2021年中考數(shù)學(xué)壓軸模擬試卷01 （山西省專用）（解析版）

2021年中考數(shù)學(xué)統(tǒng)一命題的省自治區(qū)壓軸模擬試卷

2021年中考數(shù)學(xué)壓軸模擬試卷01(山西省專用)

(滿分120分，答題時(shí)間120分鐘)

第I卷選擇題(共30分)

一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑)

1.計(jì)算(—6)+1一的結(jié)果是()

A.-18B.2C.18D.-2

【答案】C

【解析】根據(jù)有理數(shù)的除法法則計(jì)算即可，除以應(yīng)該數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù).

(-6)+(--)=(-6)X(-3)=18.

3

2.圍成下列立體圖形的各個(gè)面中，每個(gè)面都是平的是()

A.長(zhǎng)方體B.圓柱體C.球體D.圓錐體

【答案】A

【分析】根據(jù)平面與曲面的概念判斷即可.

【解析】A.六個(gè)面都是平面，故本選項(xiàng)正確；

及側(cè)面不是平面，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C球面不是平面，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D側(cè)面不是平面，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

3.下列運(yùn)算正確的是()

A.(x+y)2—x2-+y2B.

C.—A6D.(-3x)2=9/

【答案】D

【解析】直接利用完全平方公式以及合并同類項(xiàng)、同底數(shù)幕的乘法運(yùn)算和積的乘方運(yùn)算法則分別計(jì)

算得出答案.

A.(x+y)2=/+2^)、+)2,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8/3+/,不是同類項(xiàng)，無法合并，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.x3?9=x5,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.（-3%）2=9/,正確.

4.桌上擺著一個(gè)由若干個(gè)相同的小正方體組成的幾何體，其主視圖和左視圖如圖所示，則組成這個(gè)

幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最多有（）

（主視圖）（左視圖）

A.12個(gè)B.8個(gè)C.14個(gè)D.13個(gè)

【答案】D

【解析】易得此幾何體有三行，三列，判斷出各行各列最多有幾個(gè)正方體組成即可.

底層正方體最多有9個(gè)正方體，第二層最多有4個(gè)正方體，所以組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)

最多有13個(gè).

【點(diǎn)撥】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是利用“主視圖瘋狂蓋，左視圖

拆違章”找到所需正方體的個(gè)數(shù).

5.如圖，在矩形A8CD中，AB=3,BC=10,點(diǎn)E在8c邊上，DFLAE,垂足為F.若OF=6,

則線段EF的長(zhǎng)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

.AFADDF

【分析】證明得到—=—=—,求出A尸，即可求出AE,從而可得EF.

BEAEAB

【解析】,??四邊形A3CO為矩形，

：.AB=CD=3,BC=AD=\O,AD//BC,

ZAEB=ZDAFf

AFADDF

BE~AE~AB

,:DF=6,

:.NF=V102—62=8,

8106

"BEAE~31

：.AE=5f

：.EF=AF-AE=8-5=3

2x-6>0

6.不等式組'，的解集是（）

4-x<-l

A.x>5B.3<x<5C.x<5D.x>-5

【答案】A

【解析】先分別求出各不等式的解集，最后再確定不等式組的解集.

2x—6>0①

解：〈

由①得x>3

由②得x>5

所以不等式組的解集為x>5.

7.反比例函數(shù)），=一］,下列說法不正確的是（）

A.圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,-3）B.圖象位于第二、四象限

C.圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱D.y隨x的增大而增大

【答案】D

【解析】由點(diǎn)（1,-3）的坐標(biāo)滿足反比例函數(shù)故A是正確的；

由k=-3V0,雙曲線位于二、四象限，故8也是正確的；

由反比例函數(shù)的對(duì)稱性，可知反比例函數(shù)丫=-1關(guān)于y=x對(duì)稱是正確的，故C也是正確的,

由反比例函數(shù)的性質(zhì)，ZV0,在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性質(zhì)，

故。是不正確的。

8.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形4%/中，以點(diǎn)〃為圓心，4?為半徑畫弧，交對(duì)角線切于點(diǎn)總則圖

中陰影部分的面積是（結(jié)果保留〃）（)

【答案】c

【解析】本題考查扇形的面積的計(jì)算，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分割法求陰影部

分面積.根據(jù)S~S財(cái)彩也w計(jì)算即可.

