第三章統(tǒng)計數(shù)據(jù)描述高文武

錄取中有無歧視?某高校只有兩個系，財經(jīng)系和工程系。該校報考及錄取的總體情況如下：引例2023/9/101P

如果我們只看該校男女生錄取的比率，即男生350/800=44%,女生200/600=33%。這時我們不免會問，是男同學的成績比女同學好，還是在錄取中存在著性別的歧視？學過統(tǒng)計學的同學不會簡單地做出結論，而是繼續(xù)搜集數(shù)據(jù)并得到兩個系各自錄取的男女生數(shù)據(jù)：引例2023/9/102P引例2023/9/103P

有了分系的錄取數(shù)據(jù)，不難看到工程系錄取的人數(shù)比較多，男女生錄取的比率都是50%。而財經(jīng)系招生名額較少，男女生錄取的比率都是25%。由于女生報財經(jīng)系的人多，男生報工科的人多，因而導致男生整個錄取率偏高，而女生偏低。這個例子告訴我們對數(shù)據(jù)一是要從不同角度進行分析，二是要注意權數(shù)的影響，這就是本章要討論的問題。引例2023/9/104P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）第三章統(tǒng)計數(shù)據(jù)描述總量指標相對指標平均指標（集中趨勢度量）變異度指標（離散程度度量）內容很多，加油啊！2023/9/105P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.1總量指標總量指標的意義

反映社會經(jīng)濟現(xiàn)象在一定時間、地點條件下所達到的總規(guī)模,總水平或工作總量的綜合指標.它的表現(xiàn)形式是絕對數(shù),因此也稱為絕對指標.如:2000年中國GDP為89404億元。2000年中國外匯儲備為1656億美元。工業(yè)企業(yè)實現(xiàn)利潤4262億元

2023/9/106P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.1總量指標總量指標的作用

總量指標是反映一個國家,一個地區(qū)或一個企業(yè)的人力,物力，財力狀況和加強宏觀經(jīng)濟管理的基本指標。

總量指標是計算相對指標和平均指標的基礎指標.2023/9/107P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.1總量指標總量指標的作用

總量指標是反映一個國家,一個地區(qū)或一個企業(yè)的人力,物力，財力狀況和加強宏觀經(jīng)濟管理的基本指標。

總量指標是計算相對指標和平均指標的基礎指標.2023/9/108P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.1總量指標總量指標的分類

按反映總體的內容分按反映的時間狀態(tài)分

按計量單位分總體單位總量總體標志總量時期總量指標時點總量指標實物指標價值指標2023/9/109P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.1總量指標

總體總量即總體單位數(shù),由每個總體單位加總而得到；標志總量是指總體各單位某一數(shù)量標志值的總和；如：研究某地區(qū)的工業(yè)企業(yè)職工工資情況，“職工人數(shù)”“工資總額”2023/9/1010P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.1總量指標

注意：

一個總量指標到底是屬于總體總量還是標志總量,并不是固定不變的,它隨著研究目的的不同而變化,研究目的變了,總體和總體單位,總體總量和標志總量就會隨之而變一個總體中只有一個總體單位總量，但可以有多個標志總量，它們由總體單位的數(shù)量標志值匯總而來。2023/9/1011P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.1總量指標

學生的數(shù)量標志：年齡、身高、體重、考試分數(shù)、生活費支出等等；學生總體的標志總量：總年齡、總身高、總體重、考試總分數(shù)、生活費總支出等等2023/9/1012P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.1總量指標時期指標

反映社會經(jīng)濟現(xiàn)象總體一段時期內發(fā)展過程的總量

★

時期指標的特點

1.不同的時期指標數(shù)值具有可加性；

2.時期指標數(shù)值大小與時期長短有直接關系；

3.時期指標數(shù)值是連續(xù)登記、累計的結果。

2023/9/1013P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.1總量指標

時點指標

表明社會經(jīng)濟現(xiàn)象總體在某一時點的總量；

★時點指標的特點

1.不同時點的指標數(shù)值不具有可加性。

2.時點指標的數(shù)值的大小與其時間間隔長短無關。

3.時點指標的數(shù)值是間斷計數(shù)的。2023/9/1014P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.1總量指標

