，求

z

;/

2

.0.01（2） =0.003，求

z

，z【解】（1）

P(

X z

)即即1(z

)

0.01(z

)

0.09故z

2.33z

)

0.003

得（2）由P(X1(z

)

0.003即查表得(z

)

0.997z2.75由

P(

X

z/

2

)0.0015

得1(z/

2

)0.0015即查表得(z/

2

)0.9985z/

22.9628.設(shè)隨機(jī)變量

X

的分布律為X2

1013Pk求Y=1/5

1/6X2

的分布律.1/51/1511/30【解】Y

可取的值為

0，1，4，9P(Y

0)

P(

X

0)51P(Y

1)

P(

X1)

P(

X

1)1

1

76 15

30P(Y

4)

P(

X2)15P(Y

9)

P(

X

3)1130故Y

的分布律為Y0149Pk1/57/301/511/3029.設(shè)P{X=k}=(1

)k,k=1,2,…,令2Y1, 當(dāng)X

取偶數(shù)時(shí)1, 當(dāng)X

取奇數(shù)時(shí).求隨機(jī)變量

X

的函數(shù)

Y

的分布律.【解】

P(Y

1)

P

(

X

2)

P

(

X

4)P

(

X

2

k

)1

2

1

41(

)2(

)2(

)

/(141(

2k)2)1

14

3P(Y101)

1

P(Y

1)2330.設(shè)X~N（0，1）.123求Y=eX

的概率密度；求Y=2X2+1的概率密度；求

Y=｜X｜的概率密度.【解】（1）當(dāng)y≤0時(shí)，F(xiàn)Y

(y)P(Yy)0當(dāng)y>0時(shí)，F(xiàn)Y

(y)P(Yy)P

(

e

xy)P(

Xln

y)ln

yf

X

(x)dx故12πfY

(

y)dFyY

(

y)

y

1x

f

(ln

y)y

1

e2y/2ln,

y

0(2)

P(Y

2

X

2

1

1)

1當(dāng)

y≤1

時(shí)

FY

(

y)

P(Y

y)

0當(dāng)

y>1

時(shí)

FY

(

y)

P(Y

y)P

(

2

X

2

1

y

)P

X

2y

122PXy

1y

12(

y

1)/

2f

X

(

x)dx(

y

1)

/

22y

1d12f

Xy

12Y故f

(y)dyYF

(

y)4y

1fX1

2e(

y

1)/

4

,

y121y

12π(3)

P(Y

0)

1當(dāng)

y≤0

時(shí)

FY

(

y)

P(Y

y)

0當(dāng)

y>0

時(shí)

FY

(

y)

P(|

X

|

y)

P(y

X

y)yXf

(x)dxy故

fY

(

y)

dyd

FY(

y)

fX

(

y)

Xf

(

y)22π

e102y

/

2

,

y031.設(shè)隨機(jī)變量

X~U（0,1），試求：12Y=eX

的分布函數(shù)及密度函數(shù)；Z= 2lnX

的分布函數(shù)及密度函數(shù).【解】（1）

P(0X

1)

1故

P(1

Ye

Xe)

1當(dāng)y1

時(shí)FY

(y

)P(Y

y

)

010當(dāng)

1<y<e

時(shí)

YF

(

y)

P

(

e

X

y)

P(

X

ln

y)0ln

ydx

ln

y當(dāng)y≥e時(shí)YF

(y)P

(

e

X

y)

1即分布函數(shù)FY(

y)0,1,y

1ln

y,

1

y

ey

e故Y

的密度函數(shù)為fY

(

y)11

y

ey,0, 其他（2）由P（0<X<1）=1知P

(

Z

0)

1當(dāng)

z≤0

時(shí)，

FZ

(

z

)

P(Zz)0當(dāng)

z>0

時(shí)，

FZ

(

z

)

