高三數(shù)學(xué) 解析幾何專題(含解析)

高三數(shù)學(xué)解析幾何專題(含解析)1.【理科】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)A(-1,0)和B(1,0)的距離分別為d1和d2，∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1。（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B作直線l與軌跡C交于M、N兩點(diǎn)，交直線x=4于點(diǎn)E，求|EM||EN|的最小值。2.已知橢圓C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的離心率為2，其左、右焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（I）求橢圓C的方程；（Ⅱ）如圖，過(guò)點(diǎn)S(0,1/3)，且斜率為k的動(dòng)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。3.已知兩定點(diǎn)F1(-2,0)、F2(2,0)，滿足條件PF2-PF1=2的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點(diǎn)，（Ⅰ）求k的取值范圍；（Ⅱ）如果AB=63，且曲線E上存在點(diǎn)C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面積S。4.已知拋物線W:y=ax^2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1)，過(guò)A作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線L1、L2。（1）求拋物線W的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）當(dāng)直線L1與拋物線W相切時(shí)，求直線L2與拋物線W所圍成封閉區(qū)域的面積；（3）設(shè)直線L1、L2分別交拋物線W于B、C兩點(diǎn)（均不與A重合），若以BC為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，求直線BC的方程。5.動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)F(-1,0)的距離與到y(tǒng)軸的距離之差為1。（I）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；（II）過(guò)點(diǎn)Q(-3,0)的直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，問(wèn)直線x=3上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB是等邊三角形？若存在，求出所有的點(diǎn)P；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。6.橢圓M的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)D，左、右焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，拋物線N的頂點(diǎn)也在原點(diǎn)D，焦點(diǎn)為F2，橢圓M與拋物線N的一個(gè)交點(diǎn)為A(3,26)。（I）求橢圓M與拋物線N的方程；（Ⅱ）在拋物線N位于橢圓內(nèi)（不含邊界）的一段曲線上，是否存在點(diǎn)B，使得△AF1B為等邊三角形？若存在，求出所有的點(diǎn)B；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。2、解：由題可知B點(diǎn)在x軸上，且在圓外，因此B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0），其中x＞1。因?yàn)锽點(diǎn)在圓外，所以B點(diǎn)到圓心的距離大于半徑，即（x-1）＞1，解得x＞2，因此B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），其中x∈(2，+∞)。7、解：根據(jù)橢圓的定義可知，左右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-c和c，因此橢圓的中心坐標(biāo)為(0，0)。根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，a2=b2+c2，因此a＞c。由此可以得出，橢圓的右焦點(diǎn)F2在x軸右側(cè)，因此B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，0)，其中x＞c。8、解：（Ⅰ）根據(jù)題意可知，軌跡C上的點(diǎn)M滿足PM·MF2=|MF2|2，即|PM/|MF2|=1/|MF2|。由于F1、F2的坐標(biāo)已知，因此可以求出MF2的長(zhǎng)度。根據(jù)MF2與PM的比值可以列出M的軌跡方程。（Ⅱ）根據(jù)題意可知，直線l的斜率為k，OA、AB、OB的斜率分別為k1、k2、k3，且k1:k:k2=k:k3。因此可以列出k1、k2、k3與k之間的關(guān)系式，然后代入點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求出△OAB的面積。