歷年高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編30數(shù)列

1/3歷年高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編專題30數(shù)列第六緝1．【2018年廣西預賽】設an=2n，n∈N【答案】n?1【解析】由a1=2及當n≥2時，由已知條件有b①式兩邊同時乘以2，可得b1?由②③可求得，bn于是，an?bn=因此，Tn2．【2018年廣西預賽】設a1,a【答案】見解析【解析】當n=1時，結論顯然成立.假設當n=k時，結論對于任意k個非負數(shù)成立.則當n=k+1時，對于任意k+1個非負數(shù)a1,a從而a1下面證明a1+由柯西不等式可得a2即a2于是有a1故a1從而a1即①式成立.由數(shù)學歸納法可知，對任意的非負實數(shù)a13．【2018年甘肅預賽】設等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且（1）求數(shù)列an（2）在an與an+1之間插入n個實數(shù)，使這n+2個數(shù)依次組成公差為dn的等差數(shù)列，設數(shù)列1dn【答案】（1）an【解析】（1）由an+1=2S所以an+1因為an等比，且a2=2a1故an（2）由題設得an+1=a所以2T則2=2+1所以Tn4．【2018年吉林預賽】數(shù)列an為等差數(shù)列，且滿足3a5=8a12>0，數(shù)列b【答案】16【解析】因為3a5+8a12所以d＜0，a1故an由an≥0an+1≤0即a16>0，所以b1而b15故S14又S=所以Sn中S5．【2018年河南預賽】在數(shù)列an中，a1、（1）若a16=4，（2）證明：從an【答案】（1）1（2）見解析【解析】（1）因a16a23所以自第20項起，每三個相鄰的項周期的取值為1，1，0．又2018=19+666×3+1，故a2018（2）首先證明：數(shù)列an假設an中沒有“0”項，由于an+2=an+1若an+1>a若an+1<a即an+2要么比an+1至少小1，要么比令bn=a由于b1是確定的正整數(shù)，這樣下去，必然存在某項bk<0故an若第一次出現(xiàn)的“0”項為an，記a則自第n項開始，每三個相鄰的項周期的取值0、M、即an+3k所以數(shù)列an6．【2018年河北預賽】已知數(shù)列an滿足：a1=1【答案】S【解析】因為αn+1=an+故Sn又αn+1=an(1+故Tn因此Sn7．【2018年河北預賽】已知數(shù)列an（1）求數(shù)列an（2）求數(shù)列an的前n項和S【答案】（1）an=【解析】(1)由a令bn=由b得an(2)由題意知S所以1兩式相減得1設Tn=所以Sn8．【2018年四川預賽】已知數(shù)列an滿足：a1=1,an+1=1【答案】m的最大值為2．【解析】因為an+1故an若m>2，注意到n→+∞時，m?2n?1因此，存在充分大的n，使得1+m?2n?1>4所以，m≤2．又當m=2時，可證：對任意的正整數(shù)n，都有0<a當n=1,a假設n=k（k≥1）時，結論成立，即則0<a即結論對n=k+1也成立．由數(shù)學歸納法知，對任意的正整數(shù)n，都有0<a綜上可知，所求實數(shù)m的最大值為2．9．【2018年浙江預賽】設實數(shù)x1，x2，…，x2018滿足xn+12≤xnxn+2【答案】見解析【解析】證明：由條件xn，x（1）若x1009，x1010同為正數(shù)，由xn，xn+2同號可知x由x?x同理x1009類似可證明：x1006x1013因此n=12018（2）若x1009，x1010同為負數(shù)，由xn，xn+2同號可知xxn+110．【2018年浙江預賽】將2n(n≥2)個不同整數(shù)分成兩組a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn.證明：1≤i≤n【答案】見解析【解析】證明：令T下面用歸納法證明Tn當n=2時，不妨設a1<a2，b1<b2，a2<b2.T2當a1<b假設對正整數(shù)n成立，對正整數(shù)n+1，不妨設a1再設bkTn+1?i=1下證i=1n由（1）bk<an+1<i=1（2）若an+1<b11．【2018年遼寧預賽】已知數(shù)列an中，a1（1）求數(shù)列an（2）證明：對一切n∈N+【答案】（1）an【解析】（1）由已知，對n≥2上式兩邊同除以n并整理得1則k=2即1故1因此，a又當n=1時也成立，故a（2）當k≥2時，有a所以，當n≥2時，有k=1=1+又當n=1時，a故對一切n∈N+12．【2018年湖南預賽】棋盤上標有第0，1，2，???