第三章 控制系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性

第三章控制系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性第1頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月第3章控制系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性在多變量控制系統(tǒng)中，能控性和能觀測(cè)性是兩個(gè)反映控制系統(tǒng)構(gòu)造的基本特性，是現(xiàn)代控制理論中最重要的基本概念。本章的內(nèi)容為：1.引言——能控性、能觀測(cè)性的基本概念2.能控性及其判據(jù)3.能觀測(cè)性及其判據(jù)4.離散系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性5.對(duì)偶原理第2頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月問題的提出這是由于在經(jīng)典控制理論中，只限于討論控制作用（輸入）對(duì)輸出的控制。輸入與輸出這兩個(gè)量的關(guān)系，唯一地由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)所確定，只要系統(tǒng)是穩(wěn)定的，系統(tǒng)就是能控的。另一方面，系統(tǒng)的輸出量本身就是被控量，對(duì)于一個(gè)實(shí)際的物理系統(tǒng)來說，它當(dāng)然是可以觀測(cè)到的，所以在經(jīng)典控制理論中沒有必要涉及能控性和能觀性。然而在現(xiàn)代控制理論中，是把反映系統(tǒng)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的狀態(tài)向量作為被控量，而且它們不一定是實(shí)際上可觀測(cè)到的物理量，至于輸出量則是狀態(tài)向量的線性組合，這就產(chǎn)生了從輸入量到狀態(tài)量的能控性問題和從輸出量到狀態(tài)量的能觀測(cè)性問題。最優(yōu)控制（optimalcontrol）在滿足一定約束條件下，尋求最優(yōu)控制策略，使得性能指標(biāo)取極大值或極小值。

最優(yōu)估計(jì)（optimumestimate

）即濾波（是將信號(hào)中特定波段頻率濾除的操作，是抑制和防止干擾的一項(xiàng)重要措施。）方法的優(yōu)化。

第3頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月6.能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形7.能控性、能觀測(cè)性與傳遞函數(shù)的關(guān)系8.系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解9.實(shí)現(xiàn)問題10.使用MATLAB判斷系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性第4頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1引言首先，通過例子介紹能控性、能觀測(cè)性的基本概念。例3-1電路如下圖所示。如果選取電容兩端的電壓為狀態(tài)變量，即：。電橋平衡時(shí)，不論輸入電壓如何改變，不隨著的變化而改變，或者說狀態(tài)變量不受的控制。即：該電路的狀態(tài)是不能控的。顯然，當(dāng)電橋不平衡時(shí)，該電路的狀態(tài)是能控的。第5頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-2電路如下圖所示，如果選擇電容C1、C2兩端的電壓為狀態(tài)變量，即：，，電路的輸出為C2上的電壓，即，則電路的系統(tǒng)方程為如果初始狀態(tài)為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為可見，不論加入什么樣的輸入信號(hào)，總是有第6頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月一般情況下，系統(tǒng)方程可以表示為（1）狀態(tài)能控與否，不僅取決于B陣（直接關(guān)系），還取決于A陣（間接關(guān)系）。系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為系統(tǒng)能觀測(cè)問題是研究測(cè)量輸出變量y去確定狀態(tài)變量的問題。例3-3電路如下圖所示。選取為輸入量，為輸出量，兩個(gè)電感上的電流分別作為狀態(tài)變量，則系統(tǒng)方程為系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為第7頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月為了簡便起見，令則從上式可知，不論初始狀態(tài)為什么數(shù)值，輸出僅僅取決于其差值。當(dāng)，則輸出恒等于零。顯然，無法通過對(duì)輸出的觀測(cè)去確定初始狀態(tài)，稱這樣的系統(tǒng)是不能觀測(cè)的。對(duì)于不能觀測(cè)的系統(tǒng)，其不能觀測(cè)的狀態(tài)分量與y既無直接關(guān)系，又無間接關(guān)系。狀態(tài)是否能觀測(cè)不僅取決于C，還與A有關(guān)。一般情況下，系統(tǒng)方程如式（1）所示，狀態(tài)能觀測(cè)與否，不僅取決于C

