歷年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編15三角函數(shù)與解三角形

1/2歷年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編專題15三角函數(shù)與解三角形第二緝1．【2018年貴州預(yù)賽】若邊長為6的正△ABC的三個頂點到平面α的距離分別為1，2，3，則△ABC的重心G到平面α的距離為_______．【答案】0，【解析】（1）當(dāng)△ABC的三個頂點在平面α的同側(cè)時，由公式d=?1+?2（2）當(dāng)△ABC的三個頂點中，其中一點與另兩點分別在平面α的異側(cè)時，求得重心G到平面α的距離分別為0，23故答案為：0，2．【2018年貴州預(yù)賽】函數(shù)y=2(5?x)sin【答案】60【解析】函數(shù)y=2(5?x)sinnx?1(0≤x≤10)的零點即為方程2(5－x)sinπx在區(qū)間[0，10]上的解?函數(shù)y=2sinπx的圖像與函數(shù)y=15?x的圖像在區(qū)間[0，10]上的交點的橫坐標(biāo)．因為函數(shù)y=2sinπ所以函數(shù)y=2(5－x)sinπ－1(0≤x≤10)的所有零點之和等于60．故答案為：603．【2018年浙江預(yù)賽】已知α，β∈3π4，π【答案】?【解析】cosβ+4．【2018年浙江預(yù)賽】在△ABC中，AB+AC=7,且三角形的面積為4,則sin∠A的最小值為________.【答案】32【解析】由AB+AC=7?AB×AC≤49又125．【2018年浙江預(yù)賽】設(shè)x，y∈R滿足x?6y?4x?y【答案】14?2【解析】由x?6y令x?y?2=y?3=所以14?2136．【2018年重慶預(yù)賽】在△ABC中，sin2A+sin【答案】2【解析】因為sin所以a注意到：tan故(==sin故答案為：27．【2018年陜西預(yù)賽】設(shè)ΔABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且A?C=π2.【答案】3【解析】分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及其關(guān)系，用∠C表示∠A與∠B；根據(jù)a，b，c成等差，得到2b=a+c，利用正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化。得到關(guān)于詳解：A+B+C=π;A?C=所以A=π2同取正弦值，得sinA=sin因為a，b，2cos2cos所以cosC?cosC?sinC2=而cosB=點睛：本題考查了三角函數(shù)正弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)求值中各個邊角轉(zhuǎn)化和角的形式變化，需要熟練掌握各個式子的相互轉(zhuǎn)化，屬于難題。8．【2018年陜西預(yù)賽】設(shè)ΔABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且A?C=π2.【答案】3【解析】分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及其關(guān)系，用∠C表示∠A與∠B；根據(jù)a，b，c成等差，得到2b=a+c，利用正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化。得到關(guān)于詳解：A+B+C=π;A?C=所以A=π2同取正弦值，得sinA=sin因為a，b，2cos2cos所以cosC?cosC?sinC2=而cosB=點睛：本題考查了三角函數(shù)正弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)求值中各個邊角轉(zhuǎn)化和角的形式變化，需要熟練掌握各個式子的相互轉(zhuǎn)化，屬于難題。9．【2018年陜西預(yù)賽】設(shè)ΔABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且A?C=π2.【答案】3【解析】分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及其關(guān)系，用∠C表示∠A與∠B；根據(jù)a，b，c成等差，得到2b=a+c，利用正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化。得到關(guān)于詳解：A+B+C=π;A?C=所以A=π2同取正弦值，得sinA=sin因為a，b，2cos2cos所以cosC?cosC?sinC2=而cosB=點睛：本題考查了三角函數(shù)正弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)求值中各個邊角轉(zhuǎn)化和角的形式變化，需要熟練掌握各個式子的相互轉(zhuǎn)化，屬于難題。10．【2018年湖南預(yù)賽】函數(shù)f(x)=sinx+2|sinx|，【答案】1<k<3【解析】f(x)=3sinx,x∈[0,π].?sinx,x∈[π,2π].作出其圖像，可只有兩個交點時k的范圍為故答案為：1<k<311．【2018年廣東預(yù)賽】已知△ABC的三個角A、B、C成等差數(shù)列，對應(yīng)的三邊為a、b、c，且a、c、43b成等比數(shù)列，則【答案】3【解析】因為A、B、C成等差數(shù)列，2B=A+C，3B=A+B+C=180°，因此又因為a、c、43b成等比數(shù)列，所以由正弦定理asin整理得sinA=所以q=2，sin故SΔABC=1故答案為：312．