，100站，棋子開始時位于第0站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲.若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第99站（勝利大本營）或第100站（失敗集中營）是，游戲結束.設棋子跳到第n站的概率為Pn（1）求P3（2）證明：Pn+1（3）求P99【答案】（1）58（2）Pn+1【解析】（1）棋子跳到第3站有以下三種途徑：連續(xù)三次擲出正面，其概率在18；第一次擲出反面，第二次擲出正面，其概率為14；第一次擲出正面，第二次擲出反面，其概率為14（2）易知棋子先跳到第n?2站，再擲出反面，其概率為12Pn?2；棋子先跳到第n?1Pn即Pn也即Pn+1（3）由（2）知數(shù)列{Pn?Pn?1}(n≥1)是首項為P99由于若跳到第99站時，自動停止游戲，故有P10013．【2018年福建預賽】已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足2S（1）求數(shù)列an（2）設bn=1anan+1+a【答案】（1）an【解析】（1）由2Sn?n將上述兩式相減，得2a所以nan所以n+1an+1①－②，得na所以an故數(shù)列an又由2S1?a1=1，及所以an（2）由（1）知，bn所以b=1所以T=1由Tn>920，得所以使Tn>914．【2018年全國】已知實數(shù)列a1,a2,a3,?滿足：對任意正整數(shù)n（1）對任意正整數(shù)n，有an（2）對任意正整數(shù)n，有an【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】（1）約定S0=0.由條件知，對任意正整數(shù)1=a從而Sn2=n+S0顯然，an（2）僅需考慮an,an+1同號的情況.不失一般性，可設故必有Sn此時an從而an15．【2018年全國】數(shù)列an定義如下：a1是任意正整數(shù)，對整數(shù)n≥1，an+1是與k=1nai互素，且不等于【答案】證明見解析【解析】顯然a1=1或a2=1.下面考慮整數(shù)m>1，設m有k個不同素因子，我們對k歸納證明m在an中出現(xiàn).記Sk=1時，m是素數(shù)方冪，設m=pα，其中α>0，p是素數(shù).假設m不在由于an各項互不相同，因此存在正整數(shù)N，當n≥N時，都有an>pα.若對某個n≥N，p?Sn，那么pα與Sn互素，又因此對每個n≥N，都有p|Sn.但由p|Sn+1及p|Sn知p|an+1，從而an+1假設k≥2，且結論對k-1成立.設m的標準分解為m=p1α1p2α2?pkα1.假設m不在a我們證明，對n≥N'，有an+1對任意n≥N'，若Sn與p1p2?pk互素，則m與Sn互素，又對任意n≥N'，Sn與p1情形1.若存在i(1≤i≤k?1)，使得pi|Sn，因an+1,S情形2.若對每個i(1≤i≤k?1)，均有pi則由（*）知必有pk|Sn.于是pk故由（*）知，存在i01≤i0≤k?1，使得pi0|S因此對n≥N'+1，均有an≠M，而M>max1≤i≤N'ai，故M不在an由數(shù)學歸納法知，所有正整數(shù)均在an16．【2018高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第01試）】已知實數(shù)列a1,a2,a3,?滿足:對任意正整數(shù)n(1)對任意正整數(shù)n，有an(2)對任意正整數(shù)n，有an【答案】證明見解析【解析】(1)約定S0=0.由條件知，對任意正整數(shù)n，有1=a從而Sn2=n+S0顯然，an(2)僅需考慮an,an+1同號的情況.不失一般性，可設故必有Sn=n從而an17．【2018高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第02試）】設n是正整數(shù)，a1,a2,?,證明:b1【答案】證明見解析【解析】由條件知，ki記BA=K，則b1要證明i=1nkia對i=1，2，…，n，由于ki?1及0<a結合K?k1k2?kn知，為證明①，僅需證明當A>0，有i=1nkiA+1對n進行歸納.當n=1時，結論顯然成立.當n=2時，由A>0,kk1A+1A+1?因此n=2時結論成立.設n=m時結論成立，則當n=m+1時，利用歸納假設知，i=1m+1最后一步是在③中用k1k2?k從而n=m+1時結論成立.由數(shù)學歸納法可知，②對所有正整數(shù)n成立，故命題得證.18．【2018高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第02試）】數(shù)列{an}定義如下:a1是任意正整數(shù)，對整數(shù)n≥1，an+1是與i=1nai證明:每個正整數(shù)均在數(shù)列{an}中出現(xiàn).