八年級(jí)數(shù)學(xué)上培優(yōu)輔導(dǎo)講義拔尖訓(xùn)練 第6講 對(duì)稱變換“將軍飲馬”問題二倍角問題導(dǎo)學(xué)案及課時(shí)練習(xí)

PAGEPAGE86對(duì)稱變換模塊一“將軍飲馬”問題例1（1）如圖，在上找一點(diǎn)P，使PA+PB最?。?）如圖，在上找一點(diǎn)P，使PA+PB最小．（3）如圖，在上找一點(diǎn)P，使|PA—PB|最大．（4）如圖，在上找一點(diǎn)P，使|PA—PB|最大．（5）如圖，點(diǎn)P在銳角∠AOB的內(nèi)部，在OB邊上求作一點(diǎn)D，在OA邊上求作一點(diǎn)C，使?PCD的周長(zhǎng)最?。?）如圖，點(diǎn)P是銳角∠AOB的內(nèi)部一定點(diǎn)，在OB邊上求作一點(diǎn)D，在OA邊上求作一點(diǎn)C，使PD+CD最?。?）如圖，點(diǎn)C、D在銳角∠AOB的內(nèi)部，在OB邊上求作一點(diǎn)F，在OA邊上求作一點(diǎn)E，使四邊形CEFD的周長(zhǎng)最?。?）如圖，直線外有兩點(diǎn)A、B，有一定長(zhǎng)線段，在直線上找到點(diǎn)M、N，使得MN間的距離等于定長(zhǎng)a，使得四邊形AMNB的周長(zhǎng)最?。?）如圖，l1∥l2，點(diǎn)M、N分別是1、2上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足MN⊥2，點(diǎn)A為1上方一定點(diǎn)，點(diǎn)B為2下方一定點(diǎn)，請(qǐng)確定M、N的位置，使AM+MN+BN最?。?（1）如圖，等腰△底邊的長(zhǎng)為4，面積是122，腰的垂直平分線交于點(diǎn)，若為邊上的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則△的周長(zhǎng)最小值為.（2）（武昌區(qū)八上期中）如圖，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則EC+ED的最小值．例3（1）如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P位于∠AOB內(nèi)，且OP=3，求△PMN的周長(zhǎng)最小值．（2）（武漢二中八上期中）如圖，為∠內(nèi)一定點(diǎn)，、分別是射線、上一點(diǎn)，當(dāng)△周長(zhǎng)最小時(shí)，∠＝110°，則∠＝．（3）（青山區(qū)八上期中)如圖，∠AOB=α°，點(diǎn)P上∠AOB內(nèi)任一點(diǎn)，OP=6，點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，若△PMN周長(zhǎng)的最小值為6，則α=．（4）（洪山區(qū)八上期末)如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=125°，∠D=∠B=90°，點(diǎn)M、N分別是CD、BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△AMN周長(zhǎng)的最小時(shí)，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（）．A.130°B.110°C.100°D.90°例4（1）如圖，∠AOB=30°，OC=2，在OA上找一點(diǎn)M，在OB上找一點(diǎn)N，使得CM＋MN最小，求出此時(shí)ON的長(zhǎng)．（2）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-3，0），B（4，0），C（0，3），∠ABC的角平分線BD交AC于D，點(diǎn)P在射線BD上移動(dòng)，點(diǎn)E在x軸上移動(dòng)，若BC=5，則PA+PE的最小值為．（3）（洪山區(qū)八上期中)如圖，?ABC中，AC=8，AB=10，?ABC的面積為30，AD平分∠BAC，F(xiàn)、E分別為AC、AD上兩動(dòng)點(diǎn)，連接CE、EF，則CE+EF的最小值為．（4）（2015江漢區(qū)八下期末)如圖，菱形ABCD中，AB＝２，∠A＝120°，點(diǎn)P是直線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，線段PD的值為．例5（1）如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM=1，ON=3，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則PM+PQ+QN的最小值為．（可能會(huì)用到勾股定理)（2）（硚口區(qū)八上期中）如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)M、N分別是邊OA、OB上的定點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，記∠AMP=∠1，∠ONQ=∠2，當(dāng)PM+PQ+QN的最小值時(shí)，寫出∠1和∠2之間的數(shù)量關(guān)系．例6（武昌區(qū)八下期末)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在BC上且CE=1，點(diǎn)M、N在對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，且滿足MN=，連接BM、EN．求四邊形BMNE周長(zhǎng)的最小值．

模塊二“二倍角”問題倍角模型（以及半角模型)，本質(zhì)都是轉(zhuǎn)化成等角模型，常見方法是：（1）利用軸對(duì)思想構(gòu)造出角平分線，進(jìn)而得到等腰三角形．（2）利用外角構(gòu)造出角相等，從而得到等腰三角形．例7如圖，在?ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AB＋BD＝DC，求證：∠B=2∠C．練：如圖所示，在?ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠B=2∠C，求證：AB+BD=CD．例8（江漢區(qū)八上期中）在△中，，點(diǎn)D在BC上，連接AD．（1）如圖1，若AD⊥BC，求證：CD=AB+BD；（2）如圖2，若平分，求證：．例9（洪山區(qū)八上期末）點(diǎn)E是?ABC內(nèi)的一點(diǎn)，如圖，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段CD上（點(diǎn)E不與點(diǎn)C、D重合)，且∠EAC＝2∠EBC.求證：AE+AC=BC．例10（青山區(qū)八上期中）在△ABC中，BD為∠ABC的平分線.（1）如圖1，∠C=2∠DBC，∠A=60°，求證：△ABC為等邊三角形；（2）如圖2，若∠A=2∠C，BC=8，AB=4.8，求AD的長(zhǎng)度；（3）如圖3，若∠ABC=2∠ACB，∠ACB的平分線OC與BD相交于點(diǎn)O，且OC=AB，求∠A的度數(shù).拓：如圖所示，在?ABC中，∠ACB=2∠ABC，P為三角形內(nèi)一點(diǎn)，AP=AC，PB=PC，求證：∠BAC=3∠BAP．

第6講【課后作業(yè)】對(duì)稱變換1.如圖，M、N為?ABC的邊AC、BC上的兩個(gè)定點(diǎn)，在AB上求一點(diǎn)P，使?PMN的周長(zhǎng)最短．2.如圖，AD為等邊△ABC邊BC上的高，AB=4，AE=1，P為高AD上任意一點(diǎn)，則EP+BP的最小值為．3.如圖，草地邊緣OM與小河河岸ON在點(diǎn)O外形成30°的夾角，已知OA=3km，牧馬人從A地出發(fā)，先讓馬到草地吃草，然后再去河邊飲水，最后回到A地，整個(gè)過程所行的最短路程是km．4.如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)P為∠AOB的內(nèi)部一定點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是OA、OB的兩動(dòng)點(diǎn)．若△PEF的周長(zhǎng)的最小值為20，則OP=．5.（2015江岸區(qū)八下期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在直線BC、DC上分別找一點(diǎn)M、N，使得?AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MAN的度數(shù)為