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2021年中考數(shù)學(xué)統(tǒng)一命題的省自治區(qū)壓軸模擬試卷
2021年中考數(shù)學(xué)壓軸模擬試卷01(山西省專用)
(滿分120分,答題時(shí)間120分鐘)
第I卷選擇題(共30分)
一、選擇題(本大題共10個(gè)小題,每小題3分,共30分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)
中,只有一項(xiàng)符合題目要求,請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑)
1.計(jì)算(—6)+1一的結(jié)果是()
A.-18B.2C.18D.-2
【答案】C
【解析】根據(jù)有理數(shù)的除法法則計(jì)算即可,除以應(yīng)該數(shù),等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù).
(-6)+(--)=(-6)X(-3)=18.
3
2.圍成下列立體圖形的各個(gè)面中,每個(gè)面都是平的是()
A.長(zhǎng)方體B.圓柱體C.球體D.圓錐體
【答案】A
【分析】根據(jù)平面與曲面的概念判斷即可.
【解析】A.六個(gè)面都是平面,故本選項(xiàng)正確;
及側(cè)面不是平面,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C球面不是平面,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D側(cè)面不是平面,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.
3.下列運(yùn)算正確的是()
A.(x+y)2—x2-+y2B.
C.—A6D.(-3x)2=9/
【答案】D
【解析】直接利用完全平方公式以及合并同類項(xiàng)、同底數(shù)幕的乘法運(yùn)算和積的乘方運(yùn)算法則分別計(jì)
算得出答案.
A.(x+y)2=/+2^)、+)2,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
8/3+/,不是同類項(xiàng),無法合并,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C.x3?9=x5,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D.(-3%)2=9/,正確.
4.桌上擺著一個(gè)由若干個(gè)相同的小正方體組成的幾何體,其主視圖和左視圖如圖所示,則組成這個(gè)
幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最多有()
(主視圖)(左視圖)
A.12個(gè)B.8個(gè)C.14個(gè)D.13個(gè)
【答案】D
【解析】易得此幾何體有三行,三列,判斷出各行各列最多有幾個(gè)正方體組成即可.
底層正方體最多有9個(gè)正方體,第二層最多有4個(gè)正方體,所以組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)
最多有13個(gè).
【點(diǎn)撥】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識(shí),解決本題的關(guān)鍵是利用“主視圖瘋狂蓋,左視圖
拆違章”找到所需正方體的個(gè)數(shù).
5.如圖,在矩形A8CD中,AB=3,BC=10,點(diǎn)E在8c邊上,DFLAE,垂足為F.若OF=6,
則線段EF的長(zhǎng)為()
A.2B.3C.4D.5
【答案】B
.AFADDF
【分析】證明得到—=—=—,求出A尸,即可求出AE,從而可得EF.
BEAEAB
【解析】,??四邊形A3CO為矩形,
:.AB=CD=3,BC=AD=\O,AD//BC,
ZAEB=ZDAFf
AFADDF
BE~AE~AB
,:DF=6,
:.NF=V102—62=8,
8106
"BEAE~31
:.AE=5f
:.EF=AF-AE=8-5=3
2x-6>0
6.不等式組',的解集是()
4-x<-l
A.x>5B.3<x<5C.x<5D.x>-5
【答案】A
【解析】先分別求出各不等式的解集,最后再確定不等式組的解集.
2x—6>0①
解:〈
由①得x>3
由②得x>5
所以不等式組的解集為x>5.
7.反比例函數(shù)),=一],下列說法不正確的是()
A.圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,-3)B.圖象位于第二、四象限
C.圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱D.y隨x的增大而增大
【答案】D
【解析】由點(diǎn)(1,-3)的坐標(biāo)滿足反比例函數(shù)故A是正確的;
由k=-3V0,雙曲線位于二、四象限,故8也是正確的;
由反比例函數(shù)的對(duì)稱性,可知反比例函數(shù)丫=-1關(guān)于y=x對(duì)稱是正確的,故C也是正確的,
由反比例函數(shù)的性質(zhì),ZV0,在每個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而增大,不在同一象限,不具有此性質(zhì),
故。是不正確的。
8.如圖,在邊長(zhǎng)為4的正方形4%/中,以點(diǎn)〃為圓心,4?為半徑畫弧,交對(duì)角線切于點(diǎn)總則圖
中陰影部分的面積是(結(jié)果保留〃)()
【答案】c
【解析】本題考查扇形的面積的計(jì)算,正方形的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分割法求陰影部
分面積.根據(jù)S~S財(cái)彩也w計(jì)算即可.
