國民生產(chǎn)總值及物價(jià)指數(shù)與投資額的回歸分析

#成績評(píng)定表學(xué)生姓名劉小平班級(jí)學(xué)號(hào)1009010219專業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)課程設(shè)計(jì)題目國民生產(chǎn)總值及物價(jià)指數(shù)與投資額的回歸分析評(píng)語組長簽字：成績?nèi)掌?012年6月28日

課程設(shè)計(jì)（論文）任務(wù)書學(xué)院理學(xué)院專業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)學(xué)生姓名劉小平班級(jí)學(xué)號(hào)1009010219課程名稱概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程設(shè)計(jì)課程設(shè)計(jì)（論文）題目國民生產(chǎn)總值及物價(jià)指數(shù)與投資額的回歸分析設(shè)計(jì)要求（技術(shù)參數(shù)）：通過該課程設(shè)計(jì)，使學(xué)生進(jìn)步理解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、理論和方法；初步掌握Excel統(tǒng)計(jì)工作表在隨機(jī)模擬中的應(yīng)用，MATLAB統(tǒng)計(jì)軟件包對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)分析；具備初步的運(yùn)用計(jì)算機(jī)完成數(shù)據(jù)處理的技能，使課堂中學(xué)習(xí)到理論得到應(yīng)用。設(shè)計(jì)任務(wù)（至少一個(gè)）：數(shù)據(jù)整理：收集數(shù)據(jù)，錄入數(shù)據(jù)，畫出相應(yīng)圖形；建立數(shù)學(xué)模型，數(shù)據(jù)的輸入與整理，各種數(shù)據(jù)的圖形顯示。假設(shè)檢驗(yàn)：MATLAB繪制出直方圖，做數(shù)據(jù)分布的推測；參數(shù)估計(jì)，假設(shè)檢驗(yàn)，繪制概率密度圖。3?單因素、多因素方差分析：正態(tài)總體的方差分析問題；MATLAB統(tǒng)計(jì)軟件中關(guān)于方差分析的相關(guān)命令，做出方差分析表，box圖，能對(duì)結(jié)果進(jìn)行簡單分析。4.元、多元線性回歸模型：回歸系數(shù)的估計(jì)與檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)散點(diǎn)與回歸直線的圖示，殘差圖。運(yùn)用MATLAB統(tǒng)計(jì)軟件，對(duì)給定的數(shù)據(jù)擬合回歸方程。計(jì)劃與進(jìn)度安排：周三1~2節(jié)：選題，設(shè)計(jì)解決問題方法周三3~8節(jié)：調(diào)試程序周四1~4節(jié)：完成論文，答辯成績：指導(dǎo)教師（簽字）：2012年6月28日專業(yè)負(fù)責(zé)人（簽字）：2012年7月8日主管院長（簽字）：2012年7月19日摘要數(shù)理統(tǒng)計(jì)是具有廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，而區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)問題在其中占有很重要的地位。對(duì)于正態(tài)總體期望和方差的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)問題已有完備的結(jié)論；對(duì)于非正態(tài)總體期望和方差的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)問題，在大樣本的情況下，可利用中心極限定理轉(zhuǎn)化為正態(tài)總體來解決。但實(shí)際問題中常常碰到非正態(tài)總體，而且是小樣本的情況，因此對(duì)它的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)是一個(gè)值得研究的問題本文利用概率綸與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的所學(xué)的回歸分析知識(shí)，對(duì)某地區(qū)實(shí)際投資額與國民生產(chǎn)總值（GNP）及物價(jià)指數(shù)的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，并利用這些數(shù)據(jù)做出國民生產(chǎn)總值x及物價(jià)指數(shù)x與y的多元回歸方程，并MATLAB與EXCEL軟件1t2tt對(duì)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，得出線性回歸系數(shù)與擬合系數(shù)等數(shù)據(jù)，并用F檢驗(yàn)法檢驗(yàn)了方法的可行性，同時(shí)用分布參數(shù)置信區(qū)間和假設(shè)檢驗(yàn)問題，得出了國民生產(chǎn)總值x及物價(jià)指數(shù)x與y的線性關(guān)系顯著，提出了小樣本常用分布參數(shù)的置1t2tt信區(qū)間與假設(shè)檢驗(yàn)的解決方法。