根據(jù)△OAB的面積可以得到λ的取值范圍。（Ⅲ）類似地，可以得出橢圓Γ的一個(gè)命題：過(guò)橢圓Γ的任意一條直線l，都可以構(gòu)造出一個(gè)三角形，使得這個(gè)三角形的三條邊在同一直線上，且直線l與三角形的底邊的斜率成等比數(shù)列。2根據(jù)題意，對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，都有MAMB恒成立。我們可以列出方程：MAMB=x1x2+y1y2-m(y1+y2)+m^2將A(3,4)和B(1,2)代入上式，得到：MAMB=7-2m又因?yàn)镸AMB恒成立，所以7-2m應(yīng)該等于一個(gè)常數(shù)。因此，我們可以列出方程：18(m^2-1)k^2+(9m^2+6m-15)=0化簡(jiǎn)得：2(m-1)(3m+5)=9(2k^2+1)因?yàn)閗是任意實(shí)數(shù)，所以2k^2+1的值一定大于等于1。因此，右邊的式子一定大于等于9。因此，左邊的式子也必須大于等于9。因此，我們可以列出方程組：m-1=03m+5=0解得m=1。因此，在y軸上存在一個(gè)定點(diǎn)M(1,0)，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)定點(diǎn)。接下來(lái)考慮曲線E：x^2-y^2=1。我們需要找到直線L的方程，使得L與曲線E相切，并且L的斜率為1/4。首先，我們可以列出直線L的方程：y=kx-1然后，我們將直線L的方程代入曲線E的方程，得到：x^2-(kx-1)^2=1化簡(jiǎn)得：(1-k^2)x^2+2kx-2=0因?yàn)長(zhǎng)與曲線E相切，所以方程的判別式應(yīng)該等于0。因此，我們可以列出方程：4k^2-1=0解得k=1/2或k=-1/2。因?yàn)長(zhǎng)的斜率為1/4，所以k=1/2。因此，直線L的方程為y=(1/2)x-1。接下來(lái)考慮拋物線W。我們需要找到直線L1的方程，使得L1與拋物線W相切，并且過(guò)點(diǎn)A(2,1)。首先，我們可以列出直線L1的方程：y-1=k(x-2)然后，我們將直線L1的方程代入拋物線W的方程，得到：x^2-4kx+8k-4=y因?yàn)長(zhǎng)1與拋物線W相切，所以方程的判別式應(yīng)該等于0。因此，我們可以列出方程：16k^2-2=0解得k=1/2或k=-1/2。因?yàn)長(zhǎng)1應(yīng)該過(guò)點(diǎn)A(2,1)，所以k=1/2。因此，直線L1的方程為y-1=(1/2)(x-2)，即y=(1/2)x。最后，我們需要找到點(diǎn)B的坐標(biāo)。因?yàn)長(zhǎng)1與拋物線W相切，所以點(diǎn)B應(yīng)該在直線L1上。因?yàn)锳B的長(zhǎng)度為1，所以點(diǎn)B應(yīng)該離點(diǎn)A的距離為1。因此，我們可以列出方程：(x-2)^2+(y-1)^2=1將y=(1/2)x代入上式，得到：5x^2-20x+16=0解得x1=2和x2=8/5。因?yàn)閤2>2，所以我們可以舍去x2。因此，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,2)。綜上所述，S=AB*OM=1*sqrt(2)/2=sqrt(2)/2。（注：OM表示M到AB的距離，由于題目中沒有給出OM的值，所以我們需要通過(guò)計(jì)算得到。）2.2.1.由題意可得：$$2\div\frac{x+y}{1+xy}=3$$整理得：$$x+y=2xy+1$$移項(xiàng)得：$$y=\frac{1-x}{2-x}$$因?yàn)?x,y$均為正整數(shù)，所以$x=1$，$y=1$，滿足條件。2.2.將式子變形得：$$\frac{1}{1+k^2}\left(\frac{2}{1-k^2}-\frac{k^2-1}{1+k^2}\right)=2$$整理得：$$28k^4-55k^2+25=0$$解得：$$k^2=\frac{5}{7}\text{或}k^2=\frac{5}{4}$$但由于$-2<k<-1$，所以$k=-\frac{5}{2}$，因此直線$AB$的方程為$2x+y+1=0$。2.3.設(shè)$C(x,y)$，由已知$OA+OB=mOC$，得：$$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(mx,my)$$解得：$$(x,y)=\left(\frac{x_1+x_2}{m},\frac{y_1+y_2}{m}\right)$$代入已知條件得：$$x+yk-2=-45,y+kx-2=8$$解得$C(-5,2)$，$C$到$AB$的距離為$2$，因此$\triangleABC$的面積為$\frac{3\sqrt{5}}{2}$。2.4.(1)由題意可得點(diǎn)$A(2,1)$在拋物線$y=ax^2$上，因此$1=4a$，即$a=\frac{1}{4}$。又因?yàn)?AC$斜率為$-k$，同理可得$C(-4k-2,4k^2+4k+1)$，因此$|BC|=8\sqrt{2}k$。線段$BC$中點(diǎn)為$H(-2,4k^2+1)$，由題意可得以$BC$為直徑的圓與準(zhǔn)線$y=-1$相切，因此$4k^2+1+1=4\sqrt{2}k$，解得$k=\frac{1}{\sqrt{2}}$。代入$B(2-\sqrt{2},3-2\sqrt{2})$，$C(-2+\sqrt{2},3+2\sqrt{2})$，因此直線$BC$的方程為$x+y-1=0$。(2)分析可知$l$只能與拋物線$y^2=-4x$相交。設(shè)$l$的方程為$x=my-3$，代入$y^2=-4x$得$y^2+4my-12=0$。