陣（直接關(guān)系），還取決于A陣（間接關(guān)系）。兩個(gè)例子的分析結(jié)論是：能控與A,B陣有關(guān)；能觀與A,C陣有關(guān)。第8頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2能控性及其判據(jù)3.2.1線性定常系統(tǒng)的能控性及其判據(jù)1.能控性定義線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（2）給定系統(tǒng)一個(gè)初始狀態(tài)，如果在的有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)，存在容許控制，使，則稱系統(tǒng)狀態(tài)在時(shí)刻是能控的；如果系統(tǒng)對(duì)任意一個(gè)初始狀態(tài)都能控，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。說明：1）初始狀態(tài)是狀態(tài)空間中的任意非零有限點(diǎn)，控制的目標(biāo)是狀態(tài)空間的坐標(biāo)原點(diǎn)。（如果控制目標(biāo)不是坐標(biāo)原點(diǎn)，可以通過坐標(biāo)平移，使其在新的坐標(biāo)系下是坐標(biāo)原點(diǎn)。）第9頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月2）如果在有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)，存在容許控制，使系統(tǒng)從狀態(tài)空間坐標(biāo)原點(diǎn)推向預(yù)先指定的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能達(dá)的；由于連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是非奇異的，因此系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性是等價(jià)的容許控制

(對(duì)于一個(gè)實(shí)際的控制問題，輸入控制的u（t）的取值必定要受一定條件的約束。滿足約束條件的控制作用u（t）的一個(gè)取值對(duì)應(yīng)于r維空間的一個(gè)點(diǎn)，所有滿足條件的控制作用u（t）的取值構(gòu)成r維空間的一個(gè)集合，記為Ω，稱之為容許控制集。凡是屬于容許控制集Ω的控制，都是容許控制。)。3）只有整個(gè)狀態(tài)空間中所有的有限點(diǎn)都是能控的，系統(tǒng)才是能控的。4）滿足（3）式的初始狀態(tài)，必是能控狀態(tài)。（3）5）當(dāng)系統(tǒng)中存在不依賴于的確定性干擾時(shí)，不會(huì)改變系統(tǒng)的能控性。（4）第10頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月2.能控性判據(jù)定理3-1（2）式的線性定常系統(tǒng)為狀態(tài)能控的充分必要條件是下面的n×n維格拉姆矩陣滿秩（5）（這個(gè)定理為能控性的一般判據(jù)，所謂滿秩就是每個(gè)狀態(tài)能控。但是，由于要計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，比較繁瑣。實(shí)際上，常用下面介紹的判據(jù)。）第11頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3-2（2）式的線性定常系統(tǒng)為狀態(tài)能控的充分必要條件是下面的n×nr維能控性矩陣滿秩。（6）（7）證明應(yīng)用凱-哈定理，有上式代入（3）式（8）第12頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月于是（9）如果系統(tǒng)能控，必能夠從（9）式中解得，，…，。這樣就要求（本判據(jù)本身很簡單，因此是最為常用的方法。）第13頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3-3（PBH判別法）（2）式的線性定常系統(tǒng)為狀態(tài)能控的充分必要條件是，對(duì)A的所有特征值，都有（10）（證明略）（11）定理3-4（2）式的線性定常系統(tǒng)的矩陣A的特征值互異，將系統(tǒng)經(jīng)過非奇異線性變換變換成對(duì)角陣則系統(tǒng)能控的充分必要條件是矩陣中不包含元素全為零的行。第14頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-6有如下兩個(gè)線性定常系統(tǒng)，判斷其能控性。（1）（2）解根據(jù)定理3-4，系統(tǒng)（1）不能控；系統(tǒng)（2）能控。第15頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月且，，定理3-5（2）式的線性定常系統(tǒng)的矩陣A具有重特征值，、、、…、分別為重、重、重、…、重。經(jīng)過非奇異線性變換，得到約當(dāng)陣則系統(tǒng)能控的充分必要條件是矩陣中與每一個(gè)約當(dāng)子塊最下面一行對(duì)應(yīng)行的元素不全為零。（12）第16頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-7有如下兩個(gè)線性定常系統(tǒng)，判斷其能控性。（1）（2）解根據(jù)定理3-5，系統(tǒng)（1）能控；系統(tǒng)（2）不能控（定理（3-4）、定理（3-5）不僅可以判斷系統(tǒng)能控性，而且對(duì)于不能控的系統(tǒng)，可以知道哪個(gè)狀態(tài)分量不能控。）說明：1.上面通過幾個(gè)定理給出判斷系統(tǒng)能控性的判據(jù)。雖然它們的表達(dá)形式、方法不同，但是，在判斷線性定常系統(tǒng)能控性時(shí)是等價(jià)的。