2

S&\=5H?Me——X4X4--———--=8-2”

2360

9.加工爆米花時(shí)，爆開且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下，可食用率y與加

工時(shí)間x（單位：加“）滿足函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-0.2%2+1.51-2,則最佳加工時(shí)間為（）min.

A.1.75.B.3.75.C.13.75.D.23.75.

【答案】B.

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得.

根據(jù)題意：y=-O.2?+1.5x-2,

當(dāng)a——=3.75時(shí)，＞?取得最大值,

/-U.ZJ

則最佳加工時(shí)間為3.75〃〃力.

10.某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下的射擊成績(jī)記錄如下:

射擊次數(shù)20801002004001000

“射中九環(huán)186882168327823

以上”的次數(shù)

“射中九環(huán)0.900.850.820.840.820.82

以上”的頻率

（結(jié)果保留

兩位小數(shù)）

根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí)“射中九環(huán)以上”的概率約是（）

A.0.90B.0.82C.0.85D.0.84

【答案】B

【解析】根據(jù)大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果穩(wěn)定在0.82左右即可得出結(jié)論.

,/從頻率的波動(dòng)情況可以發(fā)現(xiàn)頻率穩(wěn)定在0.82附近，

...這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí)“射中九環(huán)以上”的概率是0.82.

第H卷非選擇題（共90分）

二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）

11.計(jì)算：（&+6）2-后=.

【答案】5

【解析】原式=2+2#+3-2逐=5.

12.如圖，每一圖中有若干個(gè)大小不同的菱形，第1幅圖中有1個(gè)菱形，第2幅圖中有3個(gè)菱形，

第3幅圖中有5個(gè)菱形，如果第n幅圖中有2019個(gè)菱形，則n=.

?<3€><M>-?■密??

第1幅第二幅第3幅第；?幅

【答案】1010.

【解析】根據(jù)題意分析可得：第1幅圖中有1個(gè).

第2幅圖中有2X2-1=3個(gè).

第3幅圖中有2X3-1=5個(gè).

第4幅圖中有2X4-1=7個(gè).

可以發(fā)現(xiàn)，每個(gè)圖形都比前一個(gè)圖形多2個(gè).

故第〃幅圖中共有（2〃-1）個(gè).

當(dāng)圖中有2019個(gè)菱形時(shí)，2〃-1=2019,/F1010.

13.祖沖之是中國(guó)數(shù)學(xué)史上第一個(gè)名列正史的數(shù)學(xué)家，他把圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后7位，這是祖沖

之最重要的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn).胡老師對(duì)圓周率的小數(shù)點(diǎn)后100位數(shù)字進(jìn)行了如下統(tǒng)計(jì)：

數(shù)字0123456789

頻數(shù)881211108981214

那么，圓周率的小數(shù)點(diǎn)后100位數(shù)字的眾數(shù)為

【答案】9

【解析】直接根據(jù)眾數(shù)的定義可得答案.

圓周率的小數(shù)點(diǎn)后100位數(shù)字的眾數(shù)為9,

14.一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5,第三邊長(zhǎng)是方程?-8x+12=0的根，則該三角形的周長(zhǎng)

為—,

【答案】13

【分析】先利用因式分解法解方程7-8x+12=0,然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出第三邊的長(zhǎng)，則

該三角形的周長(zhǎng)可求.

V?-8x+12=0,

，(%-2)(x-6)=0,

??x\=2,12=6,

?三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5,第三邊長(zhǎng)是方程/-81+12=0的根，2+2<5,2+5>6,

...三角形的第三邊長(zhǎng)是6,

，該三角形的周長(zhǎng)為：2+5+6=13.