【答案】證明見解析【解析】顯然a1=1或a2=1.下面考慮整數(shù)m>1，設m有k個不同素因子，我們對k歸納證明m在{an}中出現(xiàn).記Snk=1時，m是素數(shù)方冪，設m=pα，其中α>0，p是素數(shù).假設m不在{an}中出現(xiàn).由于{an}各項互不相同，因此存在正整數(shù)N，當n≥N時，都有若對某個n≥N，p?Sn，那么pa與又a1,?,an中無一項是pa因此對每個n≥N，都有p|Sn.但由p|Sn+1及從而an+1與Sn不互素，這與a假設k≥2，且結論對k－1成立.設m的標準分解為m=p假設m不在{an}中出現(xiàn)，于是存在正整數(shù)N'，當n≥N'時，都有an>m.取充分大的正整數(shù)β1,?,β我們證明，對n≥N'，有an+1≠M.對任意n≥N′，若Sn與p1p2?pk互素，則m與Sn互素，又對任意n?N',Sn與情形一若存在i(1≤i≤k－1)，使得pi|Sn，因an+1,S情形二若對每個i(1≤i≤k－1)，均有pi|S于是pk?an+1，進而故由(*)知，存在i01?i0?k?1，使得pi0|S因此對n≥N'+1，均有an≠M，而M>max1?i?N'an，故M不在{an}中出現(xiàn)，這與歸納假設矛盾.因此，若m有k由數(shù)學歸納法知，所有正整數(shù)均在{an}中出現(xiàn).19．【2018高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第01試）】已知數(shù)列an:a1=7,【答案】12【解析】由an+1an因此an+1=a顯然{an}單調遞增.由于a11故滿足題目條件的n的最小值是12.20．【2017高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第02試）】設數(shù)列{an}定義為a1=1，an+1=a求滿足ar<r?3【答案】3【解析】由數(shù)列的定義可知a1=1,a2=2.假設對某個整數(shù)r≥2有我們證明對t=1，…，r－1，有ar+2t?1=2r+t?1>r+2t?1,ar+2t對t歸納證明.當t=1時，由于arar+1ar+2結論成立.設對某個1≤t<y－1，①成立，則由定義ar+2t+1a=r?t?1<r+2t+2，即結論對t+1也成立.由數(shù)學歸納法知，①對所有t=1，2，…，r－1成立，特別當t=r－1時，有a3r?2=1，從而若將所有滿足ar=r的正整數(shù)r從小到大記為則由上面的結論可知r1由此可知，rk+1從而rm由于r2018在1,2,?,32017中滿足ar=r的數(shù)由①可知，對每個k=1，2，…，2017，rk+1,r由于r2018+1=3而在r2018+1,?,32017中，奇數(shù)均滿足其中的偶數(shù)比奇數(shù)少1個.因此滿足ar<r?32017的正整數(shù)21．【2017高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第01試）】設數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列bn}滿足bn(1)證明:數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列；(2)設數(shù)列an,bn的公差均是d≠0，并且存在正整數(shù)s、t，使得【答案】(1)證明見解析；(2)118【解析】(1)設等差數(shù)列{an}的公差是d，則b=a所以數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列.(2)由已知條件及(1)的結果知3d2=d.因為d≠0，故d=1這樣bn若正整數(shù)s、t滿足as則as記l=2a1+s+t?23+29，則l∈又當a1=1綜上所述，a1的最小值為122．【2017高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第02試）】設a1,a2,?,a20【答案】160【解析】考慮一組滿足條件的正整數(shù)a1對k=1，2，…，5，設a1,?,a20根據(jù)X的定義，當ai=aj時，i,j?X，因此至少有k=15C注意到k=15k=15從而X的元素個數(shù)不超過C20另一方面，取a4k?3=a則對任意i，j(1≤i<j≤20)，有ai當且僅當ai=aj此時X的元素個數(shù)達到C20綜上所述，X的元素個數(shù)的最大值為160.23．【2017年河北預賽】前n項和為Sn的正項數(shù)列an(1)求數(shù)列an(2)求證:1+【答案】(1)a【解析】(1)由a12+2a1=4a由an2兩式相減得an即an2?