設(shè)$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，則$y_1+y_2=-4m$，$y_1y_2=-12$，解得$m=\frac{y_1+y_2}{-4}$。因此$M$點(diǎn)的軌跡方程為$y^2=\begin{cases}0,&x\geq0\\-4x,&x<0\end{cases}$。題目：證明在拋物線$y^2=8x$上存在一個(gè)點(diǎn)$A(3,26)$，使得以橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1$的焦點(diǎn)$F_1(-2,0)$為圓心，過(guò)點(diǎn)$A$的圓與橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1$相切，并且圓心在$x$軸上。解題思路：首先，根據(jù)題意，我們需要找到一個(gè)點(diǎn)$A(3,26)$在拋物線上，且以橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1$的焦點(diǎn)$F_1(-2,0)$為圓心，過(guò)點(diǎn)$A$的圓與橢圓相切。我們可以通過(guò)以下步驟來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題：1.求出拋物線$y^2=8x$和橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1$的交點(diǎn)。2.求出點(diǎn)$A(3,26)$在橢圓上的切線方程。3.求出點(diǎn)$A(3,26)$關(guān)于$x$軸的對(duì)稱點(diǎn)$B(3,-26)$。4.證明對(duì)于點(diǎn)$B$，不存在滿足題意的圓。解題過(guò)程：1.求出拋物線$y^2=8x$和橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1$的交點(diǎn)。將$y^2=8x$代入橢圓方程，得到：$$\frac{x^2}{36}+\frac{8x}{32}=1$$化簡(jiǎn)得：$$4x^2+9x-288=0$$解得：$$x=6,-\frac{24}{4}=-6$$將$x=6$代入拋物線方程，得到：$$y^2=48$$解得：$$y=\pm4\sqrt3$$將$x=-6$代入拋物線方程，得到：$$y^2=-48$$無(wú)解，因此我們只需考慮$x=6$時(shí)的兩個(gè)交點(diǎn)$(6,4\sqrt3)$和$(6,-4\sqrt3)$。2.求出點(diǎn)$A(3,26)$在橢圓上的切線方程。將點(diǎn)$A(3,26)$代入橢圓方程，得到：$$\frac{9}{36}+\frac{26^2}{32}=1$$化簡(jiǎn)得：$$\frac{81}{16}=32$$因此，點(diǎn)$A(3,26)$在橢圓上。對(duì)橢圓方程求導(dǎo)，得到：$$\frac{x}{18}+\frac{y}{16}\frac{dy}{dx}=0$$在點(diǎn)$A(3,26)$處，$\frac{dy}{dx}=-\frac{8}{9}$，因此切線方程為：$$\frac{y-26}{x-3}=-\frac{8}{9}$$化簡(jiǎn)得：$$9y-8x-198=0$$3.求出點(diǎn)$A(3,26)$關(guān)于$x$軸的對(duì)稱點(diǎn)$B(3,-26)$。點(diǎn)$B$關(guān)于$x$軸對(duì)稱，因此其縱坐標(biāo)為$-26$。4.證明對(duì)于點(diǎn)$B$，不存在滿足題意的圓。設(shè)點(diǎn)$G(x,0)$為圓心，半徑為$r$，則有：$$AG=AF_1=2\sqrt5$$$$BG=BF_1=2\sqrt5$$根據(jù)勾股定理，得到：$$(x-3)^2+26^2=20$$$$(x-3)^2+(-26)^2=20$$解得：$$x=\frac{29}{10},\text{或}x=-\frac{29}{10}$$當(dāng)$x=\frac{29}{10}$時(shí)，圓心$G$在$x$軸上，且圓與橢圓相切，因此滿足題意。當(dāng)$x=-\frac{29}{10}$時(shí)，圓心$G$在$x$軸下方，因此不滿足題意。因此，我們只需證明當(dāng)$x=\frac{29}{10}$時(shí)，點(diǎn)$B$不在圓上即可。設(shè)圓的方程為$(x-\frac{29}{10})^2+y^2=r^2$，代入點(diǎn)$B(3,-26)$，得到：$$\left(\frac{29}{10}-3\right)^2+26^2=r^2$$化簡(jiǎn)得：$$r^2=\frac{102}{5}$$因此，圓的方程為：$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^2+y^2=\frac{102}{5}$$將圓的方程和拋物線的方程代入，得到：$$y^2=8\left(\frac{29}{10}-x\right)$$化簡(jiǎn)得：$$y^2=232-64x$$因此，點(diǎn)$B$不在圓上。綜上所述，不存在滿足題意的點(diǎn)$B$，使得以橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1$的焦點(diǎn)$F_1(-2,0)$為圓心，過(guò)點(diǎn)$A(3,26)$的圓與橢圓相切，并且圓心在$x$軸上。答案：見上文。10、解：（1）已知點(diǎn)A(2,0),B(0,3),D(0,-3),E(1,0),M(2,3/2)，因此直線DE的方程為y=3x-3，直線BM的方程為y=-3/4x+3，解得它們的交點(diǎn)為(8/3,5/3)。因?yàn)?8/3)^2/4+(5/3)^2