水平寬鉛垂高求三角形面積

創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日作三角形鉛垂高是解決三角形面積問(wèn)題的一個(gè)好法子之邯鄲勺丸創(chuàng)作創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日二次函數(shù)教學(xué)反思鉛垂高?§§如圖，過(guò)4ABC的三個(gè)極點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫4ABC的“水平寬”（a）,中間的這條直線在^ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫4ABC的“鉛垂高”（h）.我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：S^ABC=1\2ah,即三角形面積即是水平寬與鉛垂高乘積的一半.最近教學(xué)二次函數(shù)遇到很多求三角形面積的問(wèn)題，經(jīng)過(guò)研究,我發(fā)現(xiàn)作三角形鉛錘高是解決三角形面積問(wèn)題的一個(gè)好法子.在課堂上我還風(fēng)趣地說(shuō)遇到“歪歪三角形中間砍一刀”，同學(xué)們很快掌握了這種方法現(xiàn)總結(jié)如下：如圖1,過(guò)4ABC的三個(gè)極點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a）,中間的這條直線在4ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫△創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日

創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日ABC法：的“鉛垂高（h）”.我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方ABC法：s=』ah,即三角形面積即是水平寬與鉛垂高乘積的一半.C標(biāo)系中3水平寬a圖1例1.（2013B深圳）如圖，尸號(hào)yOA,速線C標(biāo)系中3水平寬a圖1例1.（2013B深圳）如圖，尸號(hào)yOA,速線A/的坐標(biāo)為〈一2,Oa繞原點(diǎn)o順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，：獲得線段OB.（l）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過(guò)A、0、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)C,使4B0C的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（4）如果點(diǎn)P是（2）中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的下方，那么4PAB是否有最年夜面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及4PAB的最年夜面積；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）B（1,,：3）（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x+a）,代入點(diǎn)B（1,6）,得a二昱，因此y二12+遼x3 3 3（3）如圖，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-1,當(dāng)點(diǎn)C位于對(duì)稱(chēng)軸與線段AB的交點(diǎn)時(shí)，4B0C的周長(zhǎng)最小.設(shè)直線AB為y=kx+b.所以Jk+b=后解得廠=T,因此直線AB為[-2k+b=0 七2看b= [3y-亙x+亙,當(dāng)x=-1時(shí)，y_近,因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為（一1,33 3創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日

創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日Q/3).(4)如圖，過(guò)P作y軸的平行線交AB于D.當(dāng)x二一1時(shí)，4PAB的面積的最年夜值為姮,此時(shí)一旦].2 8 12，4,例2.(2014益陽(yáng))如圖2,拋物線極點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1,4)，交x軸于點(diǎn)A(3,0),交y軸于點(diǎn)B.(1)求拋物線和直線AB的解析式；⑵點(diǎn)P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA,PB,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到極點(diǎn)C時(shí)，求4CAB的鉛垂高CD及sa四；(3)是否存在一點(diǎn)P,使S4二9S,若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存△PAB8ACAB在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖-2解：(1)設(shè)拋物線的解析式為：y]=a(x-1)2+4把A(3,0)代入解析式求得a=-1所以y「-(x-1)2+4=-x2+2x+3設(shè)直線AB的解析式為：y2=kx+b由y「-x2+2x+3求得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,3)把A(3,0)，B(0,3)代入y=kx+b中解得：k二-1,b二3所以圖-2y2=-x+3⑵因?yàn)镃點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)所以當(dāng)x=l時(shí)，5=4,y2=2所以CD=4-2=2S=L3X2=3(平方單元)ACAB2⑶假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P,設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X,4PAB的鉛垂高為h,貝Uh-y-y=(-x2+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x由SApar=~Satar,1 /2 APAB8ACAB得1X3x(—x2+3x)—9x3化簡(jiǎn)得：4x2-12x+9-0解得，x-3將x-32 8 2 2代入y1--x2+2x+3中，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為J?)例3.(2015江津)如圖，拋物線y--x2+bx+c與X軸交于創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日