實物指標

表明事物使用價值的指標，采用實物計量單位直接反映事物的自然屬性和特點：自然單位：人、輛；度量衡單位：千克、噸雙重單位：千瓦/臺；復合單位：噸公里價值指標表明事物價值的總量指標，一般以貨幣為計量單位進行計量。①現(xiàn)行價；②不變價勞動量指標：以勞動時間為單位計量的總量指標2023/9/1015P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.1總量指標

⒈總產(chǎn)值：生產(chǎn)資料轉移價值加勞動者新創(chuàng)造的價值。⒉增加值：企業(yè)或部門在一定時期內從事生產(chǎn)經(jīng)營活動所增加的價值。增加值=總產(chǎn)值-中間投入⒊國內生產(chǎn)總值(GDP)：即各個單位的增加值合計⒋國民生產(chǎn)總值(國民總收入，GNP或GNI)：國民總收入=國內生產(chǎn)總值+國外要素收入凈額我國國民經(jīng)濟的主要總量指標2023/9/1016P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

(一)相對指標的概念相對指標是兩個有聯(lián)系的統(tǒng)計指標進行對比的比值。也稱為相對數(shù)。(二)相對指標的作用說明社會經(jīng)濟現(xiàn)象之間的數(shù)量對比關系.把社會經(jīng)濟現(xiàn)象的絕對差異抽象化,使原來不能直接對比的統(tǒng)計指標可以進行對比.

2023/9/1017P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

甲企業(yè)乙企業(yè)當比較兩廠經(jīng)濟效益時利潤總額資金占用資金利潤率500萬元5000萬元3000萬元40000萬元16.7%12.5%不可比不可比可比2023/9/1018P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

無名數(shù)有名數(shù)用倍數(shù)、系數(shù)、成數(shù)、﹪、‰等表示用雙重計量單位表示的復名數(shù)相對指標的表現(xiàn)形式人/平方公里元/人2023/9/1019P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

相對指標的種類和計算方法

計劃完成程度相對指標結構相對指標比例相對指標比較相對指標強度相對指標動態(tài)相對指標2023/9/1020P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

計劃完成程度相對指標

1.定義指在某一時期某一個指標實際的完成數(shù)計劃完成數(shù)的對比關系。2.計劃完成相對數(shù)的一般公式

2023/9/1021P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

總量指標：某廠計劃完成工業(yè)增加值200萬元，實際完成220萬元，則：即：超額完成計劃的10%22平均指標：某廠產(chǎn)品，計劃單位成本為200元，實際耗用180元，則：即：超額完成計劃的10%1.根據(jù)總量指標和平均指標計算2023/9/1022P3.2相對指標

23累計法凡是計劃指標是按計劃期內各年的總和下達的，檢查計劃的完成程度時，應用如下公式：

計劃完成程度=（實際累計/計劃期內累計計劃數(shù)）232023/9/1023P3.2相對指標

24中長期計劃，如5年計劃，其計劃指標的制定有兩種不同的方法：A、一種是規(guī)定計劃期末應達到的水平，如某企業(yè)第十二個五年計劃規(guī)定最末一年產(chǎn)品產(chǎn)量應達到8000萬臺。B、一種是按全期應完成的總數(shù)來制定，如我國第十二個五年計劃（2011~2015）規(guī)定：新型農(nóng)村社會養(yǎng)老保險實現(xiàn)制度全覆蓋，城鎮(zhèn)參加基本養(yǎng)老保險人數(shù)達到3.57億人。中長期計劃完成程度的檢查方法2023/9/1024P3.2相對指標

25凡是計劃指標是按計劃期最末一年應達到的水平下達的，檢查計劃完成情況時要用水平法。公式如下：計劃期末實際達到的水平計劃完成程度=計劃期末規(guī)定應達到的水平水平法2023/9/1025P3.2相對指標

26思考題26例1：“十一五”計劃規(guī)定，至2010年末某特種材料達到年產(chǎn)200萬噸，實際情況是2009年7月至2010年6月末累計產(chǎn)量已達200萬噸，2010年實際產(chǎn)量是240萬噸，問長期計劃執(zhí)行情況？提前多長時間完成長期計劃？2.某省“十一五”規(guī)劃規(guī)定，五年內一項投資總額為200億，實際執(zhí)行情況是：第1~3年，投資120億，第四年共投資80億，第五年投資60億，求整個投資計劃的完成情況？2023/9/1026P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