2
S&\=5H?Me——X4X4--———--=8-2”
2360
9.加工爆米花時(shí),爆開且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下,可食用率y與加
工時(shí)間x(單位:加“)滿足函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-0.2%2+1.51-2,則最佳加工時(shí)間為()min.
A.1.75.B.3.75.C.13.75.D.23.75.
【答案】B.
【解析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得.
根據(jù)題意:y=-O.2?+1.5x-2,
當(dāng)a——=3.75時(shí),>?取得最大值,
/-U.ZJ
則最佳加工時(shí)間為3.75〃〃力.
10.某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下的射擊成績(jī)記錄如下:
射擊次數(shù)20801002004001000
“射中九環(huán)186882168327823
以上”的次數(shù)
“射中九環(huán)0.900.850.820.840.820.82
以上”的頻率
(結(jié)果保留
兩位小數(shù))
根據(jù)頻率的穩(wěn)定性,估計(jì)這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí)“射中九環(huán)以上”的概率約是()
A.0.90B.0.82C.0.85D.0.84
【答案】B
【解析】根據(jù)大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果穩(wěn)定在0.82左右即可得出結(jié)論.
,/從頻率的波動(dòng)情況可以發(fā)現(xiàn)頻率穩(wěn)定在0.82附近,
...這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí)“射中九環(huán)以上”的概率是0.82.
第H卷非選擇題(共90分)
二、填空題(本大題共5個(gè)小題,每小題3分,共15分)
11.計(jì)算:(&+6)2-后=.
【答案】5
【解析】原式=2+2#+3-2逐=5.
12.如圖,每一圖中有若干個(gè)大小不同的菱形,第1幅圖中有1個(gè)菱形,第2幅圖中有3個(gè)菱形,
第3幅圖中有5個(gè)菱形,如果第n幅圖中有2019個(gè)菱形,則n=.
?<3€><M>-?■密??
第1幅第二幅第3幅第;?幅
【答案】1010.
【解析】根據(jù)題意分析可得:第1幅圖中有1個(gè).
第2幅圖中有2X2-1=3個(gè).
第3幅圖中有2X3-1=5個(gè).
第4幅圖中有2X4-1=7個(gè).
可以發(fā)現(xiàn),每個(gè)圖形都比前一個(gè)圖形多2個(gè).
故第〃幅圖中共有(2〃-1)個(gè).
當(dāng)圖中有2019個(gè)菱形時(shí),2〃-1=2019,/F1010.
13.祖沖之是中國(guó)數(shù)學(xué)史上第一個(gè)名列正史的數(shù)學(xué)家,他把圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后7位,這是祖沖
之最重要的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn).胡老師對(duì)圓周率的小數(shù)點(diǎn)后100位數(shù)字進(jìn)行了如下統(tǒng)計(jì):
數(shù)字0123456789
頻數(shù)881211108981214
那么,圓周率的小數(shù)點(diǎn)后100位數(shù)字的眾數(shù)為
【答案】9
【解析】直接根據(jù)眾數(shù)的定義可得答案.
圓周率的小數(shù)點(diǎn)后100位數(shù)字的眾數(shù)為9,
14.一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5,第三邊長(zhǎng)是方程?-8x+12=0的根,則該三角形的周長(zhǎng)
為—,
【答案】13
【分析】先利用因式分解法解方程7-8x+12=0,然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出第三邊的長(zhǎng),則
該三角形的周長(zhǎng)可求.
V?-8x+12=0,
,(%-2)(x-6)=0,
??x\=2,12=6,
?三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5,第三邊長(zhǎng)是方程/-81+12=0的根,2+2<5,2+5>6,
...三角形的第三邊長(zhǎng)是6,
,該三角形的周長(zhǎng)為:2+5+6=13.