創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日A(1,0),B(-3,0)兩點(diǎn)，(1)求該拋物線的解析式；(2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q,使得4QAC的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P,使4PBC的面積最年夜？，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最年夜值.若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)將A(1,0),B(—3,0)代——%2+隊(duì)+c中得(T+b+c=0???[-9-3b+c=0(b=-2[c=3??拋物線解析式為：尸-x2-2x+3(2)存在.理由如下：由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=-1對(duì)稱(chēng)??直線BC與%=-1的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，此時(shí)4AQC周長(zhǎng)最小;y=—x2—2x+3?.C的坐標(biāo)為：(0,3)直線BC解析式為：y=x+3Q點(diǎn)坐標(biāo)即為「=-1的解[y=x+3?.(x=-1???Q(—1,2)[y=2(3)答：存在.理由如下：設(shè)P點(diǎn) (x,-x2-2x+3)(-3<x<0) ,S=S-S=S-9若S 有最年夜值，則S就△BPC 四邊形BPCO △BOC 四邊形BPCO2 四邊形BPCO △BPC最年夜,?S=S+S =1BE.PE+1OE(PE+OC)四邊形BPCORtMPE直角梯形PEOC2 2創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日

創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日_1 1 -3 3 927那時(shí)%二-3,2927927 1 ——= 2 8 2 8那時(shí)%--3,2—2（%+3）（-%2-2%+3）+2（-%）（-%2-2%+那時(shí)%二-3,2927927 1 ——= 2 8 2 8那時(shí)%--3,2最年夜值=9+27???S最年夜=四邊形BPCO 2 8 ABPC-%2-2%+3二15???點(diǎn)P坐標(biāo)為（-2,9同學(xué)們可以做以下練習(xí):1.(2015浙江湖州)已知如圖，矩形OABC的長(zhǎng)OA=*5,寬OC=1,將4AOC沿AC翻折得AAPC.(1)填空：ZPCB=度，P點(diǎn)坐標(biāo)為(,)；(2)若P,A兩點(diǎn)在拋物線y二一4x2+bx+c上，求b,c的值，3并說(shuō)明點(diǎn)C在此拋物線上；于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(—3,0),與y軸交于點(diǎn)C.(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與％軸交于點(diǎn)M,問(wèn)在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P,使4CMP為.等腰所有符合條件的點(diǎn)軸上是否存在點(diǎn)P,使4CMP為.等腰所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)如圖②，若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE,求四邊形BOCE面積的最年夜值，并求此時(shí)￡點(diǎn)的坐標(biāo).創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日

創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日?qǐng)D① 圖②3.（2015年恩施）如圖11,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與X軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,0）,與y軸交于C（0,-3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.（2）連結(jié)PO、PC,并把4POC沿CO翻折，獲得四邊形POP/C,那么是否存在點(diǎn)P,使四邊形POP,C為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最年夜并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最年夜面積.解：（1）將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得尸b+c=0[c二-3 圖11解得：1b二一2所以二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2—2x—3Ic=-3(2)存在點(diǎn)P,使四邊形POP,C為菱形.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x2-2X-3),PP,交為于￡若四邊形POP/C是菱形，則有PC=PO.連結(jié)PP/則PELCO于E,???OE=EC=y=-3.-2???x2-2x-3=3解得x=2+.,x=2-40(分歧題意,—2 1 2 2 2創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日

創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日舍去)???P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2+6°2(3)(x,過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q,與OB交于點(diǎn)F,(3)(x,%2-2%一3),易得，直線BC的解析式為y二%一3則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(標(biāo)為(x,x—3).S四邊形ABPC=S+S+S=1AB.OC+1QP.OE+1QP?EB