2.在線性連續(xù)定常系統(tǒng)中，由于能達(dá)性和能控性是等價(jià)的，因此，能控性判據(jù)同樣可以判斷能達(dá)性。第17頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.2線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)（13）線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為定理3-6狀態(tài)在時(shí)刻能控的充分必要條件是存在一個(gè)有限時(shí)間，使得函數(shù)矩陣的n個(gè)行在上線性無關(guān)。（證明略）第18頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3-7狀態(tài)在時(shí)刻能控的充分必要條件是存在一個(gè)有限時(shí)間，使得以下格拉姆矩陣非奇異。（14）（15）定義：（16）當(dāng)…第19頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3-8如果線性時(shí)變系統(tǒng)的和的元是(n－1)階連續(xù)可微的。如果存在一個(gè)有限的，使得（17）則系統(tǒng)在是能控的。例3-8線性事變系統(tǒng)方程為，初始時(shí)刻，試判別系統(tǒng)的能控性。解而所以，能控。第20頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3能觀測(cè)性判據(jù)3.3.1線性定常系統(tǒng)能觀測(cè)性及其判據(jù)1.能觀測(cè)性定義（18）線性定常系統(tǒng)方程為如果在有限時(shí)間區(qū)間（）內(nèi)，通過觀測(cè)，能夠惟一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)，稱系統(tǒng)狀態(tài)在是能觀測(cè)的。如果對(duì)任意的初始狀態(tài)都能觀測(cè)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的。說明：1）已知系統(tǒng)在有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)的輸出，觀測(cè)的目標(biāo)是為了確定。2）如果根據(jù)內(nèi)的輸出能夠惟一地確定任意指定狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是可檢測(cè)的。連續(xù)系統(tǒng)的能觀測(cè)性和能檢測(cè)性等價(jià)。第21頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3）狀態(tài)空間中所有有限點(diǎn)都是能觀測(cè)的，則系統(tǒng)才是能觀測(cè)的。4）系統(tǒng)的輸入以及確定性的干擾信號(hào)均不改變系統(tǒng)的能觀測(cè)性。2.能觀測(cè)性定理3-9（18）式所描述的系統(tǒng)為能觀測(cè)的充分必要條件是以下格拉姆能觀性矩陣滿秩，即（19）（20）其中（這個(gè)定理為能觀測(cè)性的一般判據(jù)。但是，由于要計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，比較繁瑣。實(shí)際上，常用下面介紹的判據(jù)。）第22頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3-10（18）式所描述的系統(tǒng)為能觀測(cè)的充分必要條件是以下能觀性矩陣滿秩，即（21）（22）證明設(shè)，系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程的解為（23）應(yīng)用凱-哈定理，有則第23頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月或者寫成由于是已知函數(shù)，因此，根據(jù)有限時(shí)間內(nèi)的能夠唯一地確定初始狀態(tài)的充分必要條件為滿秩。定理3-11（PBH判別法）系統(tǒng)（18）為能觀測(cè)的充分必要的條件是：對(duì)于A的每一個(gè)特征值，以下矩陣的秩均為n（24）例3-9系統(tǒng)方程如下，試判斷系統(tǒng)的能控性解不滿秩，故系統(tǒng)不能觀測(cè)。（由于以上判據(jù)很簡單，因此最為常用）第24頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3-12如果（18）式描述的系統(tǒng)的A陣特征值互異，經(jīng)過非奇異線性變換成為對(duì)角陣，則系統(tǒng)為能觀測(cè)的充分必要條件是C矩陣中不包含元素全為零的列。例3-10有如下兩個(gè)線性定常系統(tǒng)，判斷它們的能觀測(cè)性。（1）（2）解根據(jù)定理3-12可以判斷，系統(tǒng)（1）是不能觀測(cè)的。系統(tǒng)（2）是能觀測(cè)的。第25頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月且，，定理3-13如果（18）式描述的系統(tǒng)的A陣具有重特征值，、、…、分別為重、重、…、重。經(jīng)過非奇異線性變換，得到約當(dāng)陣則系統(tǒng)能觀測(cè)的充分必要條件是矩陣中與每一個(gè)約當(dāng)子塊第一列對(duì)應(yīng)的列，其元素不全為零。第26頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-11如下線性定常系統(tǒng)試判別系統(tǒng)的能觀測(cè)性。解應(yīng)用定理3-13可知，系統(tǒng)能觀測(cè)。