數(shù)列求和問題教案

學習好資料歡迎下載數(shù)列求和問題?教案教學目標.初步掌握一些特殊數(shù)列求其前n項和的常用方法..通過把某些既非等差數(shù)列，又非等比數(shù)列的數(shù)列化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列求和問題，培養(yǎng)學生觀察、分析問題的能力，以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.教學重點與難點重點：把某些既非等差數(shù)列，又非等比數(shù)列的數(shù)列化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列求和.難點：尋找適當?shù)淖儞Q方法，達到化歸的目的.教學過程設計（一）復習引入師：等差數(shù)列和等比數(shù)列既是最基本的數(shù)列又是最重要的數(shù)列.我們已經(jīng)推出了求其前n項和的公式，公式分別是什么？生：等差數(shù)列的前口項的和的公式是四=";等比數(shù)列的前n項的和的公式是=的,_：），其中qrl.師：我們學習新知識不僅要記住其結(jié)論，正確地運用它解決問題，而且要善于在學習新知識的過程中體會研究問題的方法，逐漸地學會思考、學會學習.（不失時機地對學生進行學法指導非常必要）回憶一下推導這兩個公式的方法，你有什么收獲？（留給學生回憶及思考的時間）生甲：推導等差數(shù)列前n項和公式所用的方法是：先把S中各項“正著”寫出來，再把S中各項次序反過來寫出，兩式相加.由于對應項和都為（a+a）,所以2S=n（an+a），進而求出S. 1n

學習好資料歡迎下載學習好資料歡迎下載師：推導方法是將要解決的問題通過“逆序相加”的方法轉(zhuǎn)化為我們熟悉的常數(shù)列求和問題.（滲透轉(zhuǎn)化的思想）生乙：推導等比數(shù)列前n項和所用的方法是：將S的各項依次寫出，再把這個式子的兩邊同時乘以q，然后兩式“錯項相減”，相減后等號右邊只剩下兩項，進而求得Sn.師：解決此問題需要同學們有敏銳的觀察能力.把S=a+aq+???+aqnJaq「2的兩邊分別乘以公比q,就得到各項后面相鄰的一項，因而用1'錯項相減”的方法就可以消去相同的項.以上兩種求和的思路在解決某些特殊數(shù)列求和問題時經(jīng)常用到.這節(jié)課我們就來研究既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列的一些特殊數(shù)列的求和問題.（板書課題）（二）新課例1求分母為3,包含在正整數(shù)m與n（m<n）之間的所有不可約的分數(shù)之和.師：分母為3,包含在正整數(shù)m與n之間的所有不可約分數(shù)有哪些？,r3m+13m+23m+43m+53m+73n-4生：丁‘丁‘丁‘F'…、二'3n-23n-13， 3,師：本題實質(zhì)上讓我們解決什么問題？生：求由這些分數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的各項和.師：為了便于觀察，我們可把此數(shù)列寫成這種形式：2 4 5 7 4 2 1m+—,m+—,m+—,m+—,…，n-—,n--,n--.此數(shù)列是我們熟悉的等差數(shù)列或等比數(shù)列嗎？（稍微停頓）都不是.請同學們觀察此數(shù)列有什么特點，可用什么方法求和？生甲：此數(shù)列的第一項與最后一項的和是m+2第二項與倒數(shù)第二項的和也是m+n,依此類推.根據(jù)此數(shù)列的特點，可以用剛才復習過的“逆序相加法”求和.（學生敘述解法一，教師板書）學習好資料歡迎下載解法1:學習好資料歡迎下載解法1:r41+lm+iJ將上式各項次序反過來寫出:兩式相加得2s=屜%+曲/儂感到才/zf■婀M1）=2（m+n）（n-m）,所以S=（m+n）（n-m）二巾或生乙：我觀察此數(shù)列的所有奇數(shù)項組成公差為1的等差數(shù)列，所有偶數(shù)項也組成公差為1的等差數(shù)列，它們分別都有（n-m）項.可以轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列求和問題.（學生敘述解法2,教師板書）解法2：