2

15.如圖，在RtAABC中，NAfiC=90。，BDVAC,垂足為點(diǎn)O,如果8c=4,sin/D?C=一，

3

那么線段M的長(zhǎng)是.

【答案】2行.

【解析】在RtABDC中，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出CD.根據(jù)勾股定理求出BD,在在RtAABD

中，再求出4?即可.

在RtABDC中，

-,-BC=4,sinN￡>BC=2,

3

2Q

:.CD=BCxsinZDBC=4x-=-f

33

BD=NBC2—CD2=述,

3

???NA5C=90。，BDLAC.

:.ZA=ZDBC,

在RtAABD中,

，日q=逑/=2卮

sinZA32

三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步

驟）

C1Y

16.（8分）（1）計(jì)算：（T）2X-一一（T+1）

k21

（2）下面是小彬同學(xué)進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

x2-92x+l

x2+6x+92x+6

(x+3)(x-3)2x+1

第一步

(X+3)2-2(x+3)

x-32x+l

第二步

x+32(x+3)

2(x—3)2x+1

第三步

2(x+3)2(x+3)

2%—6—(2x+1)

第四步

2(x+3)

2x—6-2x+1

第五步

2(x+3)

5

第六步

2x+6

任務(wù)一：填空：①以上化簡(jiǎn)步驟中，第步是進(jìn)行分式的通分，通分的依據(jù)是

或填為；

②第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是；

任務(wù)二：請(qǐng)直接寫出該分式化簡(jiǎn)后的正確結(jié)果；

任務(wù)三：除糾正上述錯(cuò)誤外，請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就分式化簡(jiǎn)時(shí)還需要注意的事項(xiàng)給其他同

學(xué)提一條建議.

【答案】（1）1;（2）任務(wù)一：①三；分式的基本性質(zhì)；分式的分子與分母都乘（或除以）同一個(gè)

不為零的整式，分式的值不變；②五；括號(hào)前是“一”號(hào)，去掉括號(hào)后，括號(hào)里的第二項(xiàng)沒有變號(hào);

7

任務(wù)二：--------；任務(wù)三：最后結(jié)果應(yīng)化為最簡(jiǎn)分式或整式，答案不唯一，詳見解析.

2x+6

【解析】（1）先分別計(jì)算乘方，與括號(hào)內(nèi)加法，再計(jì)算乘法，再合并即可得到答案；

（2）先把能夠分解因式的分子或分母分解因式，化簡(jiǎn)第一個(gè)分式，再通分化為同分母分式，按照同

分母分式的加減法進(jìn)行運(yùn)算，注意最后的結(jié)果必為最簡(jiǎn)分式或整式.

(I)原式=16x一（一3）

=-2+3

=1

（2）任務(wù)一：

①三；分式的基本性質(zhì)；分式的分子與分母都乘（或除以）同一個(gè)不為零的整式，分式的值不變；

故答案為：三；分式的基本性質(zhì)；分式的分子與分母都乘（或除以）同一個(gè)不為零的整式，分式的

值不變；

②五；括號(hào)前是“一”號(hào)，去掉括號(hào)后，括號(hào)里的第二項(xiàng)沒有變號(hào)；

故答案為：五；括號(hào)前是“一”號(hào)，去掉括號(hào)后，括號(hào)里的第二項(xiàng)沒有變號(hào)；

任務(wù).：：

f-92x+l

x2+6x+92x+6

(x+3)(x-3)2x+1

(X+3)2-2(x+3)

x-32x+\

x+32(x+3)

2(x—3)2x+1

2(x+3)2(x+3)

2x—6—(2x+1)

2(x+3)

2x-6-2x-l

2(x+3)

7

2x+6

任務(wù)三：

解：答案不唯一，如：最后結(jié)果應(yīng)化為最簡(jiǎn)分式或整式；約分，通分時(shí)，應(yīng)根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)

行變形；分式化簡(jiǎn)不能與解分式方程混淆，等.

【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)，掌握以上兩種以上是解題的關(guān)鍵.

