恒成立問題與存在性問題

恒成立問題與存在性問題思路一:若函數(shù)f3)在D區(qū)間上存在最小值f(x)和最大值f(x)，則min max不等式f(x)>a在區(qū)間D上恒成立of(x)min>a；不等式f(x)>a在區(qū)間D上恒成立of(x)min>a；不等式f(x)va在區(qū)間D上恒成立of(x)max<a；不等式f(x)<a在區(qū)間D上恒成立of(x)max<a；若函數(shù)在D區(qū)間上不存在最小值f(x)和最大值f(x)，且值域?yàn)?m,〃)則min max不等式f(x)>a或(f(x)>a)在區(qū)間D上恒成立om>a；不等式f(x)<a或f(x)<a在區(qū)間D上恒成立on<a。例題1：已知函數(shù)f(x)=xInx.求函數(shù)f(x)=xInx.的最小值；若對(duì)所有的x>1都有f(x)>ax-1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。答案：(1)f(x)min=f(e-1)=-e-1；(2)(—8,1］變式：設(shè)函數(shù)f(x)=(1+x)2-2ln(1+x)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；若當(dāng)xg［e-1-1,e-1］時(shí)，不等式f(x)<m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；若關(guān)于x的方程f(x)=x2+x+a在區(qū)間［0,2］上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。答案：(1)遞增區(qū)間是(0,+8)；遞減區(qū)間是(-1,0)(2)m>e2一2(3)(2-2ln2,3-2ln3)思路二(1)若函數(shù)f(x)在D區(qū)間上存在最小值f(x)和最大值f(x),即f(x)e［m,川則不min max等式有解的問題有下列結(jié)論：不等式f(x)>a在區(qū)間D上有解=a<f(x)；max不等式f(x)>a在區(qū)間D上有解=a<f(x)；max不等式f(x)Va在區(qū)間D上有解=a>f(x)；min不等式f(x)<a在區(qū)間D上有解。a>f(x)min。(2)若函數(shù)f(x)在D區(qū)間上不存在最小值f(x)min和最大值f(x)max，即f(x)e(m,n)則不等式有解的問題有下列結(jié)論：不等式f(x)>a或(f(x)>a)在區(qū)間D有解oaVn；不等式f(x)Va或f(x)<a在區(qū)間D上有解oa>m。例題2：已知函數(shù)f(x)=x-aInx,g(x)=-色^1x若a=1求函數(shù)f(x)的極值；設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)，求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間；若在［1,e］上存在一點(diǎn)x。，使得f(x)Vg(x0)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。答案：(1)f(x)極小值=f(1)=1(2)a<-1時(shí)，f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；a>-1時(shí)，遞增區(qū)間是(a+L+8)，遞減區(qū)間是(0,a+1)。(3)簡(jiǎn)答:[f(x0)-g(x0)]minV0,x0e[1,e][x-(a+1)](x+1)h'(x)= e2+1 、分類3討論，結(jié)果是(-8’-2)Y(切f*

… 、b、變式：設(shè)函數(shù)f(X=x-alnx+—在x=1處取得極值。x求a與b滿足的關(guān)系式；若a>1求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；⑶若a>3，函數(shù)g(x)=a2x2+3，若存在氣,m?e[!,2]，使得|f(m)-g饑)|<9成立，求a的取值范圍。答案：(1)a+b=1；[x-(a-1)](x-1)(2)f'(x)= ①1<a<2時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是(0,a-1),(1,+8)，遞減區(qū)間是(a-1,1)。a=2時(shí)，函數(shù)遞增區(qū)間是(0,+8)，沒有遞減區(qū)間。a>2時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是(0,1),(a-1,+8)，遞減區(qū)間是(1,a-1)。1 a2(3)a>3時(shí)，f(x)m疽f(1)=2-a<0；g(x.=g(^)=彳+3>0存在If(m)-g“)|=g(m)-f(m)<9成立，只需g(；)-f(1)v9又a>3，所以3vav4。思路三若對(duì)任意x1日。,b]，若對(duì)任意x1e[a,b]，總存在xe[m,淚使，f(若對(duì)任意x1日。,b]，若對(duì)任意x1e[a,b]，2 12 1min 2min總存在xe[m,川使，f(x)<g(x)。f(x) <g(x)；2 12 1max 2max若對(duì)任意x若對(duì)任意x1e[a,b]，x2e[m,可使，f(x)>g(x)。f(x) >g(x)1 2 1min 2max若對(duì)任意xe[a,b]，xe[m,可使，f(x)<g(x)。f(x) <g(x)1 2 12 1max 2min例題3：, 1-a.已知函數(shù)f(x)=Inx-ax+ 1x當(dāng)a<2時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；設(shè)g(x)=x2-2bx+4,當(dāng)a=4時(shí)，若對(duì)任意的氣e(0,2),存在x2e[1,2]，使f(x1)>g(號(hào)求實(shí)數(shù)b的取值范圍。答案：(1)①當(dāng)1<0時(shí)，函數(shù)f⑴的在(0,1)上單調(diào)遞減；在(1,+8)上單調(diào)遞增;1—1 1—1、TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)0V1V時(shí)，函數(shù)f(x)的在(0,1),( ,+8)上單調(diào)遞減；在(1, )上1 1單調(diào)遞增；當(dāng)1=2時(shí)，函數(shù)f(X)的在(0,+8)上單調(diào)遞減； 「17 、(2)依題意，f(氣)員>g(x2)minnb的取值范圍是【耳,+8)變式：已知函數(shù)f(x)=—1X2-(21+1)x+2lnx(1gR)2(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；⑵設(shè)g⑴=x2-2x，若對(duì)任意的x1g("均存在％g("使得f(x1)<g(x2)求1的取值范圍。答案:(1x-1)(x-2)(1)f(x)= x分類討論①1=0②1=—③1>—④0V1V-⑤1V0五種情況TOC\o"1-5"\h\z2 2 2結(jié)論：略(2)依題意f(x) Vg(x)，xg(0,2］，g(x) =0故f(x)V0max max max max由(1)知1<1時(shí)，f