（定理（3-12）、定理（3-13）不僅可以判斷系統(tǒng)能觀測(cè)性，而且對(duì)于不能觀測(cè)的系統(tǒng)，可以知道哪個(gè)狀態(tài)分量不能觀測(cè)。）說明：1.上面通過幾個(gè)定理給出判斷系統(tǒng)能觀測(cè)性的判據(jù)。雖然它們的表達(dá)形式、方法不同，但是，在判斷線性定常系統(tǒng)能觀測(cè)性時(shí)是等價(jià)的。2.在線性連續(xù)定常系統(tǒng)中，由于能檢測(cè)性和能觀測(cè)性是等價(jià)的，因此，能觀測(cè)性判據(jù)同樣可以判斷能檢測(cè)性。第27頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2線性時(shí)變系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)線性時(shí)變系統(tǒng)方程為（25）定理3-14狀態(tài)在時(shí)刻能觀測(cè)的充分必要條件是存在一個(gè)有限時(shí)刻，使得函數(shù)矩陣的n個(gè)列在上線性無關(guān)。定理3-15狀態(tài)在時(shí)刻能觀測(cè)的充分必要條件是存在一個(gè)有限時(shí)間，使得以下能觀性格拉姆矩陣非奇異。第28頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月定義（26）（27）定理3-16如果線性時(shí)變系統(tǒng)的和的元是(n－1)階連續(xù)可微的。如果存在一個(gè)有限的，使得（28）則系統(tǒng)在是能觀測(cè)的。第29頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月第6次學(xué)生經(jīng)典部分回顧及MATLAB實(shí)踐講解題目1、系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念及Routh判據(jù)。鄧晶準(zhǔn)備充分，既有認(rèn)真閱讀了教科書還查閱了部分文獻(xiàn)。講解精彩，效果好。A3、M文件和面向?qū)ο缶幊蹋撼绦蛘{(diào)試和剖析。鄒寶軍對(duì)講解內(nèi)容不熟悉，嘮叨了近15分鐘，也不知介紹了什么。對(duì)自己和大家都是不負(fù)責(zé)的。C-4、淺談時(shí)域分析與頻域分析對(duì)線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性信息的獲取。寧新杰對(duì)講解內(nèi)容的理解沒有到位，講解不連貫，效果不好。C+第30頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月第7次學(xué)生經(jīng)典部分回顧及MATLAB實(shí)踐講解題目1、系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性-袁偉：有準(zhǔn)備，條理也還清楚。B+2、SIMULINK入門及模型的創(chuàng)建–李林濤:平淡。B3、SIMULINK的連續(xù)系統(tǒng)建模及子系統(tǒng)的創(chuàng)建、裝幀和受控執(zhí)行–黃登準(zhǔn)備充分，效果欠差。A-重(第三次)4、基于FOURIER變換及頻譜分析淺談時(shí)域分析與頻域分析的關(guān)系。唐文斌：這個(gè)題目，看來有一定困難，但，顯然準(zhǔn)備是欠缺的。C（補(bǔ)）5、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)。葛傳志：從講述內(nèi)容看還是作了一定的準(zhǔn)備，但條理不清楚。B-第31頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)1、關(guān)于控制系統(tǒng)的能控能觀性：現(xiàn)代控制理論的重要概念，核心內(nèi)容（最優(yōu)控制和最優(yōu)估計(jì)）的基礎(chǔ)。分別分析輸入對(duì)狀態(tài)變量的控制能力和輸出對(duì)狀態(tài)變量的反應(yīng)能力（見下一幀）。2、控制系統(tǒng)是否能控能觀，如何判斷？定義：能控性-在非容許控制作用下，狀態(tài)變量能在有限時(shí)間域內(nèi)從初始位置到達(dá)指定的終端位置；能觀性-在有限時(shí)間域內(nèi)，輸出能唯一確定系統(tǒng)在初始時(shí)刻的狀態(tài)。判別準(zhǔn)則有：一是根據(jù)系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖，依據(jù)定義判別；二是根據(jù)A,B陣或是A,C陣，通過矩陣運(yùn)算來判別。3、已介紹線性連續(xù)定常、時(shí)變系統(tǒng)的判別方法，繼續(xù)介紹線性離散系統(tǒng)的判別方法以及其它相關(guān)知識(shí)。第32頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月輸入量狀態(tài)變量輸出量能控性輸入量輸出量G(s)能觀性狀態(tài)方程輸出方程第33頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4離散系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性線性定常離散系統(tǒng)方程為（29）3.4.1能控性定義系統(tǒng)（29）的任一個(gè)初始狀態(tài)，存在，在有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)，存在容許控制序列，使得，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。