關(guān)鍵詞：統(tǒng)計(jì)量法；置信區(qū)間；假設(shè)檢驗(yàn)；線性關(guān)系；回歸分析目錄TOC\o"1-5"\h\z設(shè)計(jì)目的5設(shè)計(jì)問題5設(shè)計(jì)原理6多元線性回歸方程的求法6多元線性相關(guān)的顯著性檢驗(yàn)8方法實(shí)現(xiàn)9設(shè)計(jì)步驟9設(shè)計(jì)結(jié)果12設(shè)計(jì)總結(jié)14參考文獻(xiàn)15致謝15設(shè)計(jì)目的了解一元回歸方程，回歸系數(shù)的檢驗(yàn)方法及應(yīng)用一元回歸方程進(jìn)行預(yù)測的方法；學(xué)會(huì)應(yīng)用MATLAB軟件進(jìn)行一元回歸實(shí)驗(yàn)的分析方法。同時(shí)更好的了解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，熟練掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在實(shí)際問題上的應(yīng)用，并將所學(xué)的知識(shí)結(jié)合Excel對(duì)數(shù)據(jù)的處理解決實(shí)際問題。本設(shè)計(jì)是利用一元線性回歸理論對(duì)用切削機(jī)房進(jìn)行金屬品加工時(shí)為了適當(dāng)?shù)卣{(diào)整機(jī)床，測量刀具的磨損速度與測量刀具的厚度間的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，并用Excel分析工具庫中的回歸分析軟件進(jìn)行解算。設(shè)計(jì)問題收集該地區(qū)連續(xù)20年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，目的是由這些數(shù)據(jù)建立一個(gè)投資額的模型，并根據(jù)對(duì)未來國民生產(chǎn)總值及物價(jià)指數(shù)的估計(jì)，預(yù)測未來的實(shí)際投資額。數(shù)據(jù)如下：年號(hào)序列投資額國民生產(chǎn)總值物價(jià)指數(shù)年號(hào)序列投資額國民生產(chǎn)總值物價(jià)指數(shù)190.9596.70.716711229.81326.41.0575297.4637.70.727712228.71434.21.15083113.5691.10.743613206.11549.21.25794125.7756.00.767614257.91718.01.32345122.8799.00.790615324.11918.31.40056133.3873.40.825416386.62163.91.50427149.3944.00.867917423.02417.81.63428144.2992.70.914518401.92631.71.78429166.41077.60.960119474.92954.71.951410195.01185.91.000020424.53073.02.0688利用這些數(shù)據(jù)做出國民生產(chǎn)總值x及物價(jià)指數(shù)x與y的線性回歸方程。1t2tt設(shè)計(jì)原理3.1多元線性回歸方程的求法TOC\o"1-5"\h\z記住該地區(qū)第t年的投資額為y，國民生產(chǎn)總值為x，物價(jià)指數(shù)為x（以第t1t2t10年的物價(jià)指數(shù)為基準(zhǔn)，基準(zhǔn)值為1），t=1,2,n,n=20.因變量y與自變量x和t1tx的散點(diǎn)圖如下所示：t1ty對(duì)x的散點(diǎn)圖t2t由圖可以看出，隨著國民生產(chǎn)總值的增加，投資額也增大，而且兩者有很強(qiáng)的線性關(guān)系，物價(jià)指數(shù)與投資額的關(guān)系也類似，因此可以建立多元線性方程y=B+Bx+Bx+￡t011t22tt方程中除了國民生產(chǎn)總值和物價(jià)指數(shù)外，影響y的其它因素的作用都包含在隨機(jī)t誤差8內(nèi)，這里假設(shè)8（對(duì)t）相互獨(dú)立，且服從均值為0的正態(tài)分布，t=1,2,,ttn。與一元線性回歸類似，我們利用最小二乘法求未知參數(shù)卩，卩，卩的估計(jì)值。012為了使偏差平方和n2S=￡（y-卩-卩x-卩x-...-卩x）取得最小值，分別求偏導(dǎo)數(shù)k01122mmk=1as/鄰,as/鄰，…,as/。卩，并讓他們等于零，整理得到方程組01mnP+(工x)P+...+(工x)P=工y0k=11k1k=1mkmk=1k(Mx)P+(Mx2)P+...+(Mxx)P=Mxy1k01k11kmkm1kkk=1k=1k=1k=1(Mnx)P+(Mxx)P+...+(Mx2)P=Mxymk0k=1mk1kk=11mk=1kmmkkk=1設(shè)x=工x，其中i=1,2,...,minikk=1y=-My；nk

k=1l=l=Mxx-nxx

ijjiikjkijk=1其中i=1,2,...,mj=1,2,...,m；特別的當(dāng)i=j時(shí)有l(wèi)=（n-1）s2

iii其中s2表示x的觀測值的樣本方差；iil=Mxy-nxyiyikkk=1其中i=1,2,...,m，利用消元發(fā)不難將方程組化為如下形式P+遲龍P=_0iii=1MmlP=l1ii1yi=1