272.根據(jù)相對指標計算計劃完成相對數(shù)＝例：某廠計劃2010年勞動生產(chǎn)率要比上年提高4%，實際提高5%，則即超額完成了2023/9/1027P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

28結構相對指標總體內某一部分數(shù)值與總體全部數(shù)值對比的比值，反映總體內部的構成和類型特征，又稱比重特征：282023/9/1028P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

29結構相對指標29某企業(yè)有職工1000人，其中男職工700人，

女職工300人，則結構相對數(shù)如下：

男職工占全部職工的比重（％）＝700÷1000＝70％

女職工占全體職工的比重（％）＝300÷1000＝30％

2023/9/1029P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

3030

結構相對指標有如下特點：

1.必須與統(tǒng)計分組相結合。

2.分子的數(shù)值是分母數(shù)值的一部分。

3.總體中各部分比重之和等于100％。2023/9/1030P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

3131

結構相對指標作用：

1.可以說明在一定的時間、地點和條件下總體結構特征；

2.不同時期的結構相對數(shù)的變化，可以反映實物性質的發(fā)展趨勢，分析經(jīng)濟結構的演變規(guī)律；

3.根據(jù)個構成部分所占比重的大小以及是否合理，可以反映所研究現(xiàn)象總體的質量以及人、財、物的利用情況；

4.利用結構相對數(shù)，有助于分清主次，確定工作重點。2023/9/1031P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

3232

比例相對指標

也稱協(xié)調相對數(shù)，是將總體內某一部分數(shù)值與另一部分數(shù)值對比得到的相對數(shù)，說明某一現(xiàn)象在同一時期內不同條件下的數(shù)量對比關系（某班男女生比例為3：1）

2023/9/1032P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

3333例：某地區(qū)三次產(chǎn)業(yè)的GDP（億元）資料如下：33三次產(chǎn)業(yè)的比例關系：第一產(chǎn)業(yè)：第二產(chǎn)業(yè)：第三產(chǎn)業(yè)＝300：500：200＝3：5：2＝1.5:2.5:12023/9/1033P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

3434

比較相對指標

不同總體的同一指標值的對比關系；用于反映事物之間的差別程度。2023/9/1034P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

3535中國國土面積為960萬平方公里，美國為937萬平方公里，兩者之比為352023/9/1035P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

3636

比較相對指標應注意的點

①分子、分母屬于兩個總體，時間上一致，指標相同；②分子、分母可以顛倒；③數(shù)值較小時用％表示，數(shù)值較大時用倍數(shù)表示。2023/9/1036P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

3737

它是兩個性質不同，但有聯(lián)系的總量指標的對比，用以表明現(xiàn)象的強度、密度和普遍程度。例如：人口密度——密集程度每千人擁有的汽車數(shù)——發(fā)展普及程度人均GDP——發(fā)展的強度用公式表示為：強度相對指標2023/9/1037P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

3838強度相對指標1998年末我國人口密度2010年末我國人口密度

382023/9/1038P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

3939強度相對指標的注意點分子、分母屬于兩個總體、且指標不相同；有些強度相對數(shù)的分子、分母可以顛倒；有具體的計量單位有的用有名數(shù)表示，且為復合名數(shù)。如：人口密度為：人／平方公里，人均GDP為：元／人有的用無名稱數(shù)表示如：流通費率用％表示有平均的涵義，但不是平均數(shù)。（具體區(qū)別平均數(shù)中介紹。）強度相對指標的正指標和逆指標有些強度相對指標的分子、分母可以互換，由此產(chǎn)生正指標和逆指標。2023/9/1039P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

4040動態(tài)相對指標

將總體不同時期的同一類指標對比而計算的比值。40報告期：是指所要研究的那個時期；基期：是指用以對比基礎的那個時期。2023/9/1040P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

414141例：某企業(yè)2002年工業(yè)總產(chǎn)值1000萬元，2003年工業(yè)總產(chǎn)值1100萬元，2004年工業(yè)總產(chǎn)值1200萬元。⑴2004年比2003年工業(yè)總產(chǎn)值變動情況如何？⑵2004年比2002年工業(yè)總產(chǎn)值變動情況如何？⑶2003年比2002年工業(yè)總產(chǎn)值變動情況如何？解：41即分別增長了9.09%、20％和10％。2023/9/1041P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

4242動態(tài)相對指標應注意的問題42分子分母不能交換；分子分母屬不同時期（動態(tài)）；分子分母屬于同一個總體；計量單位為百分數(shù)或小數(shù)。2023/9/1042P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.2相對指標

