相關系數(shù)的計算

相關系數(shù)的計算相關系數(shù)一般可以通過實驗測量的方法或理論經(jīng)驗的分析得到。即一是用同時觀測兩個量的方法確定相關系數(shù)估計值；二是當兩個量或以上均因與同一個量有關而相關時，依據(jù)相關系數(shù)定義公式，計算相關系數(shù)的估計值。1.根據(jù)對1.根據(jù)對X和y兩個量同時測量的n組測量數(shù)據(jù),相關系數(shù)的估計值按公式(4)計算：￡(估計值按公式(4)計算：￡(x-X)(y-Y)iir(x,y)=4^(n-l)s(x)s(y)4)式中，s(x),s(y)―-為X和Y的實驗標準偏差。公式(4)還可以表示為：()工()uk,()工()uk,xAt,y=十十㈠=-u\x)?uh丿,j起k=1vX—Xikik=1 八X—y

iki

k=1' 丿k=1X—Xjkj丿X—Xjkj丿5)示例1:用同一鋼卷尺測量某矩形的面積，對矩形的長(1)和寬d)各測量10次,其測量列如表1所示。表1矩形長和寬的測量數(shù)據(jù)1(mm)40.140.240.040.140.140.040.140.140.240.11=40.10d(mm丿20.020.220.020.120.120.020.020.120.120.1d=20.07矩形面積的數(shù)學模型：s=dX1，因為對長和寬采用了同一測量儀器，則它們的估計值會出現(xiàn)相關，根據(jù)表1有l(wèi)和d算術平均值的標準不確定度為：, ,、藝（_l）=0.021（mm）10x（10_1） ii=i冷）= 丄2C_d）=0.021（mm）10x（10_1丿］i蘭（一/'d一d）=0.03Cmm2）iii=1芳（-1L0.04Cmm2）ii二1d—d）=0.041Cm2）ii=1所以相關系數(shù)藝（一l）（_d）r i 0.03 074?■￡Ll）昱C-d） ?040X0.041i iri=1 i=1面積S=/?d=804.81mm2則考慮相關系數(shù)r得：uc（s）』曲2I-站2+2止塾2=015%s[LlJLdJ ldJ當不考慮相關系數(shù)r時，uS=J-曲2+L站2=012%s[L門Ld」J■從以上兩式的結(jié)果可以看出考慮相關系數(shù)與不考慮相關系數(shù)

存在明顯的區(qū)別，不考慮相關系數(shù)時，明顯使評定的不確定度偏小。2.當兩個量均因與同一個量有關而相關時，計算相關系數(shù)的估計值。假如在得到兩個輸入量的估計值X和X時，是使用了同一個測ij量標準、測量儀器或參考數(shù)據(jù)或采用了相同的具有相當大不確定度的測量方法，則X和X兩個量均因與同一個量有關而相關。ij

示例2：2014年度一級注冊計量師考試《測量數(shù)據(jù)處理及計量專業(yè)實務》科目中的單項選擇題第26題為“用lk0的標準電阻R校準s標稱值均為lk0的兩個電阻器，校準值R R,R二aR.已知標準11S22STOC\o"1-5"\h\z電阻R的標準不確定度為u(RL0.10 ，若ssa?1,a?1,uCx)=uCx)=1x10一4，假設a、a、R互不相關，則R與12121211R的相關系數(shù)為( )。2A.1.0 B.0.75 C.0.5 D.0.25 ”

[解]1)每個電阻R校準時與標準電阻R比較得到比值a，校準值isi為：R=aRiis根據(jù)不確定度傳播定律，每個R的標準不確定度：iu(R)=A；iRSu(a.)]2+[a.u(RS)]2式中的u(a)對每一個校準值近似相等，且a心1,由比較儀的

ii不確定度為u(a)=u(a)=u(a)=1x10-4,則:iu(Ri)=iR2U2(a)+U2(R)任意兩個電阻校準值的相關系數(shù)：RiRi=aiRsRjjjRsR、R之間協(xié)方差的估計值：ijdROR?u(R,R)=Lju2(RS)=a.au2(RS)=a2u2(RS)ijOROR SijS SSS由于a~a=a心1,協(xié)方差u(R,R)=U2(R)ijijSR、R之間相關系數(shù)：iju(R,Ru(R,R)r=r(R,R)= .jjij u(R)u(R)ijR2u2u2(R)(a)+u2(R)Siru(x)]2<1+u(R)R1- S?S」>由題意知，u(R》R二10一4；u(d)=uCx)=1x10一4代入上式，得TOC\o"1-5"\h\zS'S 1 2r=r(R，R)=0.5ijij本題正確選項為： C.0.5分析可知，u(R)R=10-4;u(a)=u(a)=100x10-6; r=0.5S'S 1 2 ij如果u(x)=u(x)=10x10-6; r心0.9901 2 ij如果u(x)=u(x)=1x10-6; r心1.0001 2 ij因此當u(x)t0,rT1和u(R)tu(R)iS一般來說，在與校準值比較時，如本示例，已校項的估計值間是相關的，其相關的程度取決于校準過程(比對過程)引入的不確定度與參考標準的不確定度之比。僅當與參考標準的不確定度相比，校準過程(比對過程)的不確定度可以忽略不計時，相關系數(shù)等于+1，并且每個校準項的不確定度與其參考標準的不確定度相同。示例3：在示例2的條件中，若將R和R串聯(lián)成R=R+R=2k012ref12的電阻，試確定串聯(lián)后的R=2k0電阻的合成標準不確定度u(R)refcref為多少？[解法一]1)每個電阻R校準時與標準電阻R比較得到比值x,校準isi值為：R=xRiis2)根據(jù)不確定度傳播定律，每個R的標準不確定度：iu(R)=;'[RSu(x.)]2+[x.u(RS)]2式中的u(x)對每一個校準值近似相等，且x心1,由比較儀的

ii不確定度為u(x)=uCx)=uCx)=1x10-4，則:iu(u(Ri)=iR2u2(x)+u2(R)S i S=\；(X103X1X10-4)+0.120=.込X0.10即：u(R)=u(R)=邁X0.101 2 琴根據(jù)示例2的計算結(jié)果，R、R兩個電阻校準值的相關系數(shù):12r(R，R)=0.512串聯(lián)電阻R的合成標準不確定度：ref根據(jù)R的測量模型：R=R+Rrefref12R的合成標準不確定度為：refU(R)='u2(R)+u2(R)+2u(R)u(R)-r(R,R)TOC\o"1-5"\h\zcref 1 2 1 2 1 2=話(邁X0.1)2+(邁X0.1)2+2X(邁X0.1)X(邁X0.1)X0.50「6x0.1205.250［解法二］由于輸出量R=R+Rref 1 2輸入量R的不確定度由兩個分量構成，其一來自標準電阻iu(R)=0.10，作為U(R)的分量，其靈敏系數(shù)C均為+1；其二來自校s cref i準(比對)過程，已知為Ru(a)=1X103X1X10-40=0.10,靈敏系數(shù)si也C均為+1。i可以認為R—共有4個標準不確定度分量，其中2個為標準器refR引入的分量均為0.10,它們之間為強相關，可設定r=+1，這2個s0.10取代數(shù)和合成為：0.10+0.10=0.20；另2個為校準過程(比對過程)引入的分量Ru(a)=1X103X1X10-40=0.10，主要是隨機效si應引起，可以設定彼此獨立，r=0，而按方和根合成為：迂X0.10；來源于R與來源于校準過程彼此不相關，因而su(R)二\：'0.