學習好資料歡迎下載學習好資料歡迎下載師：解法2是將原數(shù)列的各項重新組合，使它轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和問題，我們給這種方法起個名字，叫“分組求和法［比如求數(shù)列修（學生進一步體會）師：無論是“逆序相加法”還是“分組求和法”都是通過適當?shù)淖儞Q把某些既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列的特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問題.看下面數(shù)列又怎樣轉(zhuǎn)化呢？例2求數(shù)列1,3a,5a2,7a3,…（2n-1）a.,…（a=1）的前n項和.師：我們還是從觀察數(shù)列特點入手.此數(shù)列各項有何特點？生：此數(shù)列每一項中的字母部分a。，ai,a2,…，a『i構(gòu)成以a為公比的等比數(shù)列，每一項中的系數(shù)部分1,3,5,?…（2n-1）構(gòu)成以2為公差的等差數(shù)列.師：我們不妨把這種數(shù)列稱為“差比數(shù)列”｛c｝,c=a-b，其中｛a｝為等差數(shù)列，｛b｝為等比數(shù)列.聯(lián)想我們曾遇到過的數(shù)列n有沒有“差比數(shù)列”呢？n生：任何一個等比數(shù)列都是特殊的差比數(shù)列.師：等比數(shù)列求和公式是怎樣推導的？生：用錯項相減法.師：假如我們也使用錯項相減法，把S=1+3a+5a2+7a3+…+（2n-1）a『1的兩邊也同時乘以公比a,卻不得各項后面相鄰的一項，兩式錯項相減，并未達到消去絕大部分項的目的.用此法還行嗎？生：雖然沒消去絕大部分項，卻把問題轉(zhuǎn)化成為一個等比數(shù)列求和問題.（學生敘述，教師板書）

學習好資料歡迎下載學習好資料歡迎下載解：因S=1+3a+2a2+723+…+(2n-1)an-i, (1)n(1)Xa得aS=a+3a2+523+…(2n-3)a11+(2n-1)an.n兩式相減得(1-a)S=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)ann=2(1+a+a2+a3+…+an-1)-(2n-1)an-1所以：S所以：Sn=2(1-廣)(2n-l)an+l師：讓我們來回顧一下，錯項相減后的式子中只留下第一項和最后一項，其它各項構(gòu)成等比數(shù)列，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知的等比數(shù)列求和問題.由解題過程可見，此方法可解決哪類數(shù)列的求和問題？生：錯項相減法可解決差比數(shù)列求和問題.師：也就是說，可解決這類數(shù)列｛c｝的求和問題，c=a?b，其中｛a｝為等差數(shù)列，｛b｝為等比數(shù)列.例如求數(shù)列｛24-1｝義0.10｝的前n項和n你能解決此問題嗎？n（學生進一步體會）例3例3。）求數(shù)列"，』，'f二,…的前口項和.n[n+1）師：這是一個通項是分數(shù)形式的數(shù)列，分母是相鄰兩個自然數(shù)的積，且相鄰兩項的分母中有相同因數(shù).（稍微停頓）既然有相同的成分，那么我們能否消去它們，促成求和呢？（留給學生思考的時間）師：正像前面我們推導等差數(shù)列通項公式使用疊加法.（板書）a-a=da-a=d