2
15.如圖,在RtAABC中,NAfiC=90。,BDVAC,垂足為點(diǎn)O,如果8c=4,sin/D?C=一,
3
那么線段M的長(zhǎng)是.
【答案】2行.
【解析】在RtABDC中,根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出CD.根據(jù)勾股定理求出BD,在在RtAABD
中,再求出4?即可.
在RtABDC中,
-,-BC=4,sinN£>BC=2,
3
2Q
:.CD=BCxsinZDBC=4x-=-f
33
BD=NBC2—CD2=述,
3
???NA5C=90。,BDLAC.
:.ZA=ZDBC,
在RtAABD中,
,日q=逑/=2卮
sinZA32
三、解答題(本大題共8個(gè)小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步
驟)
C1Y
16.(8分)(1)計(jì)算:(T)2X-一一(T+1)
k21
(2)下面是小彬同學(xué)進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過程,請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).
x2-92x+l
x2+6x+92x+6
(x+3)(x-3)2x+1
第一步
(X+3)2-2(x+3)
x-32x+l
第二步
x+32(x+3)
2(x—3)2x+1
第三步
2(x+3)2(x+3)
2%—6—(2x+1)
第四步
2(x+3)
2x—6-2x+1
第五步
2(x+3)
5
第六步
2x+6
任務(wù)一:填空:①以上化簡(jiǎn)步驟中,第步是進(jìn)行分式的通分,通分的依據(jù)是
或填為;
②第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤,這一步錯(cuò)誤的原因是;
任務(wù)二:請(qǐng)直接寫出該分式化簡(jiǎn)后的正確結(jié)果;
任務(wù)三:除糾正上述錯(cuò)誤外,請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),就分式化簡(jiǎn)時(shí)還需要注意的事項(xiàng)給其他同
學(xué)提一條建議.
【答案】(1)1;(2)任務(wù)一:①三;分式的基本性質(zhì);分式的分子與分母都乘(或除以)同一個(gè)
不為零的整式,分式的值不變;②五;括號(hào)前是“一”號(hào),去掉括號(hào)后,括號(hào)里的第二項(xiàng)沒有變號(hào);
7
任務(wù)二:--------;任務(wù)三:最后結(jié)果應(yīng)化為最簡(jiǎn)分式或整式,答案不唯一,詳見解析.
2x+6
【解析】(1)先分別計(jì)算乘方,與括號(hào)內(nèi)加法,再計(jì)算乘法,再合并即可得到答案;
(2)先把能夠分解因式的分子或分母分解因式,化簡(jiǎn)第一個(gè)分式,再通分化為同分母分式,按照同
分母分式的加減法進(jìn)行運(yùn)算,注意最后的結(jié)果必為最簡(jiǎn)分式或整式.
(I)原式=16x一(一3)
=-2+3
=1
(2)任務(wù)一:
①三;分式的基本性質(zhì);分式的分子與分母都乘(或除以)同一個(gè)不為零的整式,分式的值不變;
故答案為:三;分式的基本性質(zhì);分式的分子與分母都乘(或除以)同一個(gè)不為零的整式,分式的
值不變;
②五;括號(hào)前是“一”號(hào),去掉括號(hào)后,括號(hào)里的第二項(xiàng)沒有變號(hào);
故答案為:五;括號(hào)前是“一”號(hào),去掉括號(hào)后,括號(hào)里的第二項(xiàng)沒有變號(hào);
任務(wù).::
f-92x+l
x2+6x+92x+6
(x+3)(x-3)2x+1
(X+3)2-2(x+3)
x-32x+\
x+32(x+3)
2(x—3)2x+1
2(x+3)2(x+3)
2x—6—(2x+1)
2(x+3)
2x-6-2x-l
2(x+3)
7
2x+6
任務(wù)三:
解:答案不唯一,如:最后結(jié)果應(yīng)化為最簡(jiǎn)分式或整式;約分,通分時(shí),應(yīng)根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)
行變形;分式化簡(jiǎn)不能與解分式方程混淆,等.
【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算,分式的化簡(jiǎn),掌握以上兩種以上是解題的關(guān)鍵.