P(Zz)P( 2

ln

X

z)P(ln

Xz

)P(

X

ez

/

2

)21edx

1

ez

/

2z/

2即分布函數(shù)FZ(

z

)0-

,z

/

2z

01-e

,z0故Z

的密度函數(shù)為fZ(

z

)1

e20,0z

/

2

z,z

032.設(shè)隨機(jī)變量

X

的密度函數(shù)為f(x)=

π20,2

x

,0

x

π,其他.試求

Y=sinX

的密度函數(shù).【解】

P(0

Y

1)

1當(dāng)

y≤0

時(shí)，

FY

(

y)

P(Y

y)

0y)

P(sin

X

y)當(dāng)

0<y<1

時(shí)，

FY

(

y)

P(YP(0

X

arcsin

y)

P

(

π

arcsin

y

X

π)0π22x

dxπ

arcsin

yπ2arcsin

y

2

x

dx

π1π2

π21（arcsin

y2

） 1-

（π-arcsin2

y）1fY

(

y)2

arcsin

yπ當(dāng)

y≥1

時(shí)，

FY

(

y)

1故Y

的密度函數(shù)為2π10,,

0

y

1y2其他33.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)如下：(2)

,1

,

x

(1)

,1

x

2

x

(3)

.F

(x)試填上(1),(2),(3)項(xiàng).【解】由lim

F

(

x

) 1

知②填

1。x由右連續(xù)性

lim

F

(

x

)

F

(

x

0

)x

x0+從而③亦為

0。即1

知x00

，故①為

0。1

,

x

02xF

(x)1x

01,34.同時(shí)擲兩枚骰子，直到一枚骰子出現(xiàn)

6點(diǎn)為止，求拋擲次數(shù)

X

的分布律.1.且A1

與A2

相互獨(dú)立。再設(shè)

C={每次【解】設(shè)Ai={第i枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)}。（i=1,2）,P(Ai6)=拋擲出現(xiàn)

6點(diǎn)}。則P(C)

P(

A1

A2

)

P(

A1)

P(

A2

)

P(

A1)P(

A2

)1

111116

66610故拋擲次數(shù)

X

服從參數(shù)為 的幾36何分布。31611035.隨機(jī)數(shù)字序列要多長(zhǎng)才能使數(shù)字

0至少出現(xiàn)一次的概率不小于

0.9?【解】令X

為0出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)數(shù)字序列中要包含

n

個(gè)數(shù)字，則X~b(n,0.1)P(

X

1)

1

P(

X

0)

n

1 C0

(0.1)0

(0.9)n

0.9即得(0.9)n

0.1n≥22即隨機(jī)數(shù)字序列至少要有

22個(gè)數(shù)字。36.已知2x.0,1F（x）=

x

,21,0x,1x

0,12則F（x）是（（A）連續(xù)型；）隨機(jī)變量的分布函數(shù).（B）離散型；（C）非連續(xù)亦非離散型.【解】因?yàn)?/p>

F（x）在（

∞,+∞）上單調(diào)不減右連續(xù)，且

lim

F

(

x

)

0xlim

F

(x

) 1

,所以

F（x）是一個(gè)分布函數(shù)。x但是

F（x）在

x=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故

F（x）是非連續(xù)亦非離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。選（C）37.設(shè)在區(qū)間[a,b]上，隨機(jī)變量

X

的密度函數(shù)為

f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，則區(qū)間[a,b]等于（

）(A)

[0,π/2];

(B)[0,π];(C)

[

π/2,0];(D)

[0,2

3

π

].ππ

/

2【解】在[0,2

]上sinx≥0，且0πsin

xdx1

.故f(x)是密度函數(shù)。在[0,π]上0sin

xdx2.故1f(x)不是密度函數(shù)。0

，故

f(x)不是密度函數(shù)。3在[2π

,0]上sin

x在[0, π]

上，當(dāng)π數(shù)。

2故選（A）。3xπ

時(shí)，sinx<0，f(x)也不是密度函238.設(shè)隨機(jī)變量

X~N（0，σ2），問(wèn)：當(dāng)σ取何值時(shí)，X

落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大？X

3

)( )令g(

)1【解】因?yàn)?/p>

X

~

N

(0,

2

),

P(1

X

3)