學習好資料歡迎下載學習好資料歡迎下載a-a二da-a二da-a=d.將上面n-1個式子的等號兩邊分別相加得到a-a=（n-1）d,消去了絕大部分的項，只留下了第一項a和最后一項an. n1對于這個題目，同學們能否類似地實現(xiàn)求和呢？（讓學生學會類比的思維方法）（學生討論）生：要達到消去的目的，必須出現(xiàn)差的形式.觀察數(shù)列的第一項可寫成±=1一L笫二項可寫成與=:一:,川匕類推,第口項可寫成不二=4-」7,求和后可達到消去絕大部分項的目的.n[n+1nn+1（學生敘述，教師板書）師：這位同學的解法非常漂亮.他把通項是分數(shù)形式的數(shù)列的每一項，分裂成兩個分數(shù)之差，這些分數(shù)的和，除首末兩項（有時也可能是首末若干項）外，其余各項前后抵消，實現(xiàn)了求和.我們把這種方法叫做裂項求和法.這種方法，在解決通項是分數(shù)形式的數(shù)列求和問題時經(jīng)常用到.下面請看第（2）小題.（學生先練習，然后師生共同討論）師：這個數(shù)列有何特點？考慮用什么方法求和?

學習好資料歡迎下載學習好資料歡迎下載生：這個數(shù)列中的每一項都有規(guī)律的分數(shù)形式，不妨試試裂項求和法解題.師：怎樣裂項？生：由于數(shù)列中的每一項都可以寫在M:川哈14k- +1)(k=1,2,",n).我先考慮「這里需要湊一下系數(shù),Jk+Difi714k-3111— _|_ _|_■■■_| 11~1X35X9 （4n-3）（4n+1）師：先從通項入手進行分析，具有一般性，很好.分析裂項時，需湊系數(shù)I1是怎樣湊出來的?師：由(*)式的變形過程可知4是由(4k-3)-(4k+1)得來的.觀察數(shù)列1,5,9,13,…，4n-3,…是什么數(shù)列?生：公差為4的等差數(shù)列.

學習好資料歡迎下載學習好資料歡迎下載師：公差4與湊的系數(shù)（之間有什么聯(lián)系？生：湊的系數(shù)恰為數(shù)列1,5,9,…，4n-3,…的公差的倒數(shù).師：能不能推廣成更具一般性的結(jié)論？（學生討論）生：如果｛aj為等差數(shù)列，d為公差，則師：這里出現(xiàn)了;，d一定不為0嗎?師：這樣就全面了.同學們得出具有共性的結(jié)論.我們要善于解題后回顧與反思，多題歸一.當然，有的不具有此規(guī)律的分數(shù)數(shù)列裂項并不容易"湊”出來，如通項是,2n、的數(shù)列求和問題,又怎樣n（n+l）（n+3）裂項呢？（板書）2n+lABC

n(n+l)(n+3)n n+1n+3（板書）師：怎樣求得A,B,C?生：可用待定系數(shù)法.

學習好資料歡迎下載學習好資料歡迎下載師：課后同學們可繼續(xù)探討.例4求和S=13+23+33+…+a（n￡N）.師：我們已經(jīng)學過前口個自然數(shù)的和為可等，前n個自然數(shù)的平方和為n（n+42n+1）,那么前口個自然數(shù)的立方和等于多少呢T請同學們猜猜看.（學生議論）師：同學們還記得S=1+3+5+-+（2n-1）=a可用哪個圖形表示出來嗎？n（學生甲在黑板上畫出圖形，如圖6-2）師：對于S=L+23+33+???+n3（n￡N）同學們能否類似地用一圖形表示并猜想其結(jié)果？n +（學生討論，教師用實物投影展示學生乙的圖形，圖6-3）生乙：我也用一個正方形表示，左下角的第一格表示匕左下角除表示13的方格外的8個格表示23,左下角除表示13和23以外的27個格表示33,以此類推.前n個自然數(shù)的立方和S為正方形中所有方格個數(shù)之和（1+2+3+-+n）2學習好資料歡迎下載學習好資料歡迎下載師：同學們借助幾何圖形及其性質(zhì)，使問題變得直觀、簡單，猜想,以后我們可以用數(shù)學歸納法證明它的正確性.出=戶+23+3,以后我們可以用數(shù)學歸納法證明它的正確性.出=戶+23+33+■-+n3=(1+2+3+--+n)除了猜想一證明的方法外，還有沒有其它方法？（稍微停頓）想想前n個自然數(shù)的平方和是怎樣求出來的？生：用構(gòu)造法.利用構(gòu)造的恒等式（k+1）3-k3=3k#3k+1（k￡N）實現(xiàn)求和.師：對.當k取1,2,…，n時，得到n個恒等式，把這個n個恒等式兩邊分別相加，由于左邊是兩個連續(xù)自然數(shù)的立方差，疊加后式子左邊消去了除（口+1）3與13以外的所有項，右邊留下了我們需要的S與可解決的自然數(shù)和以及n個常數(shù)1之和. n構(gòu)造恒等式的目的是為了把前n個自然數(shù)的平方和問題轉(zhuǎn)化為前n個自然數(shù)和的問題.那么，對于前n個自然數(shù)的立方和問題又怎樣轉(zhuǎn)化呢？生：構(gòu)造恒等式（k+1）4-k4=4k3+6k2+4k+1（k￡N），當k取1,2,?…n時，把n個式子疊加，使問題轉(zhuǎn)化為前n個自然數(shù)的平方和與前n個自然數(shù)和的問題.師：很好.請同學們課后完成.我們把公式