17.(9分)母親節(jié)來臨,小明去花店為媽媽準(zhǔn)備節(jié)日禮物.已知康乃馨每支2元,百合每支3元.小
明將30元錢全部用于購(gòu)買這兩種花(兩種花都買),小明的購(gòu)買方案共有多少種?
【答案】4
【分析】設(shè)可以購(gòu)買x支康乃馨,y支百合,根據(jù)總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量,即可得出關(guān)于x,y的二元一
次方程,結(jié)合x,y均為正整數(shù)即可得出小明有4種購(gòu)買方案.
【解析】設(shè)可以購(gòu)買x支康乃馨,y支百合,
依題意,得:2x+3y=30,
.'.y=10--^.
,:X,y均為正整數(shù),
.[X=3(X=6(x=9儼=12
飛,=&卜=。卜=夕卜=2'
.??小明有4種購(gòu)買方案.
18.(10分)如圖,C,。為。。上兩點(diǎn),且在直徑A8兩側(cè),連結(jié)CO交AB于點(diǎn)E,G是左上一
點(diǎn),NAOC=/G.
(1)求證:Z1=Z2.
⑵點(diǎn)C關(guān)于。G的對(duì)稱點(diǎn)為尸,連結(jié)C足當(dāng)點(diǎn)尸落在直徑AB上時(shí),CF=10,tanZl=|,求
的半徑.
【答案】見解析。
【分析】(1)根據(jù)圓周角定理和A3為OO的直徑,即可證明N1=N2;
(2)連接。尺根據(jù)垂徑定理可得尸£>=FC=10,再根據(jù)對(duì)稱性可得。C=£>凡進(jìn)而可得OE的長(zhǎng),
再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出OO的半徑.
【解析】(1)VZADC=ZG,
:.AC=AD,
???AB為OO的直徑,
'-BC=BD,
.,.Z1=Z2;
(2)如圖,連接。尸,
rt
9:AC=AD,A3是OO的直徑,
:.AB±CD,CE=DE,
:.FD=FC=\Of
丁點(diǎn)C,尸關(guān)于OG對(duì)稱,
:.DC=DF=\0,
DE=5,
2
-
5
.'.EB=DE*tanZl=2,
VZ1=Z2,
??tanN2=5,
DE25
.\AE=
tan^22
:.AB=AE+EB=專,
.??。0的半徑為一.
4
19.(10分)王大伯承包了一個(gè)魚塘,投放了2000條某種魚苗,經(jīng)過一段時(shí)間的精心喂養(yǎng),存活率
大致達(dá)到了90%.他近期想出售魚塘里的這種魚.為了估計(jì)魚塘里這種魚的總質(zhì)量,王大伯隨機(jī)捕
撈了20條魚,分別稱得其質(zhì)量后放回魚塘.現(xiàn)將這20條魚的質(zhì)量作為樣本,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示:
(1)這20條魚質(zhì)量的中位數(shù)是—,眾數(shù)是—.
(2)求這20條魚質(zhì)量的平均數(shù);
(3)經(jīng)了解,近期市場(chǎng)上這種魚的售價(jià)為每千克18元,請(qǐng)利用這個(gè)樣本的平均數(shù).估計(jì)王大伯近
期售完魚塘里的這種魚可收入多少元?
所捕撈魚的質(zhì)量統(tǒng)計(jì)圖
8
7
6
5
4
3
2
1
0
【分析】(1)根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解可得;
(2)利用加權(quán)平均數(shù)的定義求解可得;
(3)用單價(jià)乘以(2)中所得平均數(shù),再乘以存活的數(shù)量,從而得出答案.
【解析】(1)???這20條魚質(zhì)量的中位數(shù)是第10、11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù),且第10、11個(gè)數(shù)據(jù)分別為
1.4、1.5,
.?.這20條魚質(zhì)量的中位數(shù)是=1.45(kg),眾數(shù)是1.5依,
故答案為:1.45依,1.5依.
-L2xl+L3x4+L4x5+l,5x6+L6x2+L7x2
X=20=1.45(kg),
.,.這20條魚質(zhì)量的平均數(shù)為1.45依:
(3)18X1.45X2000X90%=46980(元),
答:估計(jì)王大伯近期售完魚塘里的這種魚可收入46980元.