P(

1(

3

)利用微積分中求極值的方法，有g(shù)

(

)(232(3

)

)2e

1/

2

[122111(

)122

21122e1/

228

/

23e9

/

223e

]

0令204ln

3得,則02ln

3又g

(0)

002ln

3故為極大值點(diǎn)且惟一。2故當(dāng) 時(shí)

X

落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大。ln

339.設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)進(jìn)入某一商店的顧客人數(shù)

X

服從泊松分布

P（λ），每個(gè)顧客購(gòu)買(mǎi)某種物品的概率為

p，并且各個(gè)顧客是否購(gòu)買(mǎi)該種物品相互獨(dú)立，求進(jìn)入商店的顧客購(gòu)買(mǎi)這種物品的人數(shù)

Y

的分布律.m

!em【解】

P(

X

m),

m

0,1,

2,設(shè)購(gòu)買(mǎi)某種物品的人數(shù)為

Y，在進(jìn)入商店的人數(shù)

X=m

的條件下，Y~b(m,p)，即P(Y

k

|

X

m) Ck

pk

(1m由全概率公式有p

)

m

k

,

k

0,1, ,

mP(Y

k

)

P(

Xm)P(Y

k

|

X

m)m

k(

pe)kemC

kp

(k1

p)

mm

!(

pe)k

,p

k

0,1,

2,k

!emmkm

kk(1

p

)pk

(1

p)mkm

kk

!

mk

!ee(

k

p)k

!(m

k

)![

(1m

k

p)](m

k

)!10此題說(shuō)明：進(jìn)入商店的人數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布，購(gòu)買(mǎi)這種物品的人數(shù)仍服從泊松分布，但參數(shù)改變?yōu)?/p>

λp.40.設(shè)隨機(jī)變量

X

服從參數(shù)為

2

的指數(shù)分布.證明：Y=1 e

2X

在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布.【證】X

的密度函數(shù)為2

x

,2e

x

00,

x

0Xf

(x)由于

P（X>0）=1，故

0<1 e

2X<1，即P（0<Y<1）=1當(dāng)

y≤0

時(shí)，F(xiàn)Y（y）=02

x當(dāng)y≥1時(shí)，F(xiàn)Y（y）=1當(dāng)

0<y<1

時(shí)，

FY

(

y)

P(Y

y)

P(e

1

y)P(

X

1

ln(1

y))10221

ln(1

2ye)

2

xdx0y即Y

的密度函數(shù)為fY(

y)0

y

11,0,其他即Y~U（0，1）41.設(shè)隨機(jī)變量

X

的密度函數(shù)為90,f(x)=,3

x

6,其他.1

,

032x

1,若k

使得

P{X≥k}=2/3，求

k

的取值范圍.(2000研考)213k

1【解】由

P（X≥k）= 知

P（X<k）=3若k<0,P(X<k)=0k

1若0≤k≤1,P(X<k)=0

3dx3

3當(dāng)k=1時(shí)P（X<k）=130

311

1dx13k若1≤k≤3時(shí)P（X<k）=0dx2

13

931

1k

2若3<k≤6，則P（X<k）=若

k>6,則P（X<k）=10

3dx3

9dx

1k故只有當(dāng)

1≤k≤3時(shí)滿足

P（X≥k）=

2.342.設(shè)隨機(jī)變量

X

的分布函數(shù)為F(x)=0,0.4,x1,1

x

1,0.8,1,1

x

3,x

3.求

X

的概率分布. （1991

研考）【解】由離散型隨機(jī)變量X分布律與分布函數(shù)之間的關(guān)系，可知X的概率分布為X113P0.40.40.243.設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件

A

出現(xiàn)的概率相等.若已知

A

至少出現(xiàn)一次的概率為

19/27，求A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率.【解】令X

為三次獨(dú)立試驗(yàn)中

A

出現(xiàn)的次數(shù)，若設(shè)

P（A）=p,則X~b(3,p)由

P（X≥1）=

19

知

P（X=0）=（1

p）3=

827

27故p=1344.若隨機(jī)變量

X

在（1，6）上服從均勻分布，則方程

y2+Xy+1=0有實(shí)根的概率是多少？【解】1

,1

x

60

5, 其他f

(

x

)2)

