彈性力學(xué) 第四章應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系

應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系第四章

前面分別從靜力學(xué)和幾何學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，得到了連續(xù)介質(zhì)所共同滿足的一些方程。顯然，僅用這些方程還不能解決變形固體的平衡問題，因?yàn)檫€沒有考慮應(yīng)力應(yīng)變的內(nèi)在聯(lián)系。本章就來建立彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系或物理方程或本構(gòu)關(guān)系。將應(yīng)力表達(dá)為應(yīng)變的函數(shù)，則函數(shù)取決于材料的物理特性。在各向同性均勻的等截面材料單向拉伸或扭轉(zhuǎn)時(shí)，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以用實(shí)驗(yàn)確定。但對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，很難通過實(shí)驗(yàn)確定?！?－1應(yīng)力和應(yīng)變最一般的關(guān)系廣義胡克定律對(duì)于線彈性小變形問題，展成泰勒級(jí)數(shù)，并略去二階以上高量這里的等函數(shù)表示函數(shù)對(duì)應(yīng)變分量的一階偏導(dǎo)數(shù)在應(yīng)變分量為0時(shí)的值；而為函數(shù)在應(yīng)變分量為0時(shí)的值，根據(jù)無初始應(yīng)力假設(shè)，為0。均勻材料，函數(shù)對(duì)應(yīng)變的一階偏導(dǎo)數(shù)為常數(shù)。這是因?yàn)閷?duì)物體內(nèi)各點(diǎn)來說，承受相同的應(yīng)力，必產(chǎn)生相同的應(yīng)變；反之，物體內(nèi)各點(diǎn)有相同的應(yīng)變，必承受同樣的應(yīng)力。經(jīng)過上面的處理后，小變形情況就可簡(jiǎn)化為稱為彈性常數(shù)廣義胡克定律§4－2彈性體變形過程中的功和能分析物體內(nèi)任一有限部分（其體積為V,表面積為S)的功能變化，根據(jù)熱力學(xué)第一定律絕熱過程——加載很快，變形完成時(shí)間極短，沒有熱交換由于物體內(nèi)各點(diǎn)的速度在3個(gè)坐標(biāo)方向的分量為,如果以表示物體變形前的密度，則體內(nèi)所取出部分的動(dòng)能為現(xiàn)在計(jì)算在dt時(shí)間內(nèi)外力對(duì)物體內(nèi)所取出部分做的功。體力：面力：dt時(shí)間內(nèi)的位移體力的功：面力的功：高斯公式于是有dt時(shí)間內(nèi)的外力的總功為兩邊除以dt，得注意到右邊第一項(xiàng)恰好為將上式代入熱力學(xué)第一定律得令單位體積的內(nèi)能（即內(nèi)能密度）為則而代入，得由于區(qū)域V可以任意選擇，故上式成立的條件為若固定x,y,z的值，則得在dt時(shí)間內(nèi)的增量為，即在上式兩邊乘以dt由于內(nèi)能密度是狀態(tài)的單值函數(shù)，必須是全微分，因此有以下的關(guān)系：這是絕熱過程時(shí)以能量形式表示的本構(gòu)關(guān)系。等溫過程——加載緩慢，物體與外界有熱交換，但溫度不變。引入熵這樣一個(gè)狀態(tài)函數(shù)。它與系統(tǒng)熱量的增加和絕對(duì)溫度的比值有關(guān)。在物體變形的過程中，熱量的增加可能來至兩個(gè)方面：一是從周圍環(huán)境輸入和內(nèi)部熱源產(chǎn)生的熱量，二是由于物體自身對(duì)變形和熱流的阻力所消耗的功轉(zhuǎn)化成的熱量。分別以和表示過程中有這兩部分熱量引起的熵的增加，則總的增量為其中：稱為供熵稱為產(chǎn)熵T為絕對(duì)溫度熱力學(xué)第二定律:自然界中發(fā)生的一切過程都不會(huì)使產(chǎn)熵減少，即：。對(duì)于塑性變形等不可逆過程，彈性變形等可逆過程。因此在彈性變形的情況下，變?yōu)榛驅(qū)τ诘葴剡^程將以上代入熱力學(xué)第一定律得引入自由能密度其中為單位體積的熵，則而同樣可得也可得等溫情況下能量形式的本構(gòu)關(guān)系。上面兩種情況可統(tǒng)一地表示為張量表示為稱為格林公式，它是通過熱力學(xué)第一第二導(dǎo)出的，因此不受變形大小和材料性能的限制，也不需無初始應(yīng)力的假設(shè)。其中稱為應(yīng)變能密度。絕熱過程：，表示自然狀態(tài)下的內(nèi)能密度。等溫過程：，表示自然狀態(tài)下的自由能密度。齊次函數(shù)的歐拉定理