17.（9分）母親節(jié)來臨，小明去花店為媽媽準(zhǔn)備節(jié)日禮物.已知康乃馨每支2元，百合每支3元.小

明將30元錢全部用于購(gòu)買這兩種花（兩種花都買），小明的購(gòu)買方案共有多少種？

【答案】4

【分析】設(shè)可以購(gòu)買x支康乃馨，y支百合，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量，即可得出關(guān)于x,y的二元一

次方程，結(jié)合x,y均為正整數(shù)即可得出小明有4種購(gòu)買方案.

【解析】設(shè)可以購(gòu)買x支康乃馨，y支百合，

依題意，得：2x+3y=30,

.'.y=10--^.

,:X,y均為正整數(shù),

.[X=3（X=6（x=9儼=12

飛，=&卜=。卜=夕卜=2'

.??小明有4種購(gòu)買方案.

18.（10分）如圖，C,。為。。上兩點(diǎn)，且在直徑A8兩側(cè)，連結(jié)CO交AB于點(diǎn)E,G是左上一

點(diǎn)，NAOC=/G.

（1）求證：Z1=Z2.

⑵點(diǎn)C關(guān)于。G的對(duì)稱點(diǎn)為尸，連結(jié)C足當(dāng)點(diǎn)尸落在直徑AB上時(shí)，CF=10,tanZl=|,求

的半徑.

【答案】見解析。

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理和A3為OO的直徑，即可證明N1=N2；

(2)連接。尺根據(jù)垂徑定理可得尸￡>=FC=10,再根據(jù)對(duì)稱性可得。C=￡>凡進(jìn)而可得OE的長(zhǎng),

再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出OO的半徑.

【解析】(1)VZADC=ZG,

：.AC=AD,

???AB為OO的直徑，

'-BC=BD,

.,.Z1=Z2；

(2)如圖，連接。尸，

rt

9：AC=AD,A3是OO的直徑,

：.AB±CD,CE=DE,

：.FD=FC=\Of

丁點(diǎn)C,尸關(guān)于OG對(duì)稱，

：.DC=DF=\0,

DE=5,

2

-

5

.'.EB=DE*tanZl=2,

VZ1=Z2,

??tanN2=5，

DE25

.\AE=

tan^22

：.AB=AE+EB=專,

.??。0的半徑為一.

4

19.（10分）王大伯承包了一個(gè)魚塘，投放了2000條某種魚苗，經(jīng)過一段時(shí)間的精心喂養(yǎng)，存活率

大致達(dá)到了90%.他近期想出售魚塘里的這種魚.為了估計(jì)魚塘里這種魚的總質(zhì)量，王大伯隨機(jī)捕

撈了20條魚，分別稱得其質(zhì)量后放回魚塘.現(xiàn)將這20條魚的質(zhì)量作為樣本，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示：

（1）這20條魚質(zhì)量的中位數(shù)是—，眾數(shù)是—.

（2）求這20條魚質(zhì)量的平均數(shù)；

（3）經(jīng)了解，近期市場(chǎng)上這種魚的售價(jià)為每千克18元，請(qǐng)利用這個(gè)樣本的平均數(shù).估計(jì)王大伯近

期售完魚塘里的這種魚可收入多少元？

所捕撈魚的質(zhì)量統(tǒng)計(jì)圖

8

7

6

5

4

3

2

1

0

【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解可得；

（2）利用加權(quán)平均數(shù)的定義求解可得；

（3）用單價(jià)乘以（2）中所得平均數(shù)，再乘以存活的數(shù)量，從而得出答案.

【解析】（1）???這20條魚質(zhì)量的中位數(shù)是第10、11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，且第10、11個(gè)數(shù)據(jù)分別為

1.4、1.5,

.?.這20條魚質(zhì)量的中位數(shù)是=1.45（kg）,眾數(shù)是1.5依,

故答案為：1.45依，1.5依.

-L2xl+L3x4+L4x5+l,5x6+L6x2+L7x2

X=20=1.45(kg)，

.,.這20條魚質(zhì)量的平均數(shù)為1.45依：

（3）18X1.45X2000X90%=46980（元），

答：估計(jì)王大伯近期售完魚塘里的這種魚可收入46980元.