43434343不同時期比較動態(tài)相對數(shù)強度相對數(shù)不同現(xiàn)象比較不同總體比較比較相對數(shù)同一總體中部分與部分比較部分與總體比較實際與計劃比較比例相對數(shù)結構相對數(shù)計劃完成相對數(shù)同一時期比較同類現(xiàn)象比較2023/9/1043P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.3平均指標

444444

平均指標的概念平均指標又稱平均數(shù)，它是統(tǒng)計分析中最常用的統(tǒng)計指標之一。它反映了社會經(jīng)濟現(xiàn)象中某同質總體某一數(shù)量標志在一定時間、地點條件下所達到的一般水平，或者反映某一總體、某一指標在不同時間上發(fā)展的一般水平(分布的集中趨勢)。平均指標反映了總體分布的共性或一般水平，和標志變異指標一起分別從集中趨勢和離中趨勢兩個方面來描述總體分布的特征。次數(shù)分布數(shù)列中，多數(shù)變量值集中在平均數(shù)附近,所以用平均數(shù)代表一般水平。2023/9/1044P3.3平均指標

454545同質性：即總體內各單位的性質是相同的，如果各單位性質上存在著差異，就不能計算平均數(shù)。抽象性：即總體內各同質單位雖然存在數(shù)量差異，但在計算平均數(shù)時并不考慮這種差異，即把這種差異平均掉了。代表性：即盡管各總體單位的標志值大小不一，但我們可以用平均數(shù)這一指標值來代表總體一般水平。平均指標的性質

2023/9/1045P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.3平均指標

464646平均指標的作用

可以用來比較同類現(xiàn)象在不同地區(qū)、部門、單位（即不同總體）發(fā)展的一般水平，用以說明經(jīng)濟發(fā)展的高低和工作質量的好壞。可以用來對同一總體某一現(xiàn)象在不同時期上進行比較，以反映該現(xiàn)象的發(fā)展趨勢或規(guī)律。如對同一地區(qū)人均年收入逐年進行比較來反映該地區(qū)居民生活水平的發(fā)展趨勢或規(guī)律。可以用來分析現(xiàn)象之間的依存關系。例如，分析施肥量和農(nóng)作物的平均變量的依存關系；勞動生產(chǎn)率和平均單位成本間的依存關系?？梢怨浪愫屯扑闫渌嘘P數(shù)字2023/9/1046P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.3平均指標

474747平均指標的分類

平均指標靜態(tài)平均數(shù)動態(tài)平均數(shù)位置平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)幾何平均數(shù)調和平均數(shù)算術平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)2023/9/1047P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.3平均指標

484848算術平均數(shù)（mean）

☆也稱為均值☆集中趨勢的最常用測度值☆一組數(shù)據(jù)的均衡點所在☆體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的必然性特征☆易受極端值的影響☆有簡單算術平均數(shù)和加權算術平均數(shù)之分2023/9/1048P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.3平均指標

494949算術平均數(shù)（mean）

設一組數(shù)據(jù)為：x1，x2，…，xn

加權算術平均數(shù)簡單算術平均數(shù)2023/9/1049P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.3平均指標

5050502023/9/1050P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.3平均指標

515151調和平均數(shù)（Harmonicmean）

又稱倒數(shù)平均數(shù)，是各單位標志值倒數(shù)的算術平均數(shù)的倒數(shù),分為簡單和加權調和平均數(shù)2023/9/1051P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.3平均指標

525252幾何平均數(shù)（Geometricmean）

n個變量值乘積的

n次方根適用于對比率數(shù)據(jù)的平均主要用于計算平均增長率計算公式為2023/9/1052P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.3平均指標

535353加權幾何平均數(shù)（Weightedgeometricmean）

例：某地區(qū)25年的年經(jīng)濟增長速度分別是：1年3%，4年5%，8年8%，10年10%，2年15%，求該地區(qū)經(jīng)濟的平均年增長速度。2023/9/1053P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.3平均指標

545454眾數(shù)（Mode）

一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值適合于數(shù)據(jù)量較多時使用不受極端值的影響一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個眾數(shù)主要用于分類數(shù)據(jù)，也可用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)2023/9/1054P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.3平均指標

555555眾數(shù)（Mode）不唯一

無眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):10591268一個眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):65