遲l0二lmimmyi=1于是我們解得b其中i=1,2,...,m，再代入第一個(gè)方程即得:i0ii0iii=1最后得到多元回歸方程y=0+0x+0x+...+0xTOC\o"1-5"\h\z01122mm3.2多元線性相關(guān)的顯著性檢驗(yàn)我們可以利用多元線性回歸的方差分析，檢驗(yàn)原假設(shè)H:0=0=...=0=0012m是否成立?？疾鞓颖緔,y,...,y的偏差平方和12m=工(y=工(y-y)2=工(ykkk=1k=1-y)2+工(ykk=1-yk)2=SR+Se上式中S=工(y—y)2Rkk=1稱為回歸平方和，它反映了由于Y與X，X，X之間存在線性相關(guān)關(guān)系而引12m起的回歸值y』，..."的分散程度；12ms=工(y—y)2ekkk=1稱為剩余平方和，它就是偏差平方和的最小值，它反映了由于隨機(jī)誤差引起的觀測值y與相應(yīng)的回歸值y(k=1,2,..,n)的偏離程度kk可以證明，當(dāng)原假設(shè)正確的時(shí)候，則君?咒2(n-1),?X2(m),茫?X2(n-m-1),并且S與S是相互獨(dú)立的，于是Re?F(m,n-m?F(m,n-m-1).RS/(n-m-1)e計(jì)算S,S,S時(shí)可以利用如下公式；TReS=l=(n一1)s2TOC\o"1-5"\h\zTyyyS=區(qū)$l；Riiyi=1S=S-S=l-區(qū)pleTRyyiiyi=1最后寫出多元線性回歸的方差分析表如下萬差來源平方和自由度F值臨界值顯著性回歸剩余SRSemn一m-1S/mF一RF(m,n一m一1)0.05F(m,n一m一1)0.01F—RS/(n-m-1)e總計(jì)STn—1方法實(shí)現(xiàn)4.1設(shè)計(jì)步驟①在【工具】菜單中選中【數(shù)據(jù)分析】，則會(huì)彈出【數(shù)據(jù)分析】對(duì)話框，然后在“分析工具”中選擇“回歸”選項(xiàng)，如圖二所示。單擊【確定】后，則彈出【回歸】對(duì)話框，如圖二所示。②填寫【回歸】對(duì)話框。如圖三所示，該對(duì)話框的內(nèi)容較多，可以根據(jù)需要，選擇相關(guān)項(xiàng)目。在“Y值輸入?yún)^(qū)域”內(nèi)輸入隊(duì)因變量數(shù)據(jù)區(qū)域的引用，該區(qū)域必須有單列數(shù)據(jù)組成，如本題中三種成分的含量；在“X只輸入?yún)^(qū)域”輸入對(duì)自變量數(shù)據(jù)區(qū)域的引用，如本題中溫度T。該區(qū)域必須是連續(xù)的，Excel將對(duì)此區(qū)域中的自變量從左到右按升序排列，自變量的個(gè)數(shù)最多是25個(gè)?！皹?biāo)志”：如果輸入?yún)^(qū)域的第一行中包含標(biāo)志項(xiàng)，則選中此復(fù)選框，本題中的輸入?yún)^(qū)域包含標(biāo)志項(xiàng)；如果在輸入?yún)^(qū)域中沒有標(biāo)志項(xiàng)，則應(yīng)清楚此復(fù)選框，Excel將在輸出表中生成合適的數(shù)據(jù)標(biāo)志。“置信度”：如果需要在匯總輸出表中包含附件的置信度信息，則選中此復(fù)選框，然后在右側(cè)的編輯框中，輸入所要使用的置信度。Excel默認(rèn)的置信度為95%，相當(dāng)于顯著性水平a=0.05。“常數(shù)為零”：如果要強(qiáng)制回歸線通過原點(diǎn)，則選中此復(fù)選框。“輸出選項(xiàng)”：選擇“輸出區(qū)域”，在此輸出對(duì)輸出表左上角單元格的引用。“殘差”：如果需要以殘差輸出表形式查看殘差，則選中此復(fù)選框?！罢龖B(tài)概率圖”：如果需要繪制正態(tài)概率圖，則選中此復(fù)選框。得到下面的圖形：