第34頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4.2能控性判據(jù)例3-12線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為判斷系統(tǒng)的能控性。（30）解所以系統(tǒng)能控。定理3-17系統(tǒng)（29）能控的充分必要條件是能控性矩陣的秩為n，即第35頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)然也可以直接依據(jù)定義來求解，如有系統(tǒng)第36頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月利用遞推法有第37頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4.3能觀測(cè)性定義對(duì)于（29）式所描述的系統(tǒng)，根據(jù)有限個(gè)采樣周期的，可以惟一地確定系統(tǒng)的任一初始狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的。3.4.4能觀測(cè)性判據(jù)定理3-18系統(tǒng)（29）能觀測(cè)的充分必要條件是能觀性矩陣的秩為n，即（證明請(qǐng)參見參考教材）第38頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-13線性定常離散系統(tǒng)方程為試判斷系統(tǒng)的能觀測(cè)性。解因此，系統(tǒng)能觀測(cè)。第39頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5對(duì)偶原理線性定常系統(tǒng)方程為（34）構(gòu)造一個(gè)系統(tǒng)（35）系統(tǒng)（34）和（35）互為對(duì)偶系統(tǒng)。（上面介紹了系統(tǒng)能控性和能觀測(cè)性。從概念上和形式上都很相似。它給人們一個(gè)啟示，即能控性和能觀測(cè)性之間存在某種內(nèi)在的聯(lián)系。這個(gè)聯(lián)系就是系統(tǒng)的對(duì)偶原理）（式（35）的系數(shù)矩陣為，輸入矩陣為，輸出矩陣為）第40頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)偶系統(tǒng)具有兩個(gè)基本特征1.對(duì)偶的兩個(gè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置2.對(duì)偶的兩個(gè)系統(tǒng)特征值相同對(duì)偶原理：系統(tǒng)（34）的能控性等價(jià)于系統(tǒng)（35）的能觀測(cè)性；系統(tǒng)（34）的能觀測(cè)性等價(jià)于系統(tǒng)（35）的能控性。第41頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-15線性定常系統(tǒng)如下，判斷其能觀測(cè)性。解以上系統(tǒng)的對(duì)偶系統(tǒng)為該對(duì)偶系統(tǒng)的能控性矩陣對(duì)偶系統(tǒng)能控，根據(jù)對(duì)偶原理，原系統(tǒng)能觀測(cè)。第42頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月有了對(duì)偶原理，一個(gè)系統(tǒng)的能控性問題可以通過它的對(duì)偶系統(tǒng)的能觀測(cè)性問題的解決而解決；而系統(tǒng)的能觀測(cè)性問題可以通過它的對(duì)偶系統(tǒng)的能控性問題的解決而解決。這在控制理論的研究上有重要意義。第43頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3.6能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形（36）3.6.1能控標(biāo)準(zhǔn)形線性定常系統(tǒng)設(shè)A的特征多項(xiàng)式能控性矩陣定理3-22系統(tǒng)（36）能控，通過線性變換可以將其變成如下形式的能控標(biāo)準(zhǔn)形。（37）第44頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月推論：具有能控標(biāo)準(zhǔn)形的系統(tǒng)一定能控。（證明參見參考教材1的109頁）例3-16已知能控的線性定常系統(tǒng)（1）能控性矩陣解系統(tǒng)能控（2）A的特征多項(xiàng)式第45頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）計(jì)算變換矩陣P（4）計(jì)算（5）能控標(biāo)準(zhǔn)形第46頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3.6.2能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形系統(tǒng)（36）的能觀測(cè)性矩陣為則系統(tǒng)能觀測(cè)（38）定理3-23系統(tǒng)（36）能觀測(cè)，通過線性變換可以將其變成如下形式的能觀標(biāo)準(zhǔn)形。推論：具有能觀標(biāo)準(zhǔn)形的系統(tǒng)一定能觀。第47頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月變換矩陣可取為（39）第48頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3.7能控性、能觀性與傳遞函數(shù)的關(guān)系考察SISO線性定常系統(tǒng)（40）其傳遞函數(shù)為（41）傳遞函數(shù)的分子、分母分別為可以看出，在沒有零極點(diǎn)對(duì)消的情況下，傳遞函數(shù)的特征根和系統(tǒng)矩陣A的特征值相同。