【2018年貴州預(yù)賽】如圖，在△ABD中，點C在AD上，∠ABC=π2，∠DBC=π6，【答案】x=【解析】在△ABD中，ADsin120°=1sin在△BCD中，BCsinD由①②得3?(x+2)(x3?2)=0，因為x+2>0，∴x3故答案為：x=13．【2018年貴州預(yù)賽】函數(shù)y=25?x【答案】60【解析】函數(shù)y=25?xsinπx?10≤x≤10的零點，即為方程25?xsinπx?1=0在區(qū)間0,10上的解.等價于函數(shù)y=2sinπx的圖象與函數(shù)y=114．【2018年廣西預(yù)賽】設(shè)sinx+cosx=【答案】11【解析】由sin==115．【2018年安徽預(yù)賽】函數(shù)fx【答案】2π【解析】fx=1+2cosx?sin故答案為：2π16．【2018年湖北預(yù)賽】若對任意的θ∈0,π2，不等式4+2【答案】4【解析】設(shè)x=sin2sin當(dāng)θ∈0,π2不等式4+2sinθcosa≥x+3當(dāng)1≤x≤2時，函數(shù)fxa≥f1故實數(shù)a的最小值為4.17．【2018年湖北預(yù)賽】設(shè)G為ΔABC的重心，若BG⊥CG,BC=2【答案】2【解析】設(shè)BC的中點為D，因為BG⊥CG，故ΔBCG是直角三角形，所以GD=1又因為G為ΔABC的重心，所以由三角形的中線長公式可得ADAB所以AB+AC≤2AB2故AB+AC的最大值為2518．【2018年河北預(yù)賽】在△ABC中，AC=3，sinC=ksin【答案】3【解析】由正弦定理將sinC=ksinA變形為c=ka以線段AC所在直線為x軸，以AC的中點O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，則A?3兩邊平方整理得k因為k?2，所以上述方程可化為為x由此可知點B的軌跡是以3k2+12k2?1,0為圓心，以r=3k19．【2018年河北預(yù)賽】已知sinθ3cos【答案】?∞,?【解析】由條件知sinθ3cosθ+1>1?sinθcosθ+作圖可得點P在圓弧AB與CD上運動，含點A?33,6而tanθ表示原點與點P連線的斜率，由圖計算得tanθ∈故答案為：?20．【2018年河北預(yù)賽】在△ABC中，AC=3，sinC=ksin【答案】3【解析】由正弦定理將sinC=ksinA變形為c=ka以線段AC所在直線為x軸，以AC的中點O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，則A?3兩邊平方整理得k因為k?2，所以上述方程可化為為x由此可知點B的軌跡是以3k2+12k2?1,0為圓心，以r=3k21．【2018年四川預(yù)賽】在ΔABC中，cosB=14【答案】2【解析】由cosB=1于是1注意到0<sin當(dāng)且僅當(dāng)A=C時等號成立.于是，1tan所以，所求的最小值是215故答案為：222．【2018年浙江預(yù)賽】已知α,β∈3π4,π【答案】?【解析】由α,β∈3π4,π所以cosβ+故答案為：?23．【2018年浙江預(yù)賽】在△ABC中，AB+AC=7,且三角形的面積為4,則sin∠A的最小值為________.【答案】32【解析】由AB+AC=7?AB×AC≤49又1224．【2018年遼寧預(yù)賽】在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若a2+b【答案】1009【解析】由題得cotC故答案為：100925．【2018年江西預(yù)賽】若三個角x、y、z成等差數(shù)列，公差為【答案】?3【解析】根據(jù)x=y?π則tanx=所以tanx則tanx故答案為：-326．【2018年山西預(yù)賽】計算cos2π【答案】1【解析】記S=cos2π7cos4π27．【2018年湖南預(yù)賽】如果函數(shù)y=3cos(2x+φ)的圖象關(guān)于點(4π【答案】π6【解析】由y=3cos(2x+φ)得圖象關(guān)于點f4π3=0即φ=kπ?8π3+|φ|故答案為：π28．【2018年湖南預(yù)賽】若3sin3x+【答案】1【解析】首先由3sin3x+cos3又由sin3因此有3=3sin解得sin2x≥1.因此有sinx=1sin2018故答案為：129．【2018年福建預(yù)賽】在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、【答案】14【解析】由C=2A，知sinC=結(jié)合正弦定理，得c=2acos由a=2，b=3，及余弦定理，得所以c2=10，30．【2018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第01試）】設(shè)α,β滿足tanα+π3=?3,tanβ?π【答案】?【解析】由兩角差的正切公式可知tanα+即tanα?β+π231．【2017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第01試）】在△ABC中，M是邊BC的中點，N是線段BM的中點若∠A=π3，△ABC的面積為3，則AM?AN的最小值為【答案】3【解析】由條件知，AM=故AM?由于3=所以|AB|?|AC從而AM=3當(dāng)|AB|=24332．【2017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第01試）】在△ABC中，若sinA=2sinC，且三條邊a、b、c成等比數(shù)列，則cosA的值為【答案】?【解析】由正弦定理知，ac=sinAsinC=2，又b2=ac，于是a33．【2017年河北預(yù)賽】設(shè)函數(shù)fx=x3+x,若0≤θ≤【答案】m【解析】提示：易知fx為奇函數(shù)且在R因為fmcosθ所以mcosθ>令t=cosθ故mt?m+所以?m+134．【2017年河北預(yù)賽】函數(shù)fx=sinπ4x?π