AABC ABPQ ACPQS四邊形ABPC=1x4x3+1(-%2+3%)x32 2%一一當(dāng)%"I當(dāng)%"I時(shí),四邊形ABPC的面積最年夜此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3-竺］,四邊形ABPC的面積124)的最大值為758.25.(2015綿陽(yáng))如圖，拋物線y=ax2+bx+4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(—4,0)、B(2,0),與y軸交于點(diǎn)C,極點(diǎn)為D.E(1,2)為線段BC的中點(diǎn)，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G.(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并寫(xiě)召盤(pán)點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)在直線EF上求一點(diǎn)H,使4CDH的周長(zhǎng)最小，并求出最小周長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)K運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，4EFK的面積最年夜？并求出最年夜面積.創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日【解析】(1)由題意,得“a-4b+4=0,解得1,b=—1.a 【解析】(1)由題意,4a+2b+400, 2所以拋物線的解析式為y__L27+4，極點(diǎn)D的坐標(biāo)為(一1,2(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)M.因?yàn)镋F垂直平分BC,即C關(guān)于直線EG的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B,連結(jié)BD交于EF于一點(diǎn)，則這一點(diǎn)為所求點(diǎn)H,使DH+CH最小，即最小為DH+CH=DH+HB=BD1BE=3品.而TOC\o"1-5"\h\z■ 9 "5CD=,12+(——4)2=——?2 2???△CDH的周長(zhǎng)最小值為CD+DR+CH=?無(wú)+3、.2設(shè)直線BD的解析式為y=klx+b,則］2%Jbi=09 解得k=_3「ki+bi=2， 12bl=3.所以直線BD的解析式為y=_3x+3.由于BC=2,CE=BC2/2=、：5,Rt^CEGs^COB,得CE:CO=CG:CB,所以CG=2.5,GO=1.5.G(0,1.5).同理可求得直線EF的解析式為y=1x+3得CE:CO=CG:CB,2 2聯(lián)立直線BD與EF的方程，解得使4CDH的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)H(3415).8創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日

創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日(3)如圖所示，設(shè)K(t,J,2T+4)，xF<t<xE.過(guò)K作x軸2的垂線交EF于N.則KN=yK-yN=」2T+4一(11+3)=.L2二t+5.TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2 2 2所以SAEFK=SAKFN+SAKNE=1KN(t+3)+1KN(1-t)=2 22KN=-t2-3t+5=-(t+3)2+29,2 4即當(dāng)t=-3時(shí)，^EFK的面積最年夜，最年夜面積為絲，此時(shí)K2 4(-3,35).8平面直角坐標(biāo)系中三角形面積的求法我們經(jīng)常會(huì)遇到在平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積的問(wèn)題.解題時(shí)我們要注意其中的解題方法和解題技巧.1,有一邊在坐標(biāo)軸上:例1：如圖1,平面直角坐標(biāo)系中，4ABC的極點(diǎn)坐標(biāo)分別為一一1一一—-4——I-(—3,0),(0,3),(0,-1),求4ABC的面積.匚口二I T 1 分析：根據(jù)三個(gè)極點(diǎn)的坐標(biāo)特征可以看出，^ABC的邊檢一一1一一—-4——I-(—3,0),(0,3),(0,-1),求4ABC的面積.匚口二I T 1 分析：根據(jù)三個(gè)極點(diǎn)的坐標(biāo)特征可以看出，^ABC的邊檢I--T 1--I -|-rKI F-y軸上,L_1由圖形可得BC=4,點(diǎn)A到BC邊的距離就是A點(diǎn)到y(tǒng)軸的施離11—」 L1一一「1),B1),B也就是A點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值3,然后根據(jù)三角形的面積公式求解.2,有一邊與坐標(biāo)軸平行：例2：如圖2,三角形48，三個(gè)極點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4,(4,5),C(-1,2),求4ABC的面積.創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日

創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日分析：由A(4,1),B(4,5)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，可知邊AB與y軸平行，因而AB的長(zhǎng)度易求.作AB邊上的高CD,就可求得線段CD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得三角形ABC的面積..三邊均不與坐標(biāo)軸平行:例3：例3：已知平面內(nèi)三點(diǎn)月，氏C的坐標(biāo)如圖所示，求的面積.分析：由于三邊均不服行于坐標(biāo)軸，所以我們無(wú)法:直接34.三角形面積公式的推廣:過(guò)4ABC三個(gè)極點(diǎn)分別作與水平線垂直的三條直線垂高水平寬\a4.三角形面積公式的推廣:過(guò)4ABC三個(gè)極點(diǎn)分別作與水平線垂直的三條直線垂高水平寬\a心廣1J--LJ■^-2.-2)\\：■\\直線之間的距離叫^ABC的“水平寬”(a),中間的這條直線△ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