若滿足,則稱該函數(shù)為m次齊次函數(shù)。設(shè)次齊次函數(shù)有偏微商，則有為了研究線彈性情況下的本構(gòu)關(guān)系，我們先介紹例如應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線彈性的，則為應(yīng)變分量的齊二次式？根據(jù)齊次函數(shù)的歐拉定理，可得所以張量表示彈性體應(yīng)變能§4－3各向異性彈性體（一）極端各向異性彈性體理論具有36個(gè)彈性常數(shù)因此而所以同理極端各向異性彈性體（完全各向異性體）有21個(gè)彈性常數(shù)因此彈性對(duì)稱面彈性體內(nèi)部每一點(diǎn)都有這樣一個(gè)平面，和該面對(duì)稱的兩個(gè)方向具有相同的彈性性質(zhì)，該平面稱為物體的彈性對(duì)稱面，而垂直于彈性對(duì)稱面的方向，稱為物體的彈性主方向。取Oyz平面為這樣的彈性對(duì)稱面，Ox軸與此對(duì)稱面垂直，因此Ox軸為彈性主方向——垂直于彈性對(duì)稱面的方向。（二）具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性彈性體一個(gè)彈性對(duì)稱面取Oyz平面為這樣的彈性對(duì)稱面，Ox軸與此對(duì)稱面垂直，因此Ox軸為彈性主方向，Ox軸旋轉(zhuǎn)180。，建立新的坐標(biāo)系。新坐標(biāo)系與的夾角方向余弦為根據(jù)應(yīng)力張量和應(yīng)變張量在坐標(biāo)變換下的轉(zhuǎn)換公式得到由于在坐標(biāo)系下本構(gòu)關(guān)系依然成立，可得將代入上式得整理可得根據(jù)各項(xiàng)異性本構(gòu)方程比較可得所以具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性材料，彈性常數(shù)由21個(gè)減少為13個(gè)。兩個(gè)彈性對(duì)稱面9個(gè)彈性常數(shù)相互垂直的3個(gè)平面中有兩個(gè)彈性對(duì)稱面，第三個(gè)必為彈性對(duì)稱面拉壓與剪切變形不同平面內(nèi)的剪切之間正應(yīng)力僅與正應(yīng)變有關(guān)；切應(yīng)力僅與對(duì)應(yīng)的切應(yīng)變有關(guān)。沒有耦合作用稱為正交各向異性橫向各向同性彈性體：在正交各向異性的基礎(chǔ)上，如果物體內(nèi)每一點(diǎn)都有一個(gè)彈性對(duì)稱軸，也就是說，每一點(diǎn)都有一個(gè)各向同性平面，在這個(gè)平面內(nèi)，沿各個(gè)方向具有相同的彈性。這種材料的獨(dú)立彈性系數(shù)只有5個(gè)這種材料的獨(dú)立彈性系數(shù)只有2個(gè)§4－4各向同性彈性體稱為拉梅常數(shù)拉梅公式張量表示體積應(yīng)變體積應(yīng)力§4－4彈性常數(shù)的測(cè)定各向同性體應(yīng)變能密度的表達(dá)式上述應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系必須包括簡(jiǎn)單拉伸和純剪切的特殊情況。因此我們借助于同一材料的簡(jiǎn)單拉伸與純剪實(shí)驗(yàn)來測(cè)定彈性常數(shù)和。首先，在簡(jiǎn)單拉伸情況下，如果將試樣拉伸方向作為x軸方向，則代入另一方面，根據(jù)簡(jiǎn)單拉伸