第49頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3-24SISO系統(tǒng)（40）能控又能觀的充分必要條件是不存在零、極點(diǎn)對(duì)消。例3-17線性定常系統(tǒng)方程如下，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)，并且判斷系統(tǒng)能控性與能觀性。解傳遞函數(shù)為能控性能觀性可見，系統(tǒng)傳遞函數(shù)有零、極點(diǎn)對(duì)消，能控但不能觀。應(yīng)當(dāng)指出，定理3-24對(duì)MIMO系統(tǒng)不適用。舉例說明如下。第50頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-19MIMO線性定常系統(tǒng)方程為傳遞函數(shù)矩陣能控性能觀性可見，傳遞函數(shù)矩陣雖然有零極點(diǎn)對(duì)消，但是系統(tǒng)既能控又能觀。這是因?yàn)闃O點(diǎn)(s-1)還剩一個(gè)，并未消失，只是降低系統(tǒng)重極點(diǎn)的重?cái)?shù)。第51頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月（42）MIMO線性定常系統(tǒng)定理3-25若系統(tǒng)（42）的狀態(tài)向量和輸入向量之間的傳遞函數(shù)矩陣的各行線性無關(guān)，則系統(tǒng)能控。定理3-26若系統(tǒng)（42）的輸出向量和狀態(tài)向量之間的傳遞函數(shù)矩陣的各列線性無關(guān)，則系統(tǒng)能觀。第52頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3.8系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解一個(gè)不能控、不能觀測(cè)的系統(tǒng)，從結(jié)構(gòu)上來說，必定包括能控、不能控以及能觀測(cè)、不能觀測(cè)的子系統(tǒng)。如何按照能控性或能觀測(cè)性進(jìn)行分解呢？我們知道，線性變換不改變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性。因此，可采用線性變換方法將其分解。這里必須解決3個(gè)問題：1、如何分解？2、分解后系統(tǒng)方程的形式為何？3、變換矩陣如何確定？下面介紹結(jié)構(gòu)分解問題。第53頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月線性定常系統(tǒng)（43）3.8.1按能控性分解定理3-27若系統(tǒng)（43）不能控，且狀態(tài)有個(gè)狀態(tài)分量能控，則存在線性變換，使其變換成下面形式（44）第54頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月并且維子系統(tǒng)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣（46）（45）第55頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月變換矩陣的確定方法：因?yàn)榧淳仃囍杏衝1個(gè)線性無關(guān)的列向量，再補(bǔ)充個(gè)列向量，從而構(gòu)成非奇異的矩陣第56頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-20系統(tǒng)方程如下，要求按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。解系統(tǒng)不能控由于的秩為1。說明中線性獨(dú)立的列向量只有一列。選擇，再補(bǔ)充一個(gè)列向量，且與其線性無關(guān)，經(jīng)過線性變換后第57頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3.8.2按能觀性分解定理3-28若系統(tǒng)（43）不能觀，且狀態(tài)有個(gè)狀態(tài)分量能觀，則存在線性變換，使其變換成下面形式（47）并且維子系統(tǒng)（48）系統(tǒng)傳遞函數(shù)為（49）第58頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月能觀性矩陣中有個(gè)線性無關(guān)的行向量，在它們的基礎(chǔ)上，再補(bǔ)充個(gè)行向量，構(gòu)成變換矩陣。第59頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-21系統(tǒng)方程如下，要求按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。解從中任選兩個(gè)行向量，例如，再補(bǔ)充一個(gè)與之線性無關(guān)的行向量。線性變換后}第60頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3.8.3同時(shí)按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解定理3-29若系統(tǒng)（43）不能控，不能觀，且存在線性變換，使其變換成下面形式系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣（50）（51）第61頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月第62頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3.9實(shí)現(xiàn)問題（52）如果給定一個(gè)傳遞函數(shù)，求得一個(gè)系統(tǒng)方程（53）或者注：當(dāng)傳遞函數(shù)分子的階次小于分母的階次時(shí)，有（52）式形式；當(dāng)傳遞函數(shù)分子的階次等于分母的階次時(shí)，有（53）式形式。