由于an+故an所以a(2)要證1+即證1+因為2所以2即1+所以原不等式成立.24．【2017年吉林預賽】數(shù)列an中,an=a?2n+b?n?80【答案】8010【解析】an為遞增數(shù)列,由題知a6<即64a+6b因為a,b∈又因為a36=2故an=2n+2n?則a125．【2017年吉林預賽】已知無窮數(shù)列xn,yn:對任意正整數(shù)n,(1)求證:2x(2)分別判斷數(shù)列xn【答案】(1)證明見解析；(2)數(shù)列xn【解析】(1)因為xn+1所以2即2x(2)結論：數(shù)列xn由1可知,只需證明2x6?若2x6?y2=2,則y而x3?1與x因為x3?1所以x3?1=a故有x因為x?1,x2+x但x2若3?x3而x≥3時,(2)若2x2?y又因為x?12,x故z226．【2017年山東預賽】已知正實數(shù)列a1(1)an(2)12求證:12【答案】證明見解析【解析】用數(shù)學歸納法證.當n=1時,由條件得假設當n=k時結論成立,即記t=12a又ak+由①、②得a1a當n=12=1=1=1=1=1是正整數(shù)則n=k+1時，結論成立.綜上所述1227．【2017年福建預賽】若數(shù)列an中的相鄰兩項an、an+1(1)求數(shù)列an(2)設bn=c2n?1,求數(shù)列bn必要時,可以利用:1【答案】(1)an=n+【解析】(1)依題意,由韋達定理,得an所以an+1所以a1,a又a1=1即a(2)由(1)知,b所以Tn28．【2017年江西預賽】數(shù)列an、證明:(1)a(2)an【答案】證明見解析【解析】an+由此遞推得a因此a2n2?由①得,an+且由條件知,an,bn皆為嚴格遞增的正整數(shù)數(shù)列,a1bn+1將③④⑤相乘得|a29．【2017年河南預賽】已知數(shù)列an滿足a求證:(1)1a(2)a(3)1a【答案】證明見解析【解析】(1)易知an>從而an?a(2)由(1)知：1<1<1<1<2?1又a0=(3)由(2)知,n?2時,an整理得an?1>n2整理得1an?1又a1=34得30．【2017年四川預賽】已知數(shù)列an滿足:(1)若a=3,求證：數(shù)列an(2)若對任意的正整數(shù)n,都有an>3【答案】(1)an=【解析】(1)由已知得a于是，an故an(2)由an>3對任意的正整數(shù)n下面用數(shù)學歸納法證明:當a>3時,對任意的正整數(shù)n,均有當n=1時,結論成立.假設當n=k由ak>3從而,ak+1由歸納原理,知對任意的正整數(shù),均有a綜上,所求實數(shù)a∈31．【2017年甘肅預賽】已知在數(shù)列an中,a1=1,當n≥2時,其前(1)求Sn(2)設bn=Sn2n+1,數(shù)列b【答案】(1)S【解析】(1)因為Sn2=an?由題意得Sn?1?Sn≠0,以數(shù)列1Sn是首項為所以1Sn=(2)因為bn所以T32．【2017年貴州預賽】已知數(shù)列an滿足:an=2【答案】證明見解析【解析】由1m?所以An因為Bn而i=1n2i所以Bn=故3A33．【2017年安徽預賽】設數(shù)列an,bn,cn滿足【答案】證明見解析【解析】對任意正整數(shù)n,用An、Bn、Cn表示an、下面證明：存在正整數(shù)n,使得An、Bn、若不然,則對任意正整數(shù)n都有An<Bn<C這樣對任意正整數(shù)k,C2k+1≤C因此,存在正整數(shù)n使得An(1)如果An=An(2)如果An則An上述無論哪一種情況,都驗證了存在某個正整數(shù)k=n+1,使得a34．【2017年廣東預賽】(1)求使方程x1+有正整數(shù)解x1,x(2)用An表示方程①的所有正整數(shù)解x1,x2,?,xn構成的集合,當n為奇數(shù)時，我們稱An【答案】證明見解析【解析】(1)因為2017=x1當n=63時,x1故所求最大值為n=(2)?x=x與之對應,其中ai則a1>a令Bn那么x?a是An到Bn的雙射,所以?a=a1,a2即a因為a1=a1+1?若τa≤σa,我們斷言因此an于是我們有2017=所以b=a1若τa>σa且否則an?1于是我們有2017=所以c=a1由此我們證明了f:a?b如果我們能夠證明f是滿射,則f也是單射,因而是雙射,從而n=事實上,?v如果τv≤σv,則存在如果τv>σv,則存在a=35．【2017年廣西預賽】已知數(shù)列an滿足條件:a(1)求數(shù)列an(2)令cn=2【答案】(1)a【解析】(1)由題意得an+1所以數(shù)列an于是an(2)因為cn=236．【2017年浙江預賽】設f1x=x2+32【答案】答案見解析【解析】利用數(shù)學歸納法.(1)x=2是當n=1時,x=2是設fk2=由此可得x=2是fn(2)當x>2時,當n=1當n=k時