20.（10分）如圖，在△ABC中，。是BC邊上一點(diǎn)，且

（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：

①作NA8C的角平分線交AD于點(diǎn)E；

②作線段DC的垂直平分線交DC于點(diǎn)F.

（2）連接E凡直接寫出線段EF和AC的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系.

【答案】見解析。

【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作基本圖形的方法：

①作/ABC的角平分線交AD于點(diǎn)E即可；

②作線段DC的垂直平分線交DC于點(diǎn)F即可.

（2）連接EF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理，即可寫出線段E尸和4c的數(shù)量關(guān)系及

位置關(guān)系.

【解析】（1）如圖，①BE即為所求；

②如圖，線段QC的垂直平分線交。C于點(diǎn)F.

（2）-：BD=BA,BE平分NABD,

...點(diǎn)E是AO的中點(diǎn)，

,點(diǎn)尸是C￡＞的中點(diǎn),

.?.EF是△AQC的中位線，

...線段斯和AC的數(shù)量關(guān)系為：EF=^AC,

位置關(guān)系為：EF//AC.

21.（12分）圖①是某車站的一組智能通道閘機(jī)，當(dāng)行人通過時(shí)智能閘機(jī)會(huì)自動(dòng)識(shí)別行人身份，識(shí)

別成功后，兩側(cè)的圓弧翼閘會(huì)收回到兩側(cè)閘機(jī)箱內(nèi)，這時(shí)行人即可通過.圖②是兩圓弧翼展開時(shí)的

截面圖，扇形ABC和。所是閘機(jī)的“圓弧翼”，兩圓弧翼成軸對(duì)稱，和EF均垂直于地面，

扇形的圓心角NA5C=NDEF=28°,半徑84=ED=60c7",點(diǎn)A與點(diǎn)。在同一水平線上，且

它們之間的距離為10?！?

（1）求閘機(jī)通道的寬度，即8C與所之間的距離（參考數(shù)據(jù)：sin28°?0.47,cos28°?0.88.

tan28°?0.53）；

（2）經(jīng)實(shí)踐調(diào)查，一個(gè)智能閘機(jī)的平均檢票速度是一個(gè)人工檢票口平均檢票速度的2倍，180人的

團(tuán)隊(duì)通過一個(gè)智能閘機(jī)口比通過一個(gè)人工檢票口可節(jié)約3分鐘，求一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通

過的人數(shù).

【答案】（1）與EP之間的距離為66.4C77?；（2）一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為

6（）人.

【解析】（1）連接A。，并向兩方延長(zhǎng)，分別交5C,EF于點(diǎn)M，N,則MN工BC,MN±EF,

根據(jù)MN的長(zhǎng)度就是8C與Ef之間的距離，依據(jù)解直角三角形，即可得到可以通過閘機(jī)的物體的

最大寬度；

（2）設(shè)一個(gè)人工檢票口平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為x人，根據(jù)“一個(gè)智能閘機(jī)的平均檢票速度是

一個(gè)人工檢票口平均檢票速度的2倍，180人的團(tuán)隊(duì)通過一個(gè)智能閘機(jī)口比通過一個(gè)人工檢票口可

節(jié)約3分鐘”列出分式方程求解即可；還可以設(shè)一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為x人，

根據(jù)題意列方程求解.

解：連接并向兩方延長(zhǎng)，分別交BC,EF于點(diǎn)M，N.

由點(diǎn)A與點(diǎn)。在同一水平線上，BC,EE均垂直于地面可知，MN工BC，MNLEF,所以MN

的長(zhǎng)度就是與所之間的距離.同時(shí)，由兩圓弧翼成軸對(duì)稱可得AM=￡W.

在田中，ZAMB=90°,ZABM=28°,AB=60，

?.?sinZABM=邈,

AB

.-.AM=ABsinZABM

=60xsin28°?60x0.47=28.2.

.\MN=AM+DN+AD=2AM+AD=28.2x2+\0=66A.