20.(10分)如圖,在△ABC中,。是BC邊上一點(diǎn),且
(1)尺規(guī)作圖(保留作圖痕跡,不寫作法):
①作NA8C的角平分線交AD于點(diǎn)E;
②作線段DC的垂直平分線交DC于點(diǎn)F.
(2)連接E凡直接寫出線段EF和AC的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系.
【答案】見解析。
【分析】(1)根據(jù)尺規(guī)作基本圖形的方法:
①作/ABC的角平分線交AD于點(diǎn)E即可;
②作線段DC的垂直平分線交DC于點(diǎn)F即可.
(2)連接EF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理,即可寫出線段E尸和4c的數(shù)量關(guān)系及
位置關(guān)系.
【解析】(1)如圖,①BE即為所求;
②如圖,線段QC的垂直平分線交。C于點(diǎn)F.
(2)-:BD=BA,BE平分NABD,
...點(diǎn)E是AO的中點(diǎn),
,點(diǎn)尸是C£>的中點(diǎn),
.?.EF是△AQC的中位線,
...線段斯和AC的數(shù)量關(guān)系為:EF=^AC,
位置關(guān)系為:EF//AC.
21.(12分)圖①是某車站的一組智能通道閘機(jī),當(dāng)行人通過時(shí)智能閘機(jī)會(huì)自動(dòng)識(shí)別行人身份,識(shí)
別成功后,兩側(cè)的圓弧翼閘會(huì)收回到兩側(cè)閘機(jī)箱內(nèi),這時(shí)行人即可通過.圖②是兩圓弧翼展開時(shí)的
截面圖,扇形ABC和。所是閘機(jī)的“圓弧翼”,兩圓弧翼成軸對(duì)稱,和EF均垂直于地面,
扇形的圓心角NA5C=NDEF=28°,半徑84=ED=60c7",點(diǎn)A與點(diǎn)。在同一水平線上,且
它們之間的距離為10?!?
(1)求閘機(jī)通道的寬度,即8C與所之間的距離(參考數(shù)據(jù):sin28°?0.47,cos28°?0.88.
tan28°?0.53);
(2)經(jīng)實(shí)踐調(diào)查,一個(gè)智能閘機(jī)的平均檢票速度是一個(gè)人工檢票口平均檢票速度的2倍,180人的
團(tuán)隊(duì)通過一個(gè)智能閘機(jī)口比通過一個(gè)人工檢票口可節(jié)約3分鐘,求一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通
過的人數(shù).
【答案】(1)與EP之間的距離為66.4C77?;(2)一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為
6()人.
【解析】(1)連接A。,并向兩方延長(zhǎng),分別交5C,EF于點(diǎn)M,N,則MN工BC,MN±EF,
根據(jù)MN的長(zhǎng)度就是8C與Ef之間的距離,依據(jù)解直角三角形,即可得到可以通過閘機(jī)的物體的
最大寬度;
(2)設(shè)一個(gè)人工檢票口平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為x人,根據(jù)“一個(gè)智能閘機(jī)的平均檢票速度是
一個(gè)人工檢票口平均檢票速度的2倍,180人的團(tuán)隊(duì)通過一個(gè)智能閘機(jī)口比通過一個(gè)人工檢票口可
節(jié)約3分鐘”列出分式方程求解即可;還可以設(shè)一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為x人,
根據(jù)題意列方程求解.
解:連接并向兩方延長(zhǎng),分別交BC,EF于點(diǎn)M,N.
由點(diǎn)A與點(diǎn)。在同一水平線上,BC,EE均垂直于地面可知,MN工BC,MNLEF,所以MN
的長(zhǎng)度就是與所之間的距離.同時(shí),由兩圓弧翼成軸對(duì)稱可得AM=£W.
在田中,ZAMB=90°,ZABM=28°,AB=60,
?.?sinZABM=邈,
AB
.-.AM=ABsinZABM
=60xsin28°?60x0.47=28.2.
.\MN=AM+DN+AD=2AM+AD=28.2x2+\0=66A.
