多項(xiàng)式響應(yīng)面分析最小二乘法

（正交分解定理，投影定理）設(shè)M是Hilbert空間H中的閉線性子空間，則（1）H中任一x都有唯一的表示：x=y+z，其中yGM和zGM丄；（2）H=M十M丄。多項(xiàng)式響應(yīng)面法工程中常見(jiàn)二次響應(yīng)面表達(dá)如下，以二維為例y=P+PX+PX+PX2+Px2+Pxx

011223142512=atPa=1,X,X,X2,X2,XXlT121212P=[p,P,P,P,P,pb012345A=[a,a，…,a]r12mY=[y,y,...,y412m首先必須存在m>6個(gè)樣本點(diǎn)才能保證最小二乘存在唯一解。以上的問(wèn)題則等價(jià)為如下投影問(wèn)題，min||Y-AP||來(lái)求P的取值。一般歐式空間的2范數(shù)構(gòu)成Hilbert空間。由投影定理，當(dāng)[Y-AP,=0，Y為AP的最佳逼近元。內(nèi)積空間為線性空間，求解內(nèi)積方程得到?jīng)r,A：=:AP,A]Aty二AtapATYATY即多項(xiàng)式響應(yīng)面表達(dá)式。特點(diǎn):二次面構(gòu)造簡(jiǎn)單，工程應(yīng)用廣泛；對(duì)樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)要求不小于(n+l)(n+2)/2，當(dāng)樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)不滿足要求時(shí)不存在唯vv一解；由于一般假設(shè)的是二次響應(yīng)面，對(duì)于多次項(xiàng)問(wèn)題可能存在精度不高的現(xiàn)象；當(dāng)新的樣本點(diǎn)加入時(shí)需要重新構(gòu)造設(shè)計(jì)矩陣；對(duì)每個(gè)樣本點(diǎn)的權(quán)重選取一致，會(huì)導(dǎo)致設(shè)計(jì)點(diǎn)受離設(shè)計(jì)點(diǎn)較遠(yuǎn)的樣本點(diǎn)的影響較大；移動(dòng)最小二乘法核心思想與多項(xiàng)式響應(yīng)面法一樣。移動(dòng)最小二乘法考慮數(shù)據(jù)的相關(guān)性，認(rèn)為離估計(jì)點(diǎn)越近的樣本點(diǎn)相關(guān)性越大，即認(rèn)為在加權(quán)最小二乘法構(gòu)造中所占權(quán)重越大。則對(duì)每個(gè)樣本點(diǎn)誤差加上權(quán)重系數(shù)后，其中權(quán)重可以理解為對(duì)絕對(duì)偏差做權(quán)重比較，minIW(Y-Ap)二min||WY-WAp||22由投影定理，當(dāng)fWY-WAp,WA=0，wy為wap的最佳逼近元。求解內(nèi)積方程得到

p=(AtWtWA)-1AtWtWY由于在投影定理推導(dǎo)最小二乘法過(guò)程中選取的權(quán)重系數(shù)與一般的對(duì)平方取系數(shù)不同，如下J=2we2ii因此推導(dǎo)結(jié)果與課本上結(jié)果不同p=p=(ATWA)-lATWY0<p<1i0<p<1ip>1i其中p=i卜.-xll1li節(jié)點(diǎn)x的影響域以半徑lii衡量，需保證半徑li內(nèi)至少包含其中對(duì)應(yīng)的權(quán)重相差一個(gè)平方。因此在權(quán)重的選取方面略有差異。權(quán)函數(shù)選取包括三種樣條函數(shù)，以c1樣條函數(shù)為例1一3p2+2p3ii0(n+1)(n+2)/2