9855多于一個眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):2528283642422023/9/1055P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.3平均指標

565656眾數(shù)（Mode）

一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值適合于數(shù)據(jù)量較多時使用不受極端值的影響一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個眾數(shù)主要用于分類數(shù)據(jù)，也可用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)2023/9/1056P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.3平均指標

575757組距式眾數(shù)（Mode）計算

2023/9/1057P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.3平均指標

585858中位數(shù)（Median）

1.排序后處于中間位置上的值Me50%50%不受極端值的影響主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù)2023/9/1058P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.3平均指標

59四分位數(shù)（Quartile）

排序后處于25%和75%位置上的值QLQMQU25%25%25%25%2023/9/1059P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.3平均指標

606060解：QL位置=(300)/4=75QU位置=(3×300)/4

=225

從累計頻數(shù)看，QL在“不滿意”這一組別中；QU在“一般”這一組別中四分位數(shù)為

QL

=不滿意

QU

=一般2023/9/1060P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.3平均指標

616161眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的關系左偏分布均值

中位數(shù)

眾數(shù)對稱分布

均值=中位數(shù)=

眾數(shù)右偏分布眾數(shù)

中位數(shù)均值2023/9/1061P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.3平均指標眾數(shù)不受極端值影響具有不惟一性數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大且有明顯峰值時應用中位數(shù)不受極端值影響數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時應用平均數(shù)易受極端值影響數(shù)學性質優(yōu)良數(shù)據(jù)對稱分布或接近對稱分布時應用2023/9/1062P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.4變異指標1、全距2、四分位差3、平均差4、標準差5、方差6、離散系數(shù)7、偏度8、峰度掌握它們的計算、特點和適用范圍。2023/9/1063P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.4變異指標全距是總體各單位標志值中最大值與最小值之差，又稱極差。全距R=最大值xmax－最小值xmin

優(yōu)、缺點：計算簡便，意義清楚，反映現(xiàn)象的差異程度較粗略，實用價值甚小。全距（Range）2023/9/1064P極大似然估計（MaximumLikelihoodEstimation）3.4變異指標四分位差（InterquartileRanfe（1）四分位差是四分位數(shù)中間兩個分位之差。四分位差Q=第三個四分位數(shù)Q3—第一個四分位數(shù)Q1（2）優(yōu)缺：計算簡單，意義清楚，反映現(xiàn)象的差異程度較粗略和不全面，實用價值甚小。2023/9/1065P3.4變異指標平均差（MeanDeviation）各變量值與其平均數(shù)離差絕對值的平均數(shù)能全面反映一組數(shù)據(jù)的離散程度數(shù)學性質較差，實際中應用較少計算公式為未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)2023/9/1066P3.4變異指標標準差（StandardDeviation）和方差（Variance）數(shù)據(jù)離散程度的最常用測度值反映了各變量值與均值的平均差異根據(jù)總體數(shù)據(jù)計算的，稱為總體方差(標準差)，記為

2()；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的，稱為樣本方差(標準差)，記為s2(s)2023/9/1067P3.4變異指標未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)方差的計算公式標準差的計算公式總體2023/9/1068P3.4變異指標未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)方差的計算公式標準差的計算公式注意：樣本方差用自由度n-1去除!樣本2023/9/1069P3.4變異指標自由度(DegreeofFreedom）自由度是指數(shù)據(jù)個數(shù)與附加給獨立的觀測值的約束或限制的個數(shù)之差從字面涵義來看，自由度是指一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的個數(shù)當樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)為n時，若樣本平均數(shù)確定后，則附加給n個觀測值的約束個數(shù)就是1個，因此只有n-1個數(shù)據(jù)可以自由取值，其中必有一個數(shù)據(jù)不能自由取值按著這一邏輯，如果對n個觀測值附加的約束個數(shù)為k個，自由度則為n-k2023/9/1070P3.4變異指標自由度(DegreeofFreedom）樣本有3個數(shù)值，即x1=2，x2=4，x3=9，則

x=5。當

x

=5

確定后，x1，x2和x3有兩個數(shù)據(jù)可以自由取值，另一個則不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3則必然取2，而不能取其他值。為什么樣本方差的自由度是n-1呢？因為在計算離差平方和時，必須先求出樣本均值

x

，而

x則是附加給離差平方和的一個約束，因此，計算離差平方和時只有n-1個獨立