：.BC與之間的距離為66.4cm.

(1)解法一：設(shè)一個(gè)人工檢票口平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為x人.

得圖=國(guó)

根據(jù)題意,-3

xlx

解，得x=30.

經(jīng)檢驗(yàn)x=30是原方程的解

當(dāng)x=30時(shí)，2x=60

答：一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為60人.

解法二：設(shè)一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為x人.

180.180

根據(jù)題意，得XI.

-X

2

解，得x=60

經(jīng)檢驗(yàn)x=60是原方程的解.

答：一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為60人.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形及列分式方程解應(yīng)用題，關(guān)鍵是掌握含30度的直角直角三角形的

性質(zhì).

22.(12分)綜合與實(shí)踐

如圖1,△A8C和△QCE都是等邊三角形.

探究發(fā)現(xiàn)

(1)△BC。與△ACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請(qǐng)說明理由.

拓展運(yùn)用

(2)若8、C、E三點(diǎn)不在一條直線上，NA￡>C=30°,AO=3,CD=2,求8。的長(zhǎng).

(3)若8、C、E三點(diǎn)在一條直線上(如圖2),且△ABC和△DCE的邊長(zhǎng)分別為1和2,求△4CO

的面積及AD的長(zhǎng).

【答案】(1)全等，理由見解析；⑵(3)△ACO的面積為也，

2

【解析】(1)依據(jù)等式的性質(zhì)可證明N5CD=Z4CE,然后依據(jù)SAS可證明△ACE/ABCD；

(2)由(1)知：BD=AE,利用勾股定理計(jì)算AE的長(zhǎng)，可得8。的長(zhǎng)；

(3)過點(diǎn)人作A凡LCD于人先根據(jù)平角的定義得/ACD=60°,利用特殊角的三角函數(shù)可得A尸

的長(zhǎng)，由三角形面積公式可得△AC。的面積，最后根據(jù)勾股定理可得A。的氏.

【詳解】解：(1)全等，理由是：

/XABC和△OCE都是等邊三角形，

：.AC=BC,DC=EC,NACB=/DCE=60°,

...ZACB+ZACD^ZDCE+ZACD,

即N3CZ)=NACE,

在△BCD和△ACE中，

'CD=CE

</BCD=ZACE,

BC=AC

：./\ACE^/\BCD(SA5)；

(2)如圖3,由(1)得：&BCD叁MCE,

：.BD=AE,

?.?△OCE都是等邊三角形，

.../COE=60°,CD=DE=2,

VZADC=30°,

/.ZADE=ZADC+ZCDE=300+60°=90°,

在RtZ\AOE'中，4D=3,DE=2,

AE^yjAlf+DE2=j9+4=J13，

:.BD:屈;

.

E

(3)如圖2,過點(diǎn)4作AF，CD于尸，

?;B、aE三點(diǎn)在一條直線上，

：.ZBCA+ZACD+ZDCE=ISO°,

???XABC和2DCE都是等邊三角形，

：.ZBCA=ZDCE=60°,

ZACD=60°,

AJ7

在RlZ\4Cb中，sinZACF=—,

AC

：.AF=ACXsinZACF=lx—,

22

.".SMCD=-XCDXAF=-x2x—=—,

2222

11c13

：.CF=ACXcosZACF=iX-=~,FD=CD-CF=2一一=一，

2222

在Rt/VIFD中，AD2=AF2+FZ)2=f—=3,

l2J⑴

，AO=y/j.

D

BCE

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形，勾股定理等，第

(3)小題巧作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

23.(14分)綜合與探究

如圖，拋物線y=-x?+bx+c與x軸相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)

C,M是拋物線的頂點(diǎn)，直線x=l是拋物線的對(duì)稱軸，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知P為線段MB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PDLx軸于點(diǎn)D.若PD=m,z\PCD的面積為S.求

S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，在線段MB上是否存在點(diǎn)P,使APCD為等腰三角形？如果存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)

P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

?3

【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)S=一一m2+-m(0<m<4)；(3)存在，P(-6+3近，