P(

X

2)45P(

X

2

4

0)

P(

X

2)

P(

X45.若隨機(jī)變量

X~N（2，σ2），且

P{2<X<4}=0.3，則P{X<0}=

.102

2

X

2

4

2X

4)

P(

)【解】

0.3

P(22(0)2故(

2

)因此2(

)

0.5(

)

0.8P(

X

0)

X

2

0

2P()

()1 (

2

)

0.2假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率

0.7可以直接出廠；以概率

0.3需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào) 試后以概率

0.8可以出廠，以概率

0.2定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了

n(n≥2) 臺(tái)儀器（假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過(guò)程相互獨(dú)立）.求全部能出廠的概率α；其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率β；其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率θ.10n【解】設(shè)A={需進(jìn)一步調(diào)試}，B={儀器能出廠}，則A

={能直接出廠}，AB={經(jīng)調(diào)試后能出廠}由題意知

B=A

∪AB，且P(

A)0.3,

P(B

|

A)0.8P(

AB)P(

A)P(B

|

A)0.30.8

0.24P(B)P(

A)

P(

AB)0.70.24

0.94令X

為新生產(chǎn)的

n

臺(tái)儀器中能出廠的臺(tái)數(shù)，則

X~6（n，0.94）,故P(

X

n)P(

X

nP(

X

n(0.94)n2)2

C

(n0.294)

2

(0.06)2)

1

P(

X

n

1)

P(

X

n)1

n(0.94)n

10.06

(0.94)n47.某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語(yǔ)成績(jī)（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)?/p>

72分，96分以上的占考生總數(shù)的

2.3%，試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?/p>

60分至

84分之間的概率.【解】設(shè)X

為考生的外語(yǔ)成績(jī)，則

X~N（72，σ2）0.023

P(

X

96)

PX

72

96

721(

24

)故24(

)

0.977查表知242

,即σ=12從而X~N（72，122）故P(60X84)P601272

X1272

84

7212(1)(

1)2

(1)

10.68248.在電源電壓不超過(guò)

200V、200V~240V和超過(guò)

240V三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為

0.1，0.001和0.2（假設(shè)電源電壓

X

服從正態(tài)分布

N（220，252））.試求：（1）該電子元件損壞的概率α;(2)該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在

200~240V的概率β【解】設(shè)A1={電壓不超過(guò)

200V}，A2={電壓在

200~240V}，A3={電壓超過(guò)240V}，B={元件損壞}。由

X~N（220，252）知P(

A1)

P(

X200)PX

220

200

22025

25(

0.8)1

(0.8)

0.212P(

A2

)

P(200

X

240)200

220

X

220

240

22025

25

25(0.8)

(

0.8)

0.576PP(

A3

)

P(

X

240)

1

0.212

0.576

0.212由全概率公式有3P(B)P

(

A

)

P

(

B

|

A

)i

i0.0642i

1由貝葉斯公式有2P(

A2

)P(B

|

A2

)P(

B)P(

A

|

B)0.009【解】

fX(x)49.設(shè)隨機(jī)變量

X

在區(qū)間（1，2）上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量

Y=e2X

的概率密度

fY(y).1

x

21,0, 其他因?yàn)?/p>

P（1<X<2）=1,故P（e2<Y<e4）=1當(dāng)y≤e2

時(shí)FY（y）=P(Y≤y)=0.當(dāng)

e2<y<e4

時(shí)，

YF

(

y)

P(Y

y)

P(e2

X

y)P(1

X

1

ln

y)21121102

ln

dy

xln

y

1即Y當(dāng)

y≥e4

時(shí)，

FY

(

y)

P(Y

y)

10,F

(

y)

1

n

y1,

e2

yl21,ye2e4ye4故fY(

y)1

,

e2ye42

y0, 其他50.設(shè)隨機(jī)變量

X

的密度函數(shù)為Xf

(x)=