學習好資料歡迎下載學習好資料歡迎下載1+2+升…(!)l2+22+32+-+n2=ntn+1^2n+li (2)^+二+4+…+心辿丁尸, ⑶叫做自然數(shù)的方冪和公式.利用公式，我們又可以解決一類數(shù)列求和問題.例5求和S=1X2X3+2X3X4+…n(n+1)(n+2).n師：利用公式(1),(2),(3)可解決自然數(shù)的方冪和問題，對于各項為n個數(shù)的積的形式的數(shù)列怎樣能實現(xiàn)求和？生：先分析數(shù)列的通項，最好是化為n個數(shù)的和或差的形式.(學生敘述，教師板書)例因為n(n+1)(n+2)=n3+3n2+2n,則S=L+3X12+2X1+23+3X22+2X2+???n3+3A+2n=(L+23…+4)+3(L+22+…+n?)+2(1+2+…+n)一n.n+1)、？,口(口+l)(2n+l)J2.n(n+1)=n^4+^[n(n+l)+2(2n+l)+4]=n(^+l)^2+5n+^=^-n(n+l)(n+2)(n+3).師：請同學們歸納一下，利用公式(1),(2),(3)可解決哪類數(shù)列求和問題？生：如果數(shù)列｛a｝的通項是關(guān)于n的多項式或通項可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的多項式就可以利用公式求數(shù)列的前n項的和.(三)小結(jié)

學習好資料歡迎下載學習好資料歡迎下載師：數(shù)列求和是一個很有趣的問題.最基本的方法是：對于等差數(shù)列或等比數(shù)列求其前n項和，直接用前n項和公式求得，我們把這種方法叫做直接法.除直接法外，我們還應總結(jié)求一些特殊數(shù)列前n項和的間接方法.能舉例嗎？生：如這節(jié)課使用的逆序相加法，分組求和法，錯項相減法，構(gòu)造法等.師：使用這些具體方法的指導思想是什么？生：利用轉(zhuǎn)化的思想，把一些既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和.師：我們可以把這些具體方法歸納為第一種間接求和法一一轉(zhuǎn)化求和法.也就是通過適當?shù)淖儞Q，化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列求和.還有什么方法？生：裂項求和法.師：如果一個數(shù)列的每一項都能排成兩項之差，在求和中，一般除首末兩項（也可能是首末若干項）外，其余各項先后抵消，那么這個數(shù)列前n項和就容易求出來了.在解決分數(shù)數(shù)列的求和問題時經(jīng)常用到.師：我們把它歸納為第二種間接求和法一一裂項求和法.還有其他方法嗎？生：利用自然數(shù)的方冪和公式求和.師：對于通項是關(guān)于n的多項式或可化為關(guān)于n的多項式的數(shù)列可利用此公式求和.我們把它歸納為第三種間接求