方弄分析dfSSMSF;nificanc回歸分析2297462.7148731.4913.47485.01E-18殘差172767.929162.8193總19300230.6得到了回歸系數(shù)估計(jì)值及置信區(qū)間（置信水平a=0.05）、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量R2,F,p的結(jié)果如下：參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間322.7250(224.3386421.1114)0.6185(0.47730.7596)￡-859.4790(-1121.4757-597.4823)R2=0.9908F=919.8529pvO.OOOl將參數(shù)估計(jì)量帶入方程得到勺=322.725+0.618X-859.479Xt1t2t對(duì)新建立的多元回歸方程及偏回歸系數(shù)按上述程序進(jìn)行檢驗(yàn)，直到余下的偏回歸系數(shù)都具有統(tǒng)計(jì)意義為止。最后得到最優(yōu)方程。由Coefficien-標(biāo)準(zhǔn)誤差tStatP-valueLower95%Upper95%F限95.0止限95.6Intercept322.51846.792776.8924762.61E-06223.7939421.2421223.7939421.24210.759732-595.86XI0.6180630.0671489.2045475.14E-080.4763940.7597320.476394z2-858.756124.6061-6.891762.61E-06-1121.65-595.86-1121.65二．填好【回歸】對(duì)話框后，點(diǎn)擊“確定”，即可得到回歸分析的結(jié)果三．在圖四的第三個(gè)表中，除了列出了回歸系數(shù)，還有標(biāo)準(zhǔn)誤差等項(xiàng)目。其中“標(biāo)準(zhǔn)誤差”表示的事對(duì)應(yīng)回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，其中偏回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差?！皌Stat”就是t檢驗(yàn)時(shí)的統(tǒng)計(jì)量t；如果多元線性回歸，則可直接根據(jù)“tStat”的大小，判斷因素的主次順序?！癙-value”表示t檢驗(yàn)偏回歸系數(shù)不顯著的概率,如果P-value<0.01,則可認(rèn)為該系數(shù)對(duì)應(yīng)的變量對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響非常顯著(**),如果0.01<P-value<0.05,則可認(rèn)為該系數(shù)對(duì)應(yīng)的變量對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響顯著(*)；對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，P-value則表示常數(shù)項(xiàng)為零的幾率。根據(jù)上面的圖形判斷X與Y的相關(guān)性顯著，不剔除?再把X,和Y的多元回歸方12程再求出來。即再在Excel中輸入數(shù)據(jù)得到新的圖形如下回歸統(tǒng)計(jì)—Multiple0.99538RSquare0.990781Adjusted0.989696標(biāo)淮誤差12.76007觀測植加4.2設(shè)計(jì)結(jié)果試驗(yàn)結(jié)果F=919.8529有顯著性表明至少有一個(gè)自變量與應(yīng)變量之間存在線性回歸關(guān)系。由圖：Coefficien-標(biāo)準(zhǔn)誤笨tStatP-valueLower95%Upper95%艮95.09上限95.①Intercept322.51846.792776.8924762.61E-06223.7939421.2421223.7939421.2421XI0.6180630.0671489.2045475.14E-080.4763940.7597320.4763940.759732x2-858.756124.6061-6.891762.61E-06-1121.65—595.86-1121.65—595.86知道x和x都與y有線性關(guān)系，不需要剔除，得到x及x與y之間的多元線性方1212程$=322.725+0.618x-859.479x也可以根據(jù)上圖的置信區(qū)間x:[0.4773t1t2t1t0.7596],x:[-1121.4757-597.4823]各自的殘差圖如下：根據(jù)x和x的變化得到y(tǒng)的預(yù)測值匯成圖標(biāo):12擬合曲線：根據(jù)擬合曲線預(yù)測Y的值和相應(yīng)的殘差，標(biāo)準(zhǔn)殘差表:預(yù)測y殘差標(biāo)準(zhǔn)殘差百分比排名y75.8457415.054261.2472652.590.991.739995.660010.4689397.597.4111.09032.4096820.19964512.5113.5130.5924-4.89244-0.4053517.5122.8137.4178-14.6178-1.211122.5125.7153.5169-20.2169-1.67527.5133.3160.655-11.355-0.9407832.5144.2150.7366-6.53664-0.5415737.5149.3164.05092.3491010.19462642.5166.4196.7227-1.72273-0.1427347.5195234.1821-4.38207-0.3630652.5206.1220.68739.1126940.75499957.5229.8199.79186.3082350.52264662.5229.8247.872210.027770.83081467.5257.9305.460118.639