:.BC與之間的距離為66.4cm.
(1)解法一:設(shè)一個(gè)人工檢票口平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為x人.
得圖=國(guó)
根據(jù)題意,-3
xlx
解,得x=30.
經(jīng)檢驗(yàn)x=30是原方程的解
當(dāng)x=30時(shí),2x=60
答:一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為60人.
解法二:設(shè)一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為x人.
180.180
根據(jù)題意,得XI.
-X
2
解,得x=60
經(jīng)檢驗(yàn)x=60是原方程的解.
答:一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為60人.
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形及列分式方程解應(yīng)用題,關(guān)鍵是掌握含30度的直角直角三角形的
性質(zhì).
22.(12分)綜合與實(shí)踐
如圖1,△A8C和△QCE都是等邊三角形.
探究發(fā)現(xiàn)
(1)△BC。與△ACE是否全等?若全等,加以證明;若不全等,請(qǐng)說明理由.
拓展運(yùn)用
(2)若8、C、E三點(diǎn)不在一條直線上,NA£>C=30°,AO=3,CD=2,求8。的長(zhǎng).
(3)若8、C、E三點(diǎn)在一條直線上(如圖2),且△ABC和△DCE的邊長(zhǎng)分別為1和2,求△4CO
的面積及AD的長(zhǎng).
【答案】(1)全等,理由見解析;⑵(3)△ACO的面積為也,
2
【解析】(1)依據(jù)等式的性質(zhì)可證明N5CD=Z4CE,然后依據(jù)SAS可證明△ACE/ABCD;
(2)由(1)知:BD=AE,利用勾股定理計(jì)算AE的長(zhǎng),可得8。的長(zhǎng);
(3)過點(diǎn)人作A凡LCD于人先根據(jù)平角的定義得/ACD=60°,利用特殊角的三角函數(shù)可得A尸
的長(zhǎng),由三角形面積公式可得△AC。的面積,最后根據(jù)勾股定理可得A。的氏.
【詳解】解:(1)全等,理由是:
/XABC和△OCE都是等邊三角形,
:.AC=BC,DC=EC,NACB=/DCE=60°,
...ZACB+ZACD^ZDCE+ZACD,
即N3CZ)=NACE,
在△BCD和△ACE中,
'CD=CE
</BCD=ZACE,
BC=AC
:./\ACE^/\BCD(SA5);
(2)如圖3,由(1)得:&BCD叁MCE,
:.BD=AE,
?.?△OCE都是等邊三角形,
.../COE=60°,CD=DE=2,
VZADC=30°,
/.ZADE=ZADC+ZCDE=300+60°=90°,
在RtZ\AOE'中,4D=3,DE=2,
AE^yjAlf+DE2=j9+4=J13,
:.BD:屈;
.
E
(3)如圖2,過點(diǎn)4作AF,CD于尸,
?;B、aE三點(diǎn)在一條直線上,
:.ZBCA+ZACD+ZDCE=ISO°,
???XABC和2DCE都是等邊三角形,
:.ZBCA=ZDCE=60°,
ZACD=60°,
AJ7
在RlZ\4Cb中,sinZACF=—,
AC
:.AF=ACXsinZACF=lx—,
22
.".SMCD=-XCDXAF=-x2x—=—,
2222
11c13
:.CF=ACXcosZACF=iX-=~,FD=CD-CF=2一一=一,
2222
在Rt/VIFD中,AD2=AF2+FZ)2=f—=3,
l2J⑴
,AO=y/j.
D
BCE
圖2
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形,勾股定理等,第
(3)小題巧作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.
23.(14分)綜合與探究
如圖,拋物線y=-x?+bx+c與x軸相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)
C,M是拋物線的頂點(diǎn),直線x=l是拋物線的對(duì)稱軸,且點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)已知P為線段MB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PDLx軸于點(diǎn)D.若PD=m,z\PCD的面積為S.求
S與m之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量m的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,在線段MB上是否存在點(diǎn)P,使APCD為等腰三角形?如果存在,請(qǐng)寫出點(diǎn)
P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.
?3
【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)S=一一m2+-m(0<m<4);(3)存在,P(-6+3近,
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