在基于狀態(tài)空間方法分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，要知道系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。然而在有的情況下，只知道系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（矩陣），這時(shí)就要將給定的傳遞函數(shù)（矩陣）描述變成與之輸入輸出特性等價(jià)的狀態(tài)空間表達(dá)式描述。這個(gè)問題稱為系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)問題。這里只討論SISO系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)問題。第63頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3.9.1能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為1.不含零點(diǎn)（54）即：進(jìn)行拉普拉斯反變換選擇系統(tǒng)的狀態(tài)變量第64頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月于是有，，，，寫成矩陣形式其中第65頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月2.含零點(diǎn)，，，，第66頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月寫成矩陣形式其中第67頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3.9.2能觀標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為如果令第68頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月于是寫成矩陣形式第69頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月第70頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3.9.3并聯(lián)形實(shí)現(xiàn)為簡單起見，以兩階系統(tǒng)傳遞函數(shù)為例，進(jìn)行介紹。1）傳遞函數(shù)極點(diǎn)互異選取有第71頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月則第72頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月2）傳遞函數(shù)有重極點(diǎn)矩陣形式第73頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3.9.4串聯(lián)形實(shí)現(xiàn)設(shè)第74頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月1、控制系統(tǒng)的校正及綜合設(shè)計(jì)（概念），廖愛紅2、定常線性系統(tǒng)的相位超前校正，趙文倩3、SIMULINK的離散及混合系統(tǒng)的創(chuàng)建，李朝4、SIMULINK的分析工具，王俊第75頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3.10MATLAB的應(yīng)用3.10.1判斷線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性用MATLAB可以很方便地求出線性控制系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀測(cè)性矩陣，并且求出它們的秩。從而判斷系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性。函數(shù)ctrb()和obsv()分別計(jì)算系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀測(cè)性矩陣。格式為：Qc=ctrb(A,B),Qo=obsv(A,C)。例3-23判斷下面的線性系統(tǒng)是否能控？是否能觀測(cè)？其中解先分別計(jì)算系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀測(cè)性矩陣。然后，再用rank()函數(shù)計(jì)算這兩個(gè)矩陣的秩。第76頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月輸入以下語句這些語句的執(zhí)行結(jié)果為從計(jì)算結(jié)果可以看出，系統(tǒng)能控性矩陣和能觀測(cè)性矩陣的秩都是3，為滿秩，因此該系統(tǒng)是能控的，也是能觀測(cè)的。注：當(dāng)系統(tǒng)的模型用sys=ss(A,B,C,D)輸入以后，也就是當(dāng)系統(tǒng)模型用狀態(tài)空間的形式表示時(shí)，我們也可以用Qc=ctrb(sys)，Qo=obsv(sys)的形式求出該系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀測(cè)性矩陣。